Τριγωνομετρική εξίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4001
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Τριγωνομετρική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 01, 2019 11:49 am

Να λυθεί στο [0, 2\pi) εξίσωση:

\displaystyle{\cos x - \sin 3x = \cos 2x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 156
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Σεπ 01, 2019 10:05 pm

Χρησιμοποιωντας τύπους πολλαπλών γωνιών έχουμε

\cos (x)-\sin (3 x)-\cos (2 x)=\sin ^3(x)+\sin ^2(x)-\cos ^2(x)+\cos (x)-3 \sin (x) \cos ^2(x)

Χρησιμοποιωντας τον μετασχηματισμο t=\tan \left(\frac{x}{2}\right) καταλήγουμε στην

\frac{ t \left(t^5+3 t^4-2 t^3-10 t^2-3 t+3\right)}{\left(1+t^2\right)^3}=0

Το 5ης τάξης πολυώνυμο ειναι σχετικά εύκολο να παραγοντοποιηθει.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 01, 2019 10:32 pm

mick7 έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 10:05 pm
Χρησιμοποιωντας τύπους πολλαπλών γωνιών έχουμε

\cos (x)-\sin (3 x)-\cos (2 x)=\sin ^3(x)+\sin ^2(x)-\cos ^2(x)+\cos (x)-3 \sin (x) \cos ^2(x)

Χρησιμοποιωντας τον μετασχηματισμο t=\tan \left(\frac{x}{2}\right) καταλήγουμε στην

\frac{ t \left(t^5+3 t^4-2 t^3-10 t^2-3 t+3\right)}{\left(1+t^2\right)^3}=0

Το 5ης τάξης πολυώνυμο ειναι σχετικά εύκολο να παραγοντοποιηθει.
Δεν καταλαβαίνω πώς θα παραγοντοποιηθεί το 5ης τάξης πολυώνυμο.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 156
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Σεπ 01, 2019 10:38 pm

Δεν σας πιστεύω... :)
Από την άλλη με την βοήθεια των "μηχανών"...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... 5E2-3t%2B3
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 10:32 pm


Δεν καταλαβαίνω πώς θα παραγοντοποιηθεί το 5ης τάξης πολυώνυμο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8425
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 01, 2019 11:48 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 11:49 am
Να λυθεί στο [0, 2\pi) εξίσωση:

\displaystyle{\cos x - \sin 3x = \cos 2x}
\displaystyle \cos x - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = \cos 2x - \cos \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow

\displaystyle \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)

\displaystyle \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right] = 0

\displaystyle \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \frac{{3x}}{2}\cos \left( {\dfrac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0

και για \displaystyle x \in \left[ {0,2\pi } \right), παίρνουμε τις λύσεις: \displaystyle \left\{ {0,\frac{\pi }{4},\frac{{2\pi }}{3},\frac{{5\pi }}{4},\frac{{4\pi }}{3}, \dfrac{3\pi}{2}} \right\}

Ελπίζω να μην ξέχασα καμία.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Σεπ 02, 2019 12:10 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Σεπ 02, 2019 12:01 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 11:49 am
Να λυθεί στο [0, 2\pi) εξίσωση:

\displaystyle{\cos x - \sin 3x = \cos 2x}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ... γεμάτη αναμνήσεις!
Φυσικά εκτός ύλης!
Είναι: \cos x - \sin 3x = \cos 2x \Leftrightarrow \cos x-\cos 2x=\sin3x \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -2sin\frac{x-2x}{2}\cdot sin\frac{x+2x}{2}= 2sin\frac{3x}{2}\cdot cos\frac{3x}{2} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2sin\frac{3x}{2}\left ( sin\frac{x}{2} -cos\frac{3x}{2}\right ) =0.

Από την τελευταία προκύπτουν:

sin\frac{3x}{2}=0 με λύσεις λόγω του περιορισμού της γωνίας τις : x=0, x=\frac{4\pi }{3} , x=\frac{2\pi }{3}

και sin\frac{x}{2}=cos\frac{3x}{2} \Leftrightarrow sin\frac{x}{2}=sin \left ( \frac{\pi }{2}-\frac{3x}{2} \right )

από όπου προκύπτουν οι λύσεις x= \frac{\pi}{4} , x=\frac{5\pi }{4}.

Ελπίζω να μην έχω κάνει κανένα λάθος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 02, 2019 12:07 am

mick7 έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 10:38 pm
Δεν σας πιστεύω... :)
Από την άλλη με την βοήθεια των "μηχανών"...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... 5E2-3t%2B3
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 10:32 pm


Δεν καταλαβαίνω πώς θα παραγοντοποιηθεί το 5ης τάξης πολυώνυμο.
Ο φάκελος είναι Β Λυκείου.
Ένα πολυώνυμο 5ης τάξης δεν παραγοντοποιείται πάντα.
Σε κάθε περίπτωση η λύση της άσκησης είναι αυτή η παραγοντοποίηση .
Γράψατε ότι παραγοντοποιείται εύκολα.
Εγω δεν βλέπω εύκολη παραγοντοποίηση.
Δεν βλέπω με το μάτι καν την παραγοντοποίηση.
Οσο για τις μηχανές δεν νομίζω ότι είναι εύστοχο.
Γιατί τότε θα βάζαμε την εξίσωση να μας την λύσει η μηχανή.


kkala
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Πέμ Σεπ 12, 2019 2:37 pm

Το συγκεκριμένο πολυώνυμο 5ου βαθμού Φ(t) (δημοσίευση Νο 2, nick7) μπορεί να αναλυθεί σε : Φ(t) = t^{5}+3t^{4}-2t^{3}-10t^{2}-3t+3 = (t+1)(t^{2}-3)(t^{2}+2t-1) με τον παρακάτω αλγεβρικό τρόπο.
Φ(-1)=0, άρα Φ(t) διαιρείται δια t+1 . Το πιλήκον (υπόλοιπον=0) είναι t^{4}+2t^{3}-4t^{2}-6t+3, το οποίον γράφεται και σαν t^{4}+2t^{3}-t^{2}-3t^2-6t+3
= t^2(t^2+2t-1)-3(t^2+2t-1) = (t^2-3)(t^2+2t-1)
.
H εξίσωση Φ(t)=0 επιλύεται πλέον και έχει ρίζες -1, \pm \sqrt{3}, -1\pm \sqrt{2}. Επειδή t = tan(x/2), προκύπτουν τιμές του χ σύμφωνα με προηγούμενες αναρτήσεις.
Σημ. Εκτος αυτών η αρχική εξίσωση έχει και την ρίζα t=0., δηλαδή χ=0 .


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης