Ο άγνωστος α

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11770
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ο άγνωστος α

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 24, 2019 7:46 pm

Στο θέμα που ακολουθεί ο x είναι θετικός. Αν οι συναρτήσεις : f(x)=x^2-5x+a

και : g(x)=\dfrac{x^2+5x+4}{x} , έχουν ίσες ελάχιστες τιμές , υπολογίστε τον αριθμό a .

Σημείωση : Το θέμα είναι κατάλληλο και για την Α' Λυκείου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7428
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ο άγνωστος α

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 24, 2019 8:09 pm

Προφανώς η f παρουσιάζει ελάχιστο στο {x_0} = \dfrac{5}{2}\,\,\,το \boxed{f(5/2) = a - \frac{{25}}{4}}.

Αφού x > 0, g(x) = x + \dfrac{4}{x} + 5 \geqslant 9 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} \geqslant 0.

άρα \boxed{a = 9 + \frac{{25}}{4}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4687
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ο άγνωστος α

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Σεπ 24, 2019 9:03 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ελαφριά παραλλαγή της απάντησης του Νίκου.


Είναι  \displaystyle g(x) = \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{x} = x + \frac{4}{x} + 5,\;\;x > 0

Οι θετικοί αριθμοί  \displaystyle x,\;\frac{4}{x} έχουν σταθερό γινόμενο, οπότε το άθροισμά τους παρουσιάζει ελάχιστο όταν είναι ίσοι (αν μπορούν να γίνουν ίσοι).

Αυτό συμβαίνει, όταν  \displaystyle x = \frac{4}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2 .

Τότε το ελάχιστο της g(x) είναι  \displaystyle g\left( 2 \right) = 9 .

Είναι  \displaystyle {x^2} - 5x + a = {x^2} - 5x + \frac{{25}}{4} + a - \frac{{25}}{4} = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + a - \frac{{25}}{4} \ge a - \frac{{25}}{4} με το ελάχιστο όταν  \displaystyle x = \frac{5}{2} .

Οπότε  \displaystyle a - \frac{{25}}{4} = 9 \Leftrightarrow a = \frac{{61}}{4}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης