Ανίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Φεβ 28, 2020 8:27 pm

Να λύσετε την ανίσωση

\displaystyle{ \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{2}}-\sqrt[6]{4x^2}}{\left( x^2 -4| x | \right )^2-8x^2+32 | x | -48} \geq 0}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Φεβ 29, 2020 5:54 pm

Για τα \displaystyle x\in R με \displaystyle {{\left( {{x}^{2}}-4|x| \right)}^{2}}-8{{x}^{2}}+32|x|-48\ne 0 έχουμε ισοδύναμα :
\displaystyle \begin{array}{l} 
\frac{{\sqrt[3]{{\frac{{{x^2}}}{2}}} - \sqrt[6]{{4{x^2}}}}}{{{{\left( {{x^2} - 4|x|} \right)}^2} - 8{x^2} + 32|x| - 48}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - 8\sqrt[3]{{2|x|}}}}{{8\left( {{{\left( {{x^2} - 4|x|} \right)}^2} - 8({x^2} - 4|x|) - 48} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \\ 
\\ 
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{{4|x|}}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{{x^2}}}\sqrt[3]{{4|x|}} + {{\left( {\sqrt[3]{{4|x|}}} \right)}^2}} \right)}}{{8\left( {{{\left( {{x^2} - 4|x|} \right)}^2} - 8({x^2} - 4|x|) - 48} \right)\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{{x^2}}}\sqrt[3]{{4|x|}} + {{\left( {\sqrt[3]{{4|x|}}} \right)}^2}} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \\ 
\\ 
 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4|x|}}{{8\left( {{{\left( {{x^2} - 4|x|} \right)}^2} - 8({x^2} - 4|x|) - 48} \right)\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{{x^2}}}\sqrt[3]{{4|x|}} + {{\left( {\sqrt[3]{{4|x|}}} \right)}^2}} \right)}} \ge 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) 
\end{array}
Επειδή \displaystyle {{\left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\sqrt[3]{4|x|}+{{\left( \sqrt[3]{4|x|} \right)}^{2}}>0 (τριώνυμο με διακρίνουσα αρνητική ) και θέτοντας \displaystyle {{x}^{2}}-4|x|=k\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) , η (1) γράφεται :
\displaystyle \frac{k}{{{k}^{2}}-8k-48}\ge 0\Leftrightarrow k(k+4)(k-12)\ge 0\Leftrightarrow -4\le k\le 0\vee k\ge 12 ( οι λύσεις με πινακάκι ) , κι αφού
\displaystyle \begin{array}{l} 
{k^2} - 8k - 48 \ne 0 \Leftrightarrow k \ne  - 4 \wedge k \ne 12 \Rightarrow  - 4 < k \le 0 \vee k > 12\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(2)}  - 4 < {x^2} - 4|x| \le 0 \vee ({x^2} - 4|x| > 12) \Leftrightarrow \\ 
\\ 
 \Leftrightarrow ({x^2} - 4|x| + 4 > 0 \wedge {x^2} - 4|x| \le 0) \le 0 \vee {x^2} - 4|x| - 12 > 0 \Leftrightarrow \\ 
\\ 
 \Leftrightarrow {(|x| - 2)^2} > 0 \wedge |x|(|x| - 4) \le 0) \vee (|x| - 6)(|x| + 2) > 0 \Leftrightarrow \\ 
\\ 
 \Leftrightarrow (x \ne  \pm 2 \wedge (x = 0 \vee  - 4 \le x \le 4)) \vee (|x| - 6) \Leftrightarrow \\ 
\\ 
 \Leftrightarrow (x \ne  \pm 2 \wedge ( - 4 \le x \le 4)) \vee (x > 6 \vee x <  - 6)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) 
\end{array}
Όμως \displaystyle k\ne -4\wedge k\ne 12\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4|x|\ne -4\wedge {{x}^{2}}-4|x|\ne 12\Leftrightarrow x\ne \pm 2
Άρα : \displaystyle (3)\Leftrightarrow (-4\le x<-2\vee -2<x<2\vee 2<x\le 4)\vee (x>6\vee x<-6)
ή : \displaystyle x\in (-\infty ,-6)\cup [-4,-2)\cup (-2,2)\cup (2,4]\cup (6,+\infty )


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Φεβ 29, 2020 9:57 pm

Να ευχαριστήσουμε τον κ.Καλαθάκη για την λύση και την ενασχόληση με την άσκηση. Η όλη άσκηση βασίζεται στην αποσύνθεση μιας περίπλοκης σχέσεις (ανίσωσης) σε ισοδύναμες πιο απλές. Ας δούμε μερικές από αυτές που άμεσα και έμμεσα χρησιμοποιήθηκαν και παραπάνω και μας οδηγούν στο να απλοποιήσουμε την ανίσωση και να οδηγηθούμε στην λύση.

Μετά την αναγνώριση ότι ο παρονομαστής μπορεί να παραγονοποιηθεί, η ανίσωση μπορεί να γραφεί στην ισοδύναμη μορφή

\displaystyle{ \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{2}}-\sqrt[6]{4x^2}}{\left (|x| -6 \right ) \left ( |x|+2\right )\left( | x |-2 \right )^2} \geq 0} \star

Στην τελευταία σχέση θα πρέπει να δούμε είτε που μηδενίζεται ο αριθμητής, είτε να προσδιορίσουμε το πρόσημο του κλάσματος. Αυτό σημαίνει ότι αν αντικαταστήσουμε τον αριθμητή ή κάποιο παράγοντα του παρονομαστή με μια έκφραση του ίδιου προσήμου, τότε προκύπτει μια ισοδύναμη με την αρχική ανίσωση.

Παρατηρούμε ότι το πρόσημο της έκφρασης \displaystyle{ \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} συμπίπτει με το πρόσημο της έκφρασης \displaystyle{a-b} για οποιαδήποτε a και b.

Η έκφραση \displaystyle{|a|-b} για b < 0 είναι θετική και για b > 0 το πρόσημό της συμπίπτει με το πρόσημο της έκφρασης \displaystyle{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}.

Οπότε η ανίσωση (\star ) είναι ισοδύναμη με τις ακόλουθες

\displaystyle{ \dfrac{\dfrac{x^2}{2}-2|x|}{\left ( x^2-36 \right ) \left ( x^2-4 \right )^2} \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{|x| \left ( |x|-4 \right)}{\left ( x^2-36 \right ) \left ( x^2-4 \right )^2} \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2(x-4)(x+4)}{(x-6)(x+6)(x-2)^2(x+2)^2} \geq 0}

Στην τελευταία είναι εύκολο πλέον να φτιάξουμε τον πίνακα προσήμων και να βρούμε τις λύσεις.


Παρόμοιες τεχνικές μπορούν προφανώς να χρησιμοποιηθούν και σε άλλες παραστάσεις αλλά και να κινηθούμε αντίστροφα, να δημιουργήσουμε τέτοια θέματα. Για την ιστορία η άσκηση είναι από την περσινή εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδα του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για την 10η τάξη (θέμα 2ο από 7), από όπου και δανείστηκα την λύση στην παραπάνω μορφή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης