Τριγωνομετρική με παράμετρο

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τριγωνομετρική με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Απρ 21, 2020 8:56 pm

Για ποιές τιμές της παραμέτρου a η εξίσωση

\displaystyle{ \sin^2 \left ( x+6 \right) -\left (a-1 \right) \sin \left (x+6 \right ) \sin \pi x +\left (a-1 \right ) \sin^2 \pi x = 0 }

έχει μοναδική λύση;


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος φιλολογίας του Κρατικού Πανεπιστιμίου Μόσχας, 1998.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Απρ 26, 2020 9:42 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τρί Απρ 21, 2020 8:56 pm
Για ποιές τιμές της παραμέτρου a η εξίσωση

\displaystyle{ \sin^2 \left ( x+6 \right) -\left (a-1 \right) \sin \left (x+6 \right ) \sin \pi x +\left (a-1 \right ) \sin^2 \pi x = 0 }

έχει μοναδική λύση;


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος φιλολογίας του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1998.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος φιλολογίας του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας

Αλέξανδρε, μας βρήκες μικρούς και μας πειράζεις ε;; :lol: :lol: :lol:


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Απρ 27, 2020 12:45 am

rek2 έγραψε:
Κυρ Απρ 26, 2020 9:42 pm

Αλέξανδρε, μας βρήκες μικρούς και μας πειράζεις ε;; :lol: :lol: :lol:
Και εγώ πειράχτηκα :D , για αυτό και τις μοιράστηκα. Τα τλευταία 3-4 θέματα που έχω βάλει στο φάκελο είναι επιπέδου "Ευκλείδη" θα λέγαμε. Είναι τα τελευταία θέματα, θεωρητικά πιο δύσκολα, από διάφορες χρονιές και διάφορα τμήματα.

Δεν έχω βρει στατιστικά, εκτός από κάποιες χρονιές. Για παράδειγμα στο πρόβλημα εδώ από το τμήμα βιολογίας έχω δει στο περιοδικό "Μαθηματικά στο σχολείο" ότι δεν κατάφερε να το λύσει κανείς. Με σχόλιο, "ελάχιστοι κινήθηκαν προς την λύση". Λογικό για την δυσκολία του συγκεκριμένου θέματος. Εικάζω ότι και εδώ ελάχιστοι θα το έλυσαν ή κινήθηκαν προς την λύση. Επίσης έχω δει στατιστικά κάποιων ετών όσο αναφορά στα πόσα προβλήματα δινόταν το άριστα, πολύ καλά, καλά κτλ. Σπάνια το άριστα ήταν 5/5 ή 6/6 θέματα.


Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Δευ Απρ 27, 2020 10:15 am

Παρατηρούμε ότι το -6 είναι η μοναδική ακέραια λύση της εξίσωσης για κάθε τιμή της παραμέτρου a . Προφανώς δε θέλουμε να έχουμε άλλη.
\forall x\notin \mathbb{Z} η εξίσωση είναι ισοδύναμη προς την y^{2}-\left ( a-1 \right )y+\left ( a-1 \right )= 0 , όπου y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .
Η οποία είναι αδύνατη για \Delta <0\Leftrightarrow 1<a<5 . Σημειώνουμε πως \forall  y \in \mathbb{R} ,  \exists x\in \left ( 0,1 \right ) : y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Απρ 27, 2020 11:12 am

Stelios V8 έγραψε:
Δευ Απρ 27, 2020 10:15 am
Παρατηρούμε ότι το -6 είναι η μοναδική ακέραια λύση της εξίσωσης για κάθε τιμή της παραμέτρου a . Προφανώς δε θέλουμε να έχουμε άλλη.
\forall x\notin \mathbb{Z} η εξίσωση είναι ισοδύναμη προς την y^{2}-\left ( a-1 \right )y+\left ( a-1 \right )= 0 , όπου y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .
Η οποία είναι αδύνατη για \Delta <0\Leftrightarrow 1<a<5 . Σημειώνουμε πως \forall  y \in \mathbb{R} ,  \exists x\in \left ( 0,1 \right ) : y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .
:coolspeak:
Stelios V8 έγραψε:
Δευ Απρ 27, 2020 10:15 am
Σημειώνουμε πως \forall  y \in \mathbb{R} ,  \exists x\in \left ( 0,1 \right ) : y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .
Εδώ νομίζω την πάτησα, όσο αναφορά τον φάκελο, για να μπορούμε να το δικαιολογήσουμε :oops: .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης