Σελίδα 1 από 1

Τριγωνομετρική με παράμετρο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Απρ 21, 2020 8:56 pm
από Al.Koutsouridis
Για ποιές τιμές της παραμέτρου a η εξίσωση

\displaystyle{ \sin^2 \left ( x+6 \right) -\left (a-1 \right) \sin \left (x+6 \right ) \sin \pi x +\left (a-1 \right ) \sin^2 \pi x = 0 }

έχει μοναδική λύση;


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος φιλολογίας του Κρατικού Πανεπιστιμίου Μόσχας, 1998.

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 26, 2020 9:42 pm
από rek2
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τρί Απρ 21, 2020 8:56 pm
Για ποιές τιμές της παραμέτρου a η εξίσωση

\displaystyle{ \sin^2 \left ( x+6 \right) -\left (a-1 \right) \sin \left (x+6 \right ) \sin \pi x +\left (a-1 \right ) \sin^2 \pi x = 0 }

έχει μοναδική λύση;


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος φιλολογίας του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1998.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος φιλολογίας του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας

Αλέξανδρε, μας βρήκες μικρούς και μας πειράζεις ε;; :lol: :lol: :lol:

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 27, 2020 12:45 am
από Al.Koutsouridis
rek2 έγραψε:
Κυρ Απρ 26, 2020 9:42 pm

Αλέξανδρε, μας βρήκες μικρούς και μας πειράζεις ε;; :lol: :lol: :lol:
Και εγώ πειράχτηκα :D , για αυτό και τις μοιράστηκα. Τα τλευταία 3-4 θέματα που έχω βάλει στο φάκελο είναι επιπέδου "Ευκλείδη" θα λέγαμε. Είναι τα τελευταία θέματα, θεωρητικά πιο δύσκολα, από διάφορες χρονιές και διάφορα τμήματα.

Δεν έχω βρει στατιστικά, εκτός από κάποιες χρονιές. Για παράδειγμα στο πρόβλημα εδώ από το τμήμα βιολογίας έχω δει στο περιοδικό "Μαθηματικά στο σχολείο" ότι δεν κατάφερε να το λύσει κανείς. Με σχόλιο, "ελάχιστοι κινήθηκαν προς την λύση". Λογικό για την δυσκολία του συγκεκριμένου θέματος. Εικάζω ότι και εδώ ελάχιστοι θα το έλυσαν ή κινήθηκαν προς την λύση. Επίσης έχω δει στατιστικά κάποιων ετών όσο αναφορά στα πόσα προβλήματα δινόταν το άριστα, πολύ καλά, καλά κτλ. Σπάνια το άριστα ήταν 5/5 ή 6/6 θέματα.

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 27, 2020 10:15 am
από Stelios V8
Παρατηρούμε ότι το -6 είναι η μοναδική ακέραια λύση της εξίσωσης για κάθε τιμή της παραμέτρου a . Προφανώς δε θέλουμε να έχουμε άλλη.
\forall x\notin \mathbb{Z} η εξίσωση είναι ισοδύναμη προς την y^{2}-\left ( a-1 \right )y+\left ( a-1 \right )= 0 , όπου y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .
Η οποία είναι αδύνατη για \Delta <0\Leftrightarrow 1<a<5 . Σημειώνουμε πως \forall  y \in \mathbb{R} ,  \exists x\in \left ( 0,1 \right ) : y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 27, 2020 11:12 am
από Al.Koutsouridis
Stelios V8 έγραψε:
Δευ Απρ 27, 2020 10:15 am
Παρατηρούμε ότι το -6 είναι η μοναδική ακέραια λύση της εξίσωσης για κάθε τιμή της παραμέτρου a . Προφανώς δε θέλουμε να έχουμε άλλη.
\forall x\notin \mathbb{Z} η εξίσωση είναι ισοδύναμη προς την y^{2}-\left ( a-1 \right )y+\left ( a-1 \right )= 0 , όπου y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .
Η οποία είναι αδύνατη για \Delta <0\Leftrightarrow 1<a<5 . Σημειώνουμε πως \forall  y \in \mathbb{R} ,  \exists x\in \left ( 0,1 \right ) : y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .
:coolspeak:
Stelios V8 έγραψε:
Δευ Απρ 27, 2020 10:15 am
Σημειώνουμε πως \forall  y \in \mathbb{R} ,  \exists x\in \left ( 0,1 \right ) : y=\frac{\sin \left ( x+6 \right )}{\sin \left ( \pi x \right ) } .
Εδώ νομίζω την πάτησα, όσο αναφορά τον φάκελο, για να μπορούμε να το δικαιολογήσουμε :oops: .