Τριγωνομετρικές εκφράσεις

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τριγωνομετρικές εκφράσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Απρ 28, 2020 11:38 pm

Είναι γνωστό ότι

\displaystyle{ \dfrac{\cos 3x}{\left( 2 \cos 2x -1\right)\cos y}=\dfrac{2}{3} +\cos^2 \left (x-y\right) \quad } και \displaystyle{\quad  \dfrac{\sin 3x}{\left( 2 \cos 2x +1\right)\sin y}=-\dfrac{1}{3} - \sin^2 \left (x-y\right)}.

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της έκφρασης \displaystyle{\cos \left (x-3y\right) }, αν σας δίνεται ότι είναι τουλάχιστον δύο.


Θέμα 2o (από 6), μιας έκδοσης των θεμάτων, της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2019.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Απρ 30, 2020 5:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1490
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Τριγωνομετρικές εκφράσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τετ Απρ 29, 2020 11:19 pm

Οι δοσμένες ισότητες απλοποιούνται ως εξής:
Είναι \cos3x=4\cos^3x-3\cos x και 2\cos 2x-1=4\cos^2x-3 οπότε το 1ο μέλος της πρώτης ισότητας γίνεται

\boxed{\dfrac{\cos x}{\cos y}=\dfrac{2}{3}+\cos^2(x-y)}.

Με όμοιο τρόπο απλοποιείται και η 2η ισότητα:

\boxed{\dfrac{\sin x}{\sin y}=-\dfrac{1}{3}-\sin^2(x-y)}

Αφαιρώντας κατά μέλη τις πλαισιωμένες ισότητες

\dfrac{\cos x}{\cos y}-\dfrac{\sin x}{\sin y}=2 και επομένως

\sin(x-y)+\sin 2y=0

2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-3y}{2}=0

\bullet Αν \sin\dfrac{x+y}{2}=0 τότε \sin(x+y)=0 και \cos(x+y)=1-2\sin^2\dfrac{x+y}{2}=0.

Προσθέτουμε κατά μέλη τις πλαισιωμένες ισότητες και βρίσκουμε \dfrac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y}=\dfrac{1}{3}+\cos(2x-2y) οπότε \cos(2x-2y)=-\dfrac{1}{3}

Άρα \cos(x-3y)=\cos((2x-2y)-(x+y))=\cos(2x-2y)\cos(x+y)+\sin(2x-2y)\sin(x+y)=-\dfrac{1}{3}

\bullet Αν \cos\dfrac{x-3y}{2}=0 τότε \cos(x-3y)=2\cos^2\dfrac{x-3y}{2}-1=-1.

Άρα το \cos(x-3y) λαμβάνει το πολύ δύο τιμές και αφού από υπόθεση λαμβάνει τουλάχιστον δύο τιμές, τελικά λαμβάνει ακριβώς δύο τιμές, τις -1, \dfrac{1}{3}.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες