Εξίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 417
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιούλ 06, 2020 2:34 pm

Να βρεθεί ο αριθμός των λύσεων της εξίσωσης στο \displaystyle [0,2\pi]

\displaystyle x\cdot sin2x=cos2x



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9695
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 07, 2020 9:31 am

mick7 έγραψε:
Δευ Ιούλ 06, 2020 2:34 pm
Να βρεθεί ο αριθμός των λύσεων της εξίσωσης στο \displaystyle [0,2\pi]

\displaystyle x\cdot sin2x=cos2x
xsin2x=cos2x.png
xsin2x=cos2x.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές
Η εξίσωση έχει 4 ρίζες στο [0,2\pi].


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Ιούλ 07, 2020 10:50 am

mick7 έγραψε:
Δευ Ιούλ 06, 2020 2:34 pm
Να βρεθεί ο αριθμός των λύσεων της εξίσωσης στο \displaystyle [0,2\pi]

\displaystyle x\cdot sin2x=cos2x
Αυστηρή λύση δεν ξέρω αν μπορεί να δοθεί για αυτό το φάκελο, γραφικά όμως αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η εξίσωση γράφεται

\displaystyle{x\cdot sin2x=cos2x \Leftrightarrow x=\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x} \Leftrightarrow  x=\cot 2x}

αφού αποφανθούμε ότι τα σημεία στα οποία \sin 2x =0 δεν αποτελούν λύσεις.

Άρα το πρόβλημα ανάγεται στο πόσες φορές η ευθέια y=x τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης y=\cot 2x, η οπόια έχει περίοδο \pi/2, στο δίαστημα \displaystyle{ [0,2\pi]}. Σε κάθε περίοδο η y=x, για θετικά x, τέμνει την γραφική παράσταση της συνεφαπτομένης ακριβώς μια φορά. Άρα στη περίπτωσή μας θα έχουμε τέσσερις λύσεις στο εν λόγω διάστημα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 07, 2020 3:49 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τρί Ιούλ 07, 2020 10:50 am
Αυστηρή λύση δεν ξέρω αν μπορεί να δοθεί για αυτό το φάκελο, γραφικά όμως αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η εξίσωση γράφεται
Αέξανδρε, μια χαρά είναι η λύση σου. Είχα κατά νου μία παραλλαγή της στην οποία φαίνεται πιο καθαρά η αυστηρή λύση, αλλά δεν την έγραψα γιατί έχει αρκετή πληκτρολόγηση για την αξία της. Πάντως περιληπτικά, η εξίσωση γράφεται

\tan 2x = \frac {1}{x}. Αξίζει (αν και περιττεύει) να γράψουμε 2x=t, οπότε \tan t= \frac {2}{t}, \, 0\le t \le 4 \pi εκτός από τα σημεία όπου δεν ορίζεται η εφαπτομένη (π.χ. στο \pi /2 και λοιπά).

Χωρίζουμε το διάστημα αναφοράς στα \displaystyle{ [0, \pi /2)\cup (\pi /2 , 3\pi /2 ) \cup (3\pi /2 , 5\pi /2 ) \cup (5\pi /2 , 7\pi /2 ) \cup (7 \pi /2 , 4\pi  ] }

Ας πάρουμε το πρώτο. Εκεί η μεν \tan t είναι γνήσια αύξουσα και η 2/ t γνήσια φθίνουσα άρα έχουμε το πολύ μία ρίζα. Από Bolzano έχουμε τουλάχιστον μία ρίζα, άρα ακριβώς μία. Όμοια στο δεύτερο, τρίτο και τέταρτο διάστημα. Στο πέμπτο δεν έχουμε καμία ρίζα γιατί \frac {2}{t} > 0 \ge \tan t. Σύνολο, 4 ρίζες.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 417
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Ιούλ 07, 2020 4:24 pm

Βάζω και την "πηγή" του θέματος ...μικρή ανταμοιβή για όσους ασχολήθηκαν...Είναι το paper 1 του 2018 πρόβλημα 6...Υπάρχουν και άλλα θέματα και λύσεις :)

https://www.admissionstesting.org/for-t ... eparation/


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 07, 2020 8:13 pm

Ευχαριστούμε mick7.

'Ομως ας παρατηρήσω ότι η δοθείσα λύση (που είναι στο ίδιο μήκος κύματος με την δική μου) είναι ελλειπής. Συγκεκριμένα, ξεχνάει να μελετήσει το διάστημα (\frac {7\pi }{4},\, 2\pi ). Τυχαίνει εκεί η εξίσωση να μην έχει ρίζα, αλλά αυτό θέλει αιτιολόγηση (η οποία υπάρχει στην δική μου λύση).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης