Λογαριθμική ανίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Λογαριθμική ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιούλ 15, 2020 7:22 pm

Να λύσετε την ανίσωση

\displaystyle{2 \log_{7} \left ( x\sqrt{2}\right)-\log_{7} \left ( \dfrac{x}{1-x}\right) \leq \log_{7} \left ( 8x^2+\dfrac{1}{x} -5\right )}.



Λέξεις Κλειδιά:
4ptil
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Λογαριθμική ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Πέμ Ιούλ 16, 2020 12:06 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιούλ 15, 2020 7:22 pm
Να λύσετε την ανίσωση

\displaystyle{2 \log_{7} \left ( x\sqrt{2}\right)-\log_{7} \left ( \dfrac{x}{1-x}\right) \leq \log_{7} \left ( 8x^2+\dfrac{1}{x} -5\right )}.
Βρήκα ένα διάστημα όμως με έχει παιδέψει το πεδίο ορισμού της \log_{7}(8x^2+\frac{1}{x}-5) και από ότι φαίνεται εναλλάσσει πρόσημα στο (0,1) :?: :P


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Λογαριθμική ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιούλ 16, 2020 10:23 am

4ptil έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 12:06 am
Βρήκα ένα διάστημα όμως με έχει παιδέψει το πεδίο ορισμού της \log_{7}(8x^2+\frac{1}{x}-5) και από ότι φαίνεται εναλλάσσει πρόσημα στο (0,1) :?: :P
Όντως είναι δύσκολο να βρεθεί το πεδίο ορισμού της παραπάνω παράστασης.
Χρειάζεται όμως να βρεθεί;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9695
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λογαριθμική ανίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:02 am

Δεν ενδείκνυται για σχολική άσκηση Β' λυκείου.
Από τις δύο πρώτες παρενθέσεις είναι 0<x<1. Αφήνω τους περιορισμούς στην τρίτη παρένθεση.

\displaystyle \log (2{x^2}) \le \log \left( {\frac{x}{{1 - x}} \cdot \frac{{8{x^3} + 1 - 5x}}{x}} \right) \Leftrightarrow 10{x^3} - 2{x^2} - 5x + 1 \le 0

\displaystyle 2{x^2}(5x - 1) - (5x - 1) \le 0 \Leftrightarrow (2{x^2} - 1)(5x - 1) \le 0, απ' όπου \boxed{x \in \left( {0,\frac{1}{5}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }},1} \right)}

Τέλος διαπιστώνω ότι γι' αυτές τις τιμές είναι 8x^2+\dfrac{1}{x}-5>0.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Λογαριθμική ανίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:27 am

george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:02 am
Δεν ενδείκνυται για σχολική άσκηση Β' λυκείου.
Νομίζω είναι μια χαρά. Υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος ενδοιασμός;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9695
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λογαριθμική ανίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:34 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:27 am
george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:02 am
Δεν ενδείκνυται για σχολική άσκηση Β' λυκείου.
Νομίζω είναι μια χαρά. Υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος ενδοιασμός;
Ναι! Διδάσκουμε τους μαθητές- όταν έχουμε λογάριθμους- να παίρνουν περιορισμούς πριν από οτιδήποτε άλλο.
Τώρα τι θα τους πούμε; Η ανίσωση δεν λύνεται, αφήστε την;


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Λογαριθμική ανίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:59 am

george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:02 am
Δεν ενδείκνυται για σχολική άσκηση Β' λυκείου.
Από τις δύο πρώτες παρενθέσεις είναι 0<x<1. Αφήνω τους περιορισμούς στην τρίτη παρένθεση.

\displaystyle \log (2{x^2}) \le \log \left( {\frac{x}{{1 - x}} \cdot \frac{{8{x^3} + 1 - 5x}}{x}} \right) \Leftrightarrow 10{x^3} - 2{x^2} - 5x + 1 \le 0

\displaystyle 2{x^2}(5x - 1) - (5x - 1) \le 0 \Leftrightarrow (2{x^2} - 1)(5x - 1) \le 0, απ' όπου \boxed{x \in \left( {0,\frac{1}{5}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }},1} \right)}

Τέλος διαπιστώνω ότι γι' αυτές τις τιμές είναι 8x^2+\dfrac{1}{x}-5>0.
Δε βλέπω τι το μη σχολικό έχει η παραπάνω λύση.
george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:34 am
Ναι! Διδάσκουμε τους μαθητές- όταν έχουμε λογάριθμους- να παίρνουν περιορισμούς πριν από οτιδήποτε άλλο.
Τώρα τι θα τους πούμε; Η ανίσωση δεν λύνεται, αφήστε την;
Νομίζω είναι διαφορετικό το παίρνουμε περιορισμό και διαφορετικό τον λύνουμε. Εδώ παίρνουμε το περιορισμό αλλά δε τον λύνουμε. Δεν είμαι καθηγητής και δεν έχω εμπειρία διδασκαλίας, πολύ πιθανόν να έχετε δίκιο. Όμως το να διαδάσκουμε τυφλοσούρτι ότι κάθε περιορισμό τον λύνουμε το βρίσκω μη σωστό.

Για παράδειγμα όταν λύνουμε ένα σύστημα εξισώσεων μπορεί η κάθε εξίσωση ξεχωριστά να μην λύνεται αλλά σαν σύστημα η λύση είναι ορατή και σχετικά απλή.

Έτσι και εδώ οι περιορισμοί μας δίνουν ένα σύστημα ανισώσεων. Σε αυτό το σύστημα κάθε ανίσωση ξεχωριστά μπορεί να μην λύνεται , αλλά το σύστημα λύνεται. Γιατί δηλαδή ο μαθητής ναι μεν να έρχεται σε επαφή με τέτοια συστήματα εξισώσεων, αλλά να αγνοεί την έννοια στα συστήματα ανισώσεων;


nikos11
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 22, 2015 12:59 pm

Re: Λογαριθμική ανίσωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos11 » Πέμ Ιούλ 16, 2020 12:06 pm

Καλημέρα κύριε Βισβικη. Αν δεν κάνω λάθος στο παράδειγμα 3 σελ.184 του σχολικού βιβλίου σε λογαριθμική εξίσωση παίρνει περιορισμό στην αρχή , δεν λύνει τις ανισώσεις και κάνει έλεγχο λύσεων στο τέλος. Αφού λοιπόν το κάνει το σχολικό βιβλίο νομίζω τελικά ότι είναι επιτρεπτό. Καλημέρα και πάλι.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9695
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λογαριθμική ανίσωση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 16, 2020 7:04 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:59 am
george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:34 am
Ναι! Διδάσκουμε τους μαθητές- όταν έχουμε λογάριθμους- να παίρνουν περιορισμούς πριν από οτιδήποτε άλλο.
Τώρα τι θα τους πούμε; Η ανίσωση δεν λύνεται, αφήστε την;
Νομίζω είναι διαφορετικό το παίρνουμε περιορισμό και διαφορετικό τον λύνουμε. Εδώ παίρνουμε το περιορισμό αλλά δε τον λύνουμε.
40 χρόνια καθηγητής, πρώτη φορά ακούω ότι παίρνουμε περιορισμούς, αλλά δεν χρειάζεται να λύσουμε τις ανισώσεις.
Μπορεί να συμβεί κατ' εξαίρεση όπως εδώ, αλλά ίσως σε φάκελο διαγωνισμών και όχι Β' Λυκείου.
nikos11 έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 12:06 pm
Καλημέρα κύριε Βισβικη. Αν δεν κάνω λάθος στο παράδειγμα 3 σελ.184 του σχολικού βιβλίου σε λογαριθμική εξίσωση παίρνει περιορισμό στην αρχή , δεν λύνει τις ανισώσεις και κάνει έλεγχο λύσεων στο τέλος. Αφού λοιπόν το κάνει το σχολικό βιβλίο νομίζω τελικά ότι είναι επιτρεπτό. Καλημέρα και πάλι.
Το σχολικό κακώς δεν λύνει τις ανισώσεις. Αλλά δεν είναι πρώτη φορά που το σχολικό βιβλίο δίνει ελλιπείς λύσεις. Ας μην ξεχνάμε ότι φέτος στις Πανελλαδικές εξετάσεις (παλαιού τύπου) μπήκε άσκηση από το σχολικό βιβλίο που ήταν λυμένη ελλιπώς! Πέρα όμως από αυτό, όταν έχουμε να λύσουμε εξισώσεις είναι εύκολο στο τέλος να ελέγξουμε τις λύσεις. Τι γίνεται όμως με τις ανισώσεις;

Για να δούμε λοιπόν πώς μπορούν να βρεθούν οι λύσεις της παρακάτω ανίσωσης, χωρίς να λυθούν οι ανισώσεις των περιορισμών.

\displaystyle \log (2{x^2} + x - 2) \ge \log ({x^2} + 5x - 5)


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Λογαριθμική ανίσωση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Ιούλ 17, 2020 1:45 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 7:04 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:59 am
george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 11:34 am
Ναι! Διδάσκουμε τους μαθητές- όταν έχουμε λογάριθμους- να παίρνουν περιορισμούς πριν από οτιδήποτε άλλο.
Τώρα τι θα τους πούμε; Η ανίσωση δεν λύνεται, αφήστε την;
Νομίζω είναι διαφορετικό το παίρνουμε περιορισμό και διαφορετικό τον λύνουμε. Εδώ παίρνουμε το περιορισμό αλλά δε τον λύνουμε.
40 χρόνια καθηγητής, πρώτη φορά ακούω ότι παίρνουμε περιορισμούς, αλλά δεν χρειάζεται να λύσουμε τις ανισώσεις.
Μπορεί να συμβεί κατ' εξαίρεση όπως εδώ, αλλά ίσως σε φάκελο διαγωνισμών και όχι Β' Λυκείου.
nikos11 έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 12:06 pm
Καλημέρα κύριε Βισβικη. Αν δεν κάνω λάθος στο παράδειγμα 3 σελ.184 του σχολικού βιβλίου σε λογαριθμική εξίσωση παίρνει περιορισμό στην αρχή , δεν λύνει τις ανισώσεις και κάνει έλεγχο λύσεων στο τέλος. Αφού λοιπόν το κάνει το σχολικό βιβλίο νομίζω τελικά ότι είναι επιτρεπτό. Καλημέρα και πάλι.
Το σχολικό κακώς δεν λύνει τις ανισώσεις. Αλλά δεν είναι πρώτη φορά που το σχολικό βιβλίο δίνει ελλιπείς λύσεις. Ας μην ξεχνάμε ότι φέτος στις Πανελλαδικές εξετάσεις (παλαιού τύπου) μπήκε άσκηση από το σχολικό βιβλίο που ήταν λυμένη ελλιπώς! Πέρα όμως από αυτό, όταν έχουμε να λύσουμε εξισώσεις είναι εύκολο στο τέλος να ελέγξουμε τις λύσεις. Τι γίνεται όμως με τις ανισώσεις;

Για να δούμε λοιπόν πώς μπορούν να βρεθούν οι λύσεις της παρακάτω ανίσωσης, χωρίς να λυθούν οι ανισώσεις των περιορισμών.

\displaystyle \log (2{x^2} + x - 2) \ge \log ({x^2} + 5x - 5)
Νομίζω είπα κάτι διαφορετικό. Το παίρνουμε περιορισμό σημαίνει ότι ορίζουμε ένα καλώς ορισμένο σύνολο. Όπως για παράδειγμα μας λέει το βιβλίο της Α' Λυκείου:

\{ x \in \Omega |, x έχει την ιδιότητα I \}

Στην περίπτωσή μας το \Omega = \mathbb{R} και οι ιδιότητες είναι

I_{1},  x\sqrt{2} >0

I_{2}, \dfrac{x}{1-x} > 0

I_{3}, 8x^2 +\dfrac{1}{x}-5 > 0

και μια τέταρτη που προκύπτει από τις ιδιότητες τον λογρίθμων, πράξεις, την μορφή της εξίσωσης

I_{4}, \dfrac{2x^2}{\dfrac{x}{1-x}} \leq 8x^2 +\dfrac{1}{x}-5

Έτσι oρίζονται τέσσερα καλώς ορισμένα σύνολα

A_{1}=\{x \in \mathbb{R}, x έχει την ιδιότητα I_{1} \}

A_{2}=\{x \in \mathbb{R}, x έχει την ιδιότητα I_{2} \}

A_{3}=\{x \in \mathbb{R}, x έχει την ιδιότητα I_{3} \}

A_{4}=\{x \in \mathbb{R}, x έχει την ιδιότητα I_{4} \}

Λύση της ανίσωσης είναι το σύνολο A=A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}. Το πως θα βρούμε αυτή την τομή εναπόκειται στη φύση της κάθε ανίσωσης, ιδιότητας, συνόλου. Μπορεί να χρειαστεί να βρούμε όλα τα στοιχεία των συνόλων ένα ένα (συντριπτική πλεθοψηφία των ασκήσεων, ναι), μπορεί και όχι.

Από την Α' Λυκείου γνωρίζουμε ότι αν A \subseteq B, τότε A \cap B = A. Αυτή την ιδιότητα καλούμαστε να χρησιμοποιήσουμε/δούμε εδώ, για να αποφύγουμε την δυσκολία της επίλυσης κάθε ανίσωσης ξεχωριστά. Στην οποία δυσκολία αργά η γρήγορα θα φτάσουμε και θα πρέπει να αρχίσουμε να σκεφτούμε τι γίνεται, πως θα την υπερπηδήσουμε. Αυτό ακριβώς αναζητάει η άσκηση και δεν καταλαβαίνω που είναι το μη εξωσχολικό ή κάτι το οποίο κάποιοι που πρέπει να ασχολούνται με διαγωνισμούς και δε ξερώ εγώ τι πρέπει να ξέρουν, να έρθουν σε επαφή.

Δεν κατάλαβα πραγματικά την αντίδραση για τον φάκελο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης