Τριγωνομετρική με παράμετρο

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1255
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τριγωνομετρική με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιούλ 16, 2020 10:24 am

Να βρείτε τα a, για τα οποία η ανίσωση

\displaystyle{\sqrt{2\pi -|x|} \left ( \cot^2 \left ( \sin x \right)-2a \cot \left ( \sin x \right) -a\right ) \leq 0}

έχει πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Να βείτε αυτές τις λύσεις.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Αύγ 21, 2020 9:17 pm

Αλεξ, για να αρχίσει παιχνίδι, a=-1,0 ;;


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1255
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Αύγ 21, 2020 9:38 pm

rek2 έγραψε:
Παρ Αύγ 21, 2020 9:17 pm
Αλεξ, για να αρχίσει παιχνίδι, a=-1,0 ;;
Νομίζω μόνο a=-1, αλλά πρέπει να το ξανακοιτάξω...


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Αύγ 22, 2020 11:21 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Αύγ 21, 2020 9:38 pm
rek2 έγραψε:
Παρ Αύγ 21, 2020 9:17 pm
Αλεξ, για να αρχίσει παιχνίδι, a=-1,0 ;;
Νομίζω μόνο a=-1, αλλά πρέπει να το ξανακοιτάξω...
Η αδύνατη δεν θεωρείται πεπερασμένου πλήθους λύσεων;


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1255
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Αύγ 22, 2020 1:40 pm

rek2 έγραψε:
Σάβ Αύγ 22, 2020 11:21 am
Η αδύνατη δεν θεωρείται πεπερασμένου πλήθους λύσεων;
Θυμόμουν για μια τιμή του a για αυτό το έγραψα λίγο βιαστικά παραπάνω. Για a=0 εύκολα βλέπουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις. Τώρα αν είναι πεπερασμένη το πλήθος λύση, η μη λύση, το θεωρώ λεπτομέρεια. Αρκεί να αναφέρει κανείς τι γίνεται σε κάθε περίπτωση. Μου φαίνεται λογικό να μην συνυπολογιστεί η τιμή a=0 στην τελική απάντηση.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Αύγ 22, 2020 5:22 pm

Έκανα κάποιες πράξεις και βρήκα και την τιμή a=\dfrac{\cot^21}{1-2\cot^21} ως λύση - πέρα από την a=-1, αλλά δεν έχω χρόνο να τα γράψω τώρα. Υπάρχει ενδεχομένο να είναι και αυτή λύση ή να ξανακοιτάξω τα χαρτιά μου;


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Αύγ 22, 2020 7:56 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Αύγ 22, 2020 1:40 pm
rek2 έγραψε:
Σάβ Αύγ 22, 2020 11:21 am
Η αδύνατη δεν θεωρείται πεπερασμένου πλήθους λύσεων;
Θυμόμουν για μια τιμή του a για αυτό το έγραψα λίγο βιαστικά παραπάνω. Για a=0 εύκολα βλέπουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις. Τώρα αν

είναι πεπερασμένη το πλήθος λύση, η μη λύση,

το θεωρώ λεπτομέρεια. Αρκεί να αναφέρει κανείς τι γίνεται σε κάθε περίπτωση. Μου φαίνεται λογικό να μην συνυπολογιστεί η τιμή a=0 στην τελική απάντηση.
Ενδιαφέρον.

Το ερώτημα είναι: στις πεπερασμένου πλήθους λύσεις θεωρούμε κι αυτό που ο Άλεξαντρος λέει...μη λύση :P;;

Μιχάλη !!


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1255
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Αύγ 22, 2020 9:59 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Σάβ Αύγ 22, 2020 5:22 pm
Έκανα κάποιες πράξεις και βρήκα και την τιμή a=\dfrac{\cot^21}{1-2\cot^21} ως λύση - πέρα από την a=-1, αλλά δεν έχω χρόνο να τα γράψω τώρα. Υπάρχει ενδεχομένο να είναι και αυτή λύση ή να ξανακοιτάξω τα χαρτιά μου;
Πολύ κοντά. Η a=\dfrac{\cot^2 1}{1-2\cot^2 1} νομίζω δεν δίνει λύσεις. Υπάρχει όμως μια άλλη τιμή του a εκτός του -1 που δίνει επιθυμητές λύσεις.
Απάντηση:  a=-1, a = \dfrac{\cot^21}{1+2\cot 1} και αντίστοιχα οι τιμές για τα x. Για τα υπόλοιπα a η εξίσωση είτε δεν έχει λύσεις, είτε έχει άπειρες.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Αύγ 22, 2020 10:41 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Αύγ 22, 2020 9:59 pm
Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Σάβ Αύγ 22, 2020 5:22 pm
Έκανα κάποιες πράξεις και βρήκα και την τιμή a=\dfrac{\cot^21}{1-2\cot^21} ως λύση - πέρα από την a=-1, αλλά δεν έχω χρόνο να τα γράψω τώρα. Υπάρχει ενδεχομένο να είναι και αυτή λύση ή να ξανακοιτάξω τα χαρτιά μου;
Πολύ κοντά. Η a=\dfrac{\cot^2 1}{1-2\cot^2 1} νομίζω δεν δίνει λύσεις. Υπάρχει όμως μια άλλη τιμή του a εκτός του -1 που δίνει επιθυμητές λύσεις.
Απάντηση:  a=-1, a = \dfrac{\cot^21}{1+2\cot 1} και αντίστοιχα οι τιμές για τα x. Για τα υπόλοιπα a η εξίσωση είτε δεν έχει λύσεις, είτε έχει άπειρες.
Ναι, είχα κάνει λάθος αντιγραφή από το χαρτί και αριθμητικό - το τετράγωνο στον παρονομαστή και το πρόσημο. Ωστόσο, παραμένουν πολλές πράξεις, ίσως την καθαρογράψω αύριο.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Σεπ 21, 2020 5:44 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 10:24 am
Να βρείτε τα a, για τα οποία η ανίσωση

\displaystyle{\sqrt{2\pi -|x|} \left ( \cot^2 \left ( \sin x \right)-2a \cot \left ( \sin x \right) -a\right ) \leq 0}

έχει πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Να βείτε αυτές τις λύσεις.
Με επιφύλαξη για την δακτυλογράφηση...

H ανίσωση ορίζεται στο σύνολο A=(-2\pi , -\pi)\cup (-\pi,0)\cup (0, \pi)\cup (\pi,2\pi)

Επειδή στο A είναι \displaystyle{\sqrt{2\pi -|x|} > 0} , η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την \displaystyle{ \cot^2 \left ( \sin x \right)-2a \cot \left ( \sin x \right) -a \leq 0}

Ας είναι f(x)=\displaystyle{ \cot^2 \left ( \sin x \right)-2a \cot \left ( \sin x \right) -a } και g(t)=t^2-2at-a και k ακέραιος.

Αν υπάρχει x_0 με f(x_0)<0, τότε, λόγω συνέχειας, σε περιοχή του x_0 θα είναι f(x)<0 και η ανίσωση έχει άπειρες λύσεις που δεν το θέλουμε.

Επομένως, για αρχή, αναζητάμε τις τιμές του α για τις οποίες υπάρχει x_0 με f(x_0)=0. Η  g πρέπει να έχει \Delta =4a(a+1)\geq 0

΄Εστω \Delta =4a(a+1)= 0. Αν, μεν a=0, τότε η ανίσωση \displaystyle{ \cot^2 \left ( \sin x \right)-2a \cot \left ( \sin x \right) -a \leq 0} δίνει ισοδύναμα \displaystyle{ \cot \left ( \sin x \right)=0}, οπότε \displaystyle{ sinx= k \pi +\pi/2 }, αδύνατο. Αν a=-1, η ανίσωση δίνει ισοδύναμα \displaystyle{ \cot \left ( \sin x \right)=-1}, οπότε \displaystyle{ sinx= -\pi/4 } με πεπερασμένο αριθμό λύσεων στο Α, όπως θέλουμε.

΄Εστω \Delta =4a(a+1)>0. Το   \cot \left ( \sin x \right) πρέπει να παίρνει τιμές εκτός του διαστήματος των ριζών της g -εξαιρουμένων των τιμών   \cot \left ( \sin x_0 \right)-, δηλαδή να είναι

\forall x\in A: \cot \left ( \sin x \right)\leq a-\sqrt{a^2+a}\vee \cot \left ( \sin x \right)\geq a+\sqrt{a^2+a}\,\,\,\,(*)

H συνάρτηση cotx είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα ( k\pi, k\pi +\pi ). Από την μονοτονία της sinx προκύπτουν τα ακρότατα και οι τιμές της cot(sin):

Στο σύνολο (-2\pi ,-\pi )\cup (0,\pi ) είναι  cot(sinx)\geq  cot1 και στο σύνολο (-\pi,0)\cup  (\pi,2\pi) είναι cot(sinx)\leq cot(-1). Για να αληθεύει η (*) πρέπει

 \cot \left ( \sin x_0 \right)=cot(-1)= a-\sqrt{a^2+a}\vee \cot \left ( \sin x_0 \right)=cot1= a+\sqrt{a^2+a}

Ελέγχουμε αν για αυτές τις τιμές του α αληθεύει η (*). Αν cot1= a+\sqrt{a^2+a}, τότε a=\dfrac{cot^21}{1+2cot1}>0. Στο σύνολο (-2\pi ,-\pi )\cup (0,\pi ) είναι  cot(sinx)\geq  cot1 και στο σύνολο (-\pi,0)\cup  (\pi,2\pi) είναι cot(sinx)\leq cot(-1)=-cot1= -a-\sqrt{a^2+a}\leq a-\sqrt{a^2+a} , και όλα είναι καλά. κ.λπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες