Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1259
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Σεπ 27, 2020 9:56 am

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για τις οποίες η ανίσωση

\sin^4 x +\cos^4 x > a \cdot \sin x \cdot \cos x

ικανοποιείται για όλα τα x.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6275
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Σεπ 27, 2020 11:29 am

Θέτουμε \displaystyle{q:=2\sin x\cos x,} όποτε \displaystyle{|q|\leq 1} και το πρόβλημα μεταφράζεται στο εξής:

Να βρεθούν οι τιμές του \displaystyle{a}, ώστε να ισχύει \displaystyle{aq<2-q^2} για κάθε \displaystyle{q} του \displaystyle{[-1,1].}

Για θετικά \displaystyle{a} η συνθήκη γράφεται \displaystyle{\frac{1}{a}>\frac{q}{2-q^2}.}

Η συνάρτηση \displaystyle{\frac{q}{2-q^2}} είναι γνησίως αύξουσα στο εν λόγω διάστημα και έχει μέγιστη τιμή φανερά το \displaystyle{1}. Άρα

\displaystyle{\frac{1}{a}>1\implies a<1.}

Εργαζόμενοι τελείως ανάλογα για τα αρνητικά \displaystyle{a,} βρίσκουμε \displaystyle{a>-1.}
Τέλος, η αρχική ανισότητα ισχύει όταν \displaystyle{a=0.}

Τελικά οι ζητούμενες τιμές του \displaystyle{a} είναι οι \displaystyle{(-1,1).}


Μάγκος Θάνος
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Σεπ 27, 2020 12:03 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Σεπ 27, 2020 9:56 am
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για τις οποίες η ανίσωση

\sin^4 x +\cos^4 x > a \cdot \sin x \cdot \cos x

ικανοποιείται για όλα τα x.
Θα δείξουμε ότι τα -1<a<1 είναι τα ζητούμενα. Για x=\pi/4, 3\pi/4 παίρνουμε ότι αναγκαστικά θα είναι -1<a<1. Για a=0 βλέπουμε ότι η ζητούμενη ισχύει για κάθε x αφού το αριστερό μέλος είναι θετικό πάντα. Για 0<a<1 αρκεί να πάρουμε την περίπτωση όπου \sin x\cos x>0. Τότε θα ειναι \sin x\cos x>a\sin x\cos x αλλά και \sin^4 x +\cos^4 x\geq \sin x\cos x αφού το δεξί μέλος \dfrac{1}{2}\sin 2x
έχει μέγιστο το 1/2 ενώ το αριστερό, ως τριωνυμο ως προς \sin^2 x , είναι \geq 1/2.. Όμοια αντιμετωπιζουμε και την περίπτωση -1<a<0 όπου αρκεί να θεωρήσουμε \sin x\cos x <0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης