Ψάχνοντας το τριάρι

KARKAR · #1

: Ψάχνοντας το τριάρι.png (8.38 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές

Τα κάθετα μεταξύ τους τμήματα OA , OB

έχουν άθροισμα

, με

. Τα ημικύκλια

με διαμέτρους τα OA,OB

, τέμνονται στο σημείο

. Για ποια τιμή του

, είναι :

;

Μπορείτε να το δείτε και ως άσκηση Γεωμετρίας .

#2

: Ψάχνοντας το τριάρι.png (12.69 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Αρχικά έχω τους περιορισμούς, $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 10 - x > 0\\ x > 10 - x\\ x > 3\\ 10 - x > 3 \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{5<x<7}$

$\displaystyle 9 = BS \cdot SA \Leftrightarrow ({x^2} - 9)\left( {{{(10 - x)}^2} - 9} \right) = 81 \Leftrightarrow {x^4} - 20{x^3} + 82{x^2} + 180x - 900 = 0$

Την αφήνω εδώ (αν βρω εύκολο τρόπο επίλυσης της εξίσωσης θα επανέλθω).

Επεξεργασία: Έβαλα το σχήμα.

#3

george visvikis έγραψε: Παρ Ιαν 14, 2022 11:51 am Την αφήνω εδώ (αν βρω εύκολο τρόπο επίλυσης της εξίσωσης θα επανέλθω).

Έτσι την έκανα και εγώ ή και με μία άλλη παραλλαγή (μέσω της ιδιότητας BA=BS+SA

και με Πυθαγόρειο τα BA, BS, SA

). Από εκεί και πέρα η εξίσωση φαίνεται δυσπρόσιτη δεδομένου ότι το Λογισμικό έβγαλε ρίζες τις $5\pm \sqrt{34\pm 3\sqrt {109} }$ . Άρα μάλλον εκτός παιδιάς...

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιαν 14, 2022 12:01 pm
george visvikis έγραψε: Παρ Ιαν 14, 2022 11:51 am Την αφήνω εδώ (αν βρω εύκολο τρόπο επίλυσης της εξίσωσης θα επανέλθω).
Έτσι την έκανα και εγώ ή και με μία άλλη παραλλαγή (μέσω της ιδιότητας και με Πυθαγόρειο τα ). Από εκεί και πέρα η εξίσωση φαίνεται δυσπρόσιτη δεδομένου ότι το Λογισμικό έβγαλε ρίζες τις $5\pm \sqrt{34\pm 3\sqrt {109} }$ . Άρα μάλλον εκτός παιδιάς...

Η $\displaystyle 5 + \sqrt {34 - 3\sqrt {109} }\simeq 6,6368$ είναι δεκτή.

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 14, 2022 11:06 am Ψάχνοντας το τριάρι.pngΤα κάθετα μεταξύ τους τμήματα έχουν άθροισμα , με . Τα ημικύκλια

με διαμέτρους τα , τέμνονται στο σημείο . Για ποια τιμή του , είναι : ;

Μπορείτε να το δείτε και ως άσκηση Γεωμετρίας .

Επειδή τα σημεία A,S,B

είναι συνευθειακά θα έχω :

$\left\{ \begin{gathered} A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} \hfill \\ A{B^2} = {\left( {SA + SB} \right)^2} = S{A^2} + S{B^2} + 2SA \cdot SB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Εξισώνω τα δεύτερα μέλη και με τους συμβολισμούς του θεματοδότη προκύπτει:

: Ψάχνοντας το τριάρι.png (8.05 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

$\left( {\left( {x - 13} \right)\left( {x + 3} \right)} \right)\left( {\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right)} \right) = 81 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 10x - 39} \right)\left( {{x^2} - 10x + 21} \right) = 81$

Θέτω : ${x^2} - 10x = y < 0$ και προκύπτει: $\left( {y - 39} \right)\left( {y + 21} \right) = 81$ με λύσεις:

$\left\{ \begin{gathered} y = 9 - 3\sqrt {109} \hfill \\ y = 9 + 3\sqrt {109} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,$ δεκτή η $y = 9 - 3\sqrt {109}$ και άρα ${x^2} - 10x + 3\sqrt {109} - 9 = 0$ απ’ όπου :

$\left\{ \begin{gathered} x = 5 + \sqrt {34 - 3\sqrt {109} } \hfill \\ x = 5 - \sqrt {34 - 3\sqrt {109} } \hfill \\ \end{gathered} \right.$ δεκτές και οι δύο .

Παρατήρηση

Οι πράξεις μέχρι και το σημείο :

Θέτω : ${x^2} - 10x = y < 0$ και προκύπτει: $\left( {y - 39} \right)\left( {y + 21} \right) = 81$ με λύσεις:

Είναι με το χέρι, μετά με λογισμικό .

Χρησιμοποιώ την διαφορά τετραγώνων . Αν θέλετε σας τα γράφω .

Εβαλα δεκτές και τις 2 γιατί μπορεί κάποιος να θεωρήσει ως x=OB

KARKAR · #6

Με κάποιες παραλλαγές και στο γεωμετρικό και στο αλγεβρικό μέρος : Για 5<x<10

: τριάρι.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

Είναι : $AB=\sqrt{2x^2-20x+100}$ και : $x(10-x)=3\sqrt{2x^2-20x+100}$

(όλα θετικά ) , άρα : x^4-20x^3+82x^2+180x-900=0

. Τώρα :

$\Leftrightarrow (x^2-10x)^2-18(x^2-10x)-900=0$ .

Επειδή : x(10-x)>0 , x(x-10)=x^2-10x<0

. Για :

,

η εξίσωση : y^2-18y-900

, δίνει την δεκτή ρίζα : $y=9-3\sqrt{109}$

και αντικαθιστώντας , βρίσκω την μοναδική δεκτή ρίζα : $x=5+\sqrt{34-3\sqrt{109}}$ .

Ψάχνοντας το τριάρι

Ψάχνοντας το τριάρι

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

Μέλη σε σύνδεση