Εκθετικές εξισώσεις

#1

Να επιλυθούν οι εξισώσεις

α) $\displaystyle{4^x9^{\frac {1}{x}} +9^x4^{\frac {1}{x}}=72}$

β) $\displaystyle{4^{x}9^{\frac {1}{x}} + 9^x4^{\frac {1}{x}}+6^{x+\frac {1}{x}}=108}$

Λάμπρος Μπαλός · #2

Για την (α)

Αρχικά, η εξίσωση είναι αδύνατη στο $(- \infty,0]$ διότι

$4^{x}9^{\frac{1}{x}} \leq 1$ και $9^{x}4^{\frac{1}{x}} \leq 1$ .

Επιπλέον, αν η εξίσωση έχει ρίζα

στο $(1,+ \infty)$ , θα έχει προφανώς και την $\frac{1}{k} \in (0,1)$ .

Υπάρχει η παρατηρούμενη ρίζα x=1

και θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική με ικανή συνθήκη, να είναι αδύνατη η εξίσωση στο $(1,+ \infty)$ .

Ισοδύναμα, πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της εξίσωσης με $9^{\frac{1}{x}}4^{\frac{1}{x}}$ , έχουμε

$9^{\frac{2}{x}}4^{x+\frac{1}{x}}+4^{\frac{2}{x}}9^{x+\frac{1}{x}}=72\cdot4^{\frac{1}{x}}9^{\frac{1}{x}}$ .

Όμως, για x>1

, το $x+\frac{1}{x}>2$ . Άρα,

το Α μέλος της παραπάνω εξίσωσης είναι μεγαλύτερο από

$16 \cdot 9^{\frac{2}{x}}+81 \cdot 4^{\frac{2}{x}}$ και

$16 \cdot 9^{\frac{2}{x}}+81 \cdot 4^{\frac{2}{x}}>72\cdot4^{\frac{1}{x}}9^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow$

$(4 \cdot 9^{\frac{1}{x}}-9 \cdot 4^{\frac{1}{x}})^{2}>0$ , που ισχύει διότι

$4 \cdot 9^{\frac{1}{x}}-9 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \neq 0 \Leftrightarrow (\frac{9}{4})^{\frac{1}{x}} \neq \frac{9}{4} \Leftrightarrow x \neq 1$ .

Άρα, μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η x=1

.

Αφήνω τη (β), αν θέλει κάποιος να τη λύσει συμπληρωματικά. Αν όχι, θα επανέλθω.

KARKAR · #3

α) Εφαρμογή της ανισότητας Αριθμητικού μέσου , Γεωμετρικού μέσου .

$4^x\cdot9^\frac{1}{x}+4^{\frac{1}{x}}\cdot9^x}\geq2\sqrt{36^{x+\frac{1}{x}}} \geq72$

με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=1

.

Λάμπρος Μπαλός · #4

Για το (β), για να μη μένει..

Έχουμε δείξει στην (α) και εγώ και ακόμη πιο λιτά ο KARKAR ότι

$4^{x}9^{\frac{1}{x}}+9^{x}4^{\frac{1}{x}} \geq 72$ , με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=1

.

Επιπλέον, ισχύει $6^{x+\frac{1}{x}} \geq 6^{2}=36$ , με την ισότητα να ισχύει και πάλι μόνο για x=1

.

Άρα,

$4^{x}9^{\frac{1}{x}}+9^{x}4^{\frac{1}{x}}+6^{x+\frac{1}{x}} \geq 108$ και η ισότητα που μας ενδιαφέρει, συμβαίνει μόνο για x=1

.

Άρα,

.

Εκθετικές εξισώσεις

Εκθετικές εξισώσεις

Re: Εκθετικές εξισώσεις

Re: Εκθετικές εξισώσεις

Re: Εκθετικές εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση