Ισοδύναμες εξισώσεις

Al.Koutsouridis · #1

Για ποιά

και

η εξίσωση

$xy=1 \quad$ και $\quad axy+b \ln \left ( \sqrt{x^2+1} +x\right) = c+d \ln \left ( \sqrt{x^2+1} -x\right)$

είναι ισοδύναμες;

#2

Καλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μιαν απάντηση στο ενδιαφέρον πρόβλημα του Αλέξανδρου.

Έστω xy = 1

(1) και $\displaystyle axy + b\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = c + d\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)$ (2)

Η (1) ορίζεται για κάθε $x,y \in R^*$ .

Είναι $\displaystyle \sqrt {{x^2} + 1} > \left| x \right|$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ , οπότε η εξίσωση (2) ορίζεται στο

.

Η (2) μετασχηματίζεται ισοδύναμα:

$\begin{array}{l} axy + b\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = c + d\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \quad axy - c = \ln {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^d} - \ln {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^b}\\ \Leftrightarrow \quad axy - c = \ln \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)}^d}}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}^b}}}\\ \Leftrightarrow \quad axy - c = \ln {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^{d + b}} \end{array}$

Έστω $x,y \in R^*$ που επαληθεύουν και τις δύο.

Τότε η (2) γράφεται $a - c = \left( {d + b} \right)\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)$
Αν $d + b \ne 0$ , τότε $\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = \frac{{a - c}}{{b + d}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} - x = {e^{\frac{{a - c}}{{b + d}}}}$

Η τελευταία επαληθεύεται μόνο για θετικά

, οπότε δεν είναι ισοδύναμη με την (1).

Αν d+b=0

, τότε

.

Αν

, τότε η εξίσωση (2) επαληθεύεται για x = 0

, άρα δεν είναι ισοδύναμη με την (1).

Oπότε αναγκαία συνθήκη είναι $d+b=0, a = c \ne 0$ για να επαληθεύονται και οι δύο για όλα τα $x, y \in R^*$

Για $d+b=0, a = c \ne 0$ η (2) γράφεται $a\left( {xy - 1} \right) = \ln {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^0} \Leftrightarrow a\left( {xy - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow xy = 1$ , οπότε η συνθήκη είναι και ικανή για να είναι ισοδύναμες οι εξισώσεις.

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιουν 18, 2022 4:44 pm Για ποιά και η εξίσωση

$xy=1 \quad$ και $\quad axy+b \ln \left ( \sqrt{x^2+1} +x\right) = c+d \ln \left ( \sqrt{x^2+1} -x\right)$

είναι ισοδύναμες;

Στο ίδιο μήκος κύματος αλλά πιο απλά αλλά και μία συμπλήρωση. Δεν είχα βρει χρόνο να την γράψω νωρίτερα.

Ισχυρίζομαι ότι οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες αν και μόνον αν $a=c,\, b=-d$ .

Ευθύ.

Έστω $a=c,\, b=-d$ . Επειδή τα $\sqrt{x^2+1} +x ,\, \sqrt{x^2+1} -x$ είναι αντίστροφα το ένα του άλλου (πολλαπλασιάστε!) το αποδεικτέο γίνεται

$\displaystyle{ (xy=1) \Leftrightarrow ( axy + (b +d)\ln \left ( \sqrt{x^2+1} +x\right) = c }$ . To δεξί μέλος γράφεται (λόγω της υπόθεσης) axy=a

, οπότε η ισοδυναμία είναι προφανής.

Αντίστροφα.

Έστω $\displaystyle{ (xy=1) \Leftrightarrow ( axy -c =- (b +d)\ln \left ( \sqrt{x^2+1} +x\right) }$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι $a=c,\, b=-d$ .

Για τυχαίο $x\ne 0$ παίρνουμε $y = \dfrac {1}{x}$ , οπότε ικανοποιείται το αριστερό μέλος. Από την υπόθεση ικανοποιείται και το δεξί. Συνεπώς

$a -c =- (b +d)\ln \left ( \sqrt{x^2+1} +x\right)$ .

Επειδή το αριστερό μέλος είναι σταθερό, έπεται ότι θα είναι και το δεξί. Αλλά το $\ln \left ( \sqrt{x^2+1} +x\right)$ είναι μεταβλητό, οπότε υποχρεωτικά b+d=0

. Έπεται ακόμη ότι a-c=0

. Δείξαμε δηλαδή $a=c,\, b=-d$ , όπως θέλαμε.

Ισοδύναμες εξισώσεις

Ισοδύναμες εξισώσεις

Re: Ισοδύναμες εξισώσεις

Re: Ισοδύναμες εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση