Αριθμητική πρόοδος

#1

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει αριθμητική πρόοδος με όρους φυσικούς αριθμούς, της οποίας το άθροισμα των

τετραγώνων τριών διαδοχικών όρων να ισούται με το $\displaystyle{2024.}$

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 11:13 pm
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει αριθμητική πρόοδος με όρους φυσικούς αριθμούς, της οποίας το άθροισμα των

τετραγώνων τριών διαδοχικών όρων να ισούται με το $\displaystyle{2024.}$

Δεν έχω σβέλτη λύση, αλλά ας είναι. Κάνω μία μακροσκελή.

Η αριθμητική πρόοδος είναι της μορφής a-d, a, a+d

, και θέλουμε να ισχύει (a-d)^2+a^2+(a+d)^2 = 2024

, ισοδύναμα 3a^2 + 2d^2 = 2024

.

Έπεται ότι

άρτιος, έστω a=2b

. Άρα η εξίσωση γίνεται 12 b^2 + 2d^2 =2024

, ισοδύναμα 6 b^2 + d^2 =1012

. Άρα

άρτιος, έστω d=2e

, και η εξίσωση γίνεται 6 b^2 + 4e^2 =1012

, ισοδύναμα 3b^2 + 2e^2 =506

. Άρα

άρτιος, έστω b=2c

, και η εξίσωση γίνεται 12 c^2 + 2e^2 =506

, ισοδύναμα 6 c^2 + e^2 =253

.

Τώρα, προφανώς

περιττός και επιπλέον, επειδή το 253

δεν είναι πολλαπλάσιο του

, έπεται ότι ούτε το

είναι πολλαπλάσιο του

. Τα δύο μαζί δίνουν ότι $e=6f\pm 1$ , οπότε η σχέση γράφεται

$6 c^2 + 36f^2 \pm 12 f +1=253$ , ισοδύναμα $6 c^2 + 36f^2 \pm 12 f =252$ και άρα $c^2 + 6f^2 \pm 2 f =42$ . Συνεπώς

άρτιος, έστω c=2p

, οπότε $4p^2 + 6f^2 \pm 2 f =42$ και άρα $\boxed {2p^2 + 3f^2 \pm f =21}\, \, (*)$ .

Όμως το $3f^2 \pm f$ είναι άρτιος αριθμός ό,τι και αν είναι το

(πράγματι, αυτό είναι άμεσο αν

άρτιος ενώ αν

περιττός τότε πάλι ο $3f^2 \pm f$ είναι άρτιος ως άθροισμα δύο περιττών.)

'Επεται ότι το αριστερό μέλος της (*)

είναι άρτιος αριθμός. Άτοπο αφού το δεξί μέλος είναι περιττός. Τελικά, δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν την αρχική συνθήκη, όπως θέλαμε να δείξουμε.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 30, 2023 9:51 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 11:13 pm
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει αριθμητική πρόοδος με όρους φυσικούς αριθμούς, της οποίας το άθροισμα των

τετραγώνων τριών διαδοχικών όρων να ισούται με το $\displaystyle{2024.}$
Δεν έχω σβέλτη λύση, αλλά ας είναι. Κάνω μία μακροσκελή.

Η αριθμητική πρόοδος είναι της μορφής , και θέλουμε να ισχύει , ισοδύναμα .

Έπεται ότι άρτιος, έστω . Άρα η εξίσωση γίνεται , ισοδύναμα . Άρα άρτιος, έστω , και η εξίσωση γίνεται , ισοδύναμα . Άρα άρτιος, έστω , και η εξίσωση γίνεται , ισοδύναμα .

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ Μιχάλη.

Μέχρι εδώ, έχω την ίδια λύση.

Στη συνέχεια, εκτός τον τρόπο που παίρνουμε περιπτώσεις για το $\displaystyle{e}$ , θα μπορούσε κάποιος να το δει και ως εξής:

Αν $\displaystyle{c\geq 7}$ , τότε $\displaystyle{6c^2 \geq 253}$ , άτοπο. Άρα $\displaystyle{c\in \{0,1,2,3,4,5,6\}}$ . Τότε ο $\displaystyle{c^2 }$ λήγει σε $\displaystyle{ 0,1,4,9,6,5,6}$ αντιστοίχως.

Άρα o $\displaystyle{6c^2 }$ λήγει σε $\displaystyle{0,6,4,4,6,0,6}$ . Άρα ο $\displaystyle{253 - 6c^2}$ λήγει σε $\displaystyle{3,7,9,9,7,3,7}$ αντιστοίχως.

Για να είναι όμως ο $\displaystyle{253-6c^2}$ τέλειο τετράγωνο, όπως το θέλουμε, θα πρέπει (όχι βέβαια και αρκεί) να λήγει σε $\displaystyle{9}$

Άρα $\displaystyle{c=2}$ , ή $\displaystyle{c=3}$ . Με $\displaystyle{c=2}$ έχουμε $\displaystyle{253 - 6c^2 = 229}$ , που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Όμοια και αν $\displaystyle{c=3}$

Άρα δείξαμε το ζητούμενο.

Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος

Re: Αριθμητική πρόοδος

Re: Αριθμητική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση