Σύστημα!

Tolaso J Kos · #1

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y & = & 1 \\ \left ( 4 x^2 + 1 \right ) \left ( 4y^2 + 1 \right ) & = & 4 \\ \end{matrix}\right.}$

Nikitas K. · #2

Για το πρώτο μέλος της δεύτερης σχέσης (4x^2 + 1) (4y^2 + 1) = 4

του συστήματος, πράγματι:

$(4x^2 + 1) (4y^2 + 1) = 1^2 + (4x^2 + 4y^2)\cdot 1 + 4x^2\cdot 4y^2$

= 1 + 4 (x^2+y^2) + 16 (xy)^2 = 1 + 4 [(x+y)^2 - 2xy] + 16 (xy)^2

από την πρώτη σχέση x+y = 1

του συστήματος.

= 1 + 4 (1-2xy) + 16 (xy)^2 = 1 + 4 - 8 xy + 16 (xy)^2

Αντικαθιστώντας το πρώτο μέλος της δεύτερης σχέσης του συστήματος με την τελευταία σχέση:

$5 - 8xy +16 (xy)^2 = 4\Leftrightarrow -4 + 5 - 8xy + 16(xy)^2 = -4 + 4\Leftrightarrow 1 - 8xy + 16(xy)^2 = 0$

Για το πρώτο μέλος της τελευταίας ισότητας, πράγματι:

$1 - 8xy + 16(xy)^2 = 1^2 - 2\cdot 1\cdot 4xy + (4xy)^2 = (1-4xy)^2$

Αντικαθιστώντας το πρώτο μέλος με την τελευταία σχέση:

$(1-4xy)^2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{(1-4xy)^2} = \sqrt {0}\Leftrightarrow \left| 1-4xy \right|= 0\Leftrightarrow 1-4xy = 0$

Για το πρώτο μέλος της τελευταίας ισότητας, πράγματι:

1 - 4xy = 1 - 4x(1-x)

από την πρώτη σχέση y = 1 - x

του συστήματος.

$= 1 - 4x + 4x^2 = 1^2 - 2\cdot 1\cdot 2x + (2x)^2 = (1-2x)^2$

Αντικαθιστώντας το πρώτο μέλος με την τελευταία σχέση:

$\displaystyle (1-2x)^2 = 0\Leftrightarrow \sqrt{(1-2x)^2} = \sqrt {0} \Leftrightarrow \left | 1 - 2x \right | = 0 \Leftrightarrow 1-2x = 0\Leftrightarrow - 1 + 1 -2x = -1 + 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow -2x = -1\Leftrightarrow -\frac{1}{2} \cdot (-2)x =-\frac{1}{2}\cdot (-1)\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\Leftrightarrow y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Εν τέλει, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος:

$\displaystyle (x,y) = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

Σύστημα!

Σύστημα!

Re: Σύστημα!

Μέλη σε σύνδεση