Πανάρρητη

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $\sqrt{x+\dfrac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{x+\sqrt3}{2}}$ . ( Γράψτε τις λύσεις στην απλούστερη μορφή ) .

Προαιρετικά , προσπαθήστε να λύσετε και την : $\sqrt{x+\dfrac{\sqrt{x+2}}{2}}=\dfrac{x+\sqrt{x+2}}{2}}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 20, 2025 7:44 am Να λυθεί η εξίσωση : $\sqrt{x+\dfrac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{x+\sqrt3}{2}}$ . ( Γράψτε τις λύσεις στην απλούστερη μορφή ) .

Προαιρετικά , προσπαθήστε να λύσετε και την : $\sqrt{x+\dfrac{\sqrt{x+2}}{2}}=\dfrac{x+\sqrt{x+2}}{2}}$ .

$\displaystyle x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{x^2} + 2\sqrt 3 x + 3}}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 2(2 - \sqrt 3 )x + 3 - 2\sqrt 3 = 0,$ απ' όπου

$\boxed{x = 2 - \sqrt 3 + \sqrt {2(2 - \sqrt 3 )}=1 }$ ή $\boxed{x = 2 - \sqrt 3 - \sqrt {2(2 - \sqrt 3 )} }$

H απλούστερη μορφή είναι αυτή που δίνει παρακάτω ο Νίκος

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 20, 2025 7:44 am Να λυθεί η εξίσωση : $\sqrt{x+\dfrac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{x+\sqrt3}{2}}$ . ( Γράψτε τις λύσεις στην απλούστερη μορφή ) .

Προαιρετικά , προσπαθήστε να λύσετε και την : $\sqrt{x+\dfrac{\sqrt{x+2}}{2}}=\dfrac{x+\sqrt{x+2}}{2}}$ .

Πρέπει ταυτόχρονα : $\left\{ \begin{gathered} x > - \sqrt 3 \hfill \\ x > - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,,$ συνεπώς $\boxed{x > - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ .

Υψώνω στο τετράγωνο τα μέλη της εξίσωσης κι έχω : $\displaystyle \boxed{x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{{\left( {x + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{4}}$ που ισοδυναμεί με την :

${x^2} + \left( {2\sqrt 3 - 4} \right)x + \left( {3 - 2\sqrt 3 } \right) = 0$ . Επειδή το άθροισμα των συντελεστών είναι μηδέν έχω ( τύποι Vieta

)

$\boxed{x = 1}\,\,$ είτε , $\boxed{x = 3 - 2\sqrt 3 \, > - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ δεκτές και οι δύο αφού υπακούν στις προδιαγραφές :

Η άρρητη ρίζα είναι αρνητική αλλά δεκτή .

#4

Για το προαιρετικό:

$\displaystyle \frac{{2x + \sqrt {x + 2} }}{2} = \frac{{{x^2} + x + 2 + 2x\sqrt {x + 2} }}{4},x \geqslant - 2$

$\displaystyle (x - 1)(x - 2) + 2(x - 1)\sqrt {x + 2} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2 + 2\sqrt {x + 2} ) = 0$

$\boxed{x=1}$ ή $\displaystyle 2\sqrt {x + 2} = 2 - x \geqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x - 4 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \leqslant 2}$ $\boxed{x=4-2\sqrt 5}$

Πανάρρητη

Πανάρρητη

Re: Πανάρρητη

Re: Πανάρρητη

Re: Πανάρρητη

Μέλη σε σύνδεση