Τριβάθμιο σύστημα

KARKAR · #1

Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} 2(x^2+y^2) & =37 \\ 4(x+y)(x^3+y^3)&=109 \\ \end{matrix}\right.$

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 04, 2025 8:25 am Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} 2(x^2+y^2) & =37 \\ 4(x+y)(x^3+y^3)&=109 \\ \end{matrix}\right.$

Πρόκειται για χιλιοειπωμένο τύπο άσκησης που υπάρχει ευρύτατα στα σχολικά βιβλία και βοηθήματα. Η στάνταρ λύση είναι στις ακόλουθες γραμμές, αλλά κάνω τις πράξεις ρουτίνας μόνο μέχρι ένα σημείο.

Θέτουμε a=x+y, b= xy

. Από τις

, το σύστημα γίνεται

$2(a^2-2b)=37, \, 4a(a^3-3ab)=109$ . Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη επί 3a^2

και αφαιρούμε από την δεύτερη. Θα βρούμε

2a^4-111a^2+109=0

. Ως δευτεροβάθμια ως προς a^2

θα βρούμε $a=\pm 1$ ή $a= \pm \sqrt {\dfrac {109}{2}}$ . Πίσω στην πρώτη βρίσκουμε τα αντίστοιχα

. Είναι τα $-\dfrac {35}{4}$ και

.

Έχουμε τώρα συστήματα $x+y=1, xy=-\dfrac {35}{4}$ ή $x+y=-1, xy=-\dfrac {35}{4}$ και λοιπά.

Από τα δύο πρώτα θα βρούμε $x=\dfrac {5}{2}, y=-\dfrac {7}{2}$ ή $x=-\dfrac {5}{2}, y=\dfrac {7}{2}$ ή ανάποδα.

Όμοια η δεύτερη οικογένεια συστημάτων (βγαίνει με αρνητική διακρίνουσα, οπότε δεν δίνει άλλες λύσεις). Πρόκειται για κουραστικές πράξεις ρουτίνας, που μάλλον αποθούν τους μαθητές από τα Μαθηματικά.
.
.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #3

Με λίγο διαφορετική αρχή, αλλά την ίδια έκβαση:

Η πρώτη εξίσωση γράφεται: $(x+y)^2=\frac{37}{2}+2xy \Leftrightarrow 2(x+y)^2=37+4xy (1)$

Η δεύτερη γράφεται: $4(x+y)^2(x^2+y^2-xy)=109 \Leftrightarrow 4(x+y)^2 (\frac{37}{2} -xy)=109 (2)$ .

Προφανώς δεν γίνεται να είναι: x=-y

ή

κι άρα διαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη ( (2)

προς

) παίρνουμε: $2(\frac{37}{2}-xy)=\frac{109}{37+4xy} \Leftrightarrow (37-2xy)(37+4xy)=109$ . Θέτοντας u=xy

και λύνοντας τη δευτεροβάθμια παίρνω: $u=xy=-\frac{35}{4}$ ή u=xy=18

.

Αντικαθιστώντας τις τιμές στη σχέση (1)

παίρνω ομοίως: $x+y= \pm 1$ ή $x+y= \pm \left \sqrt{\frac{109}{2} \right}$ και η συνέχεια μετά ίδια.

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 04, 2025 8:25 am Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} 2(x^2+y^2) & =37 \\ 4(x+y)(x^3+y^3)&=109 \\ \end{matrix}\right.$

Από την πρώτη εξίσωση έχω $\boxed{{x^2} + {y^2} = \frac{{37}}{2}}$ (1),

ενώ η δεύτερη γράφεται:

$\displaystyle {x^4} + {y^4} + xy({x^2} + {y^2}) = \frac{{109}}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{37}}{2}} \right)^2} - 2{x^2}{y^2} + xy\frac{{37}}{2} = \frac{{109}}{4} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4{(xy)^2} - 37xy - 630 = 0 \Leftrightarrow xy = 18$ ή $xy=-\dfrac{35}{4}.$

$\displaystyle \bullet$ H xy=18

απορρίπτεται γιατί από την (1)

καταλήγουμε στην 2x^4-37x^2+648=0

που δεν έχει πραγματικές ρίζες.

$\displaystyle \bullet$ Από την (1)

και την $xy=-\dfrac{35}{4},$ προκύπτει η 16x^4-296x^2+1225=0,

απ' όπου

$\displaystyle x = \pm \frac{5}{2} \vee x = \pm \frac{7}{2}.$ Έτσι, το ζεύγος (x,y)

παίρνει τιμές από το σύνολο:

$\displaystyle A = \left\{ {\left( { - \frac{7}{2},\frac{5}{2}} \right),\left( { - \frac{5}{2},\frac{7}{2}} \right),\left( {\frac{5}{2}, - \frac{7}{2}} \right),\left( {\frac{7}{2}, - \frac{5}{2}} \right)} \right\}$

Τριβάθμιο σύστημα

Τριβάθμιο σύστημα

Re: Τριβάθμιο σύστημα

Re: Τριβάθμιο σύστημα

Re: Τριβάθμιο σύστημα

Μέλη σε σύνδεση