Μοναδική λύση

KARKAR · #1

Βρείτε τους πραγματικούς

, για τους οποίους η εξίσωση : $4\ell n(x+3)=\ell n(kx)$ έχει μοναδική λύση .

Συμπλήρωση - υπόδειξη , μια μέρα μετά : Πρόκειται για μια δυσκολότερη εκδοχή της άσκησης

, από τις

" ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ( Δ' ΟΜΑΔΑΣ) του σχολικού βιβλίου . Η απάντηση είναι : k<0

ή :

.

#2

Λύση εκτός φακέλου:

Αν k<0

η εξίσωση ορίζεται όταν -3<x<0

Η συνάρτηση 4ln(x+3)-lnkx

είναι γνησίως αύξουσα (άμεσο με παραγώγους) και με σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών (τα όρια στο -3+ και στο 0- δεν παρουσιάζουν δυσκολία ), επομένως η συνάρτηση, άρα και η εξίσωση, έχει μοναδική ρίζα.

Αν k>0

, η εξίσωση ορίζεται οταν x>0.

Η συνάρτηση, τώρα, 4ln(x+3-lnkx

έχει ελάχιστο για x =1

(απλό με παράγωγο) και έχει όριο συν άπειρο στο 0+ και στο συν άπειρο. (τα όρια δεν έχουν δυσκολία).

Το ελάχιστο της συνάρτησης είναι

. (Σαν να λέμε, μοντελοποιώντας με γραφικές παραστάσεις το πρόβλημα, η γραφική παράσταση θυμίζει U (δεν είναι ακριβώς U) με τους κλάδους του να απειριζονται και με ελάχιστο το 4ln4-lnk).
Επομένως, έχει μοναδική ρίζα ακριβώς όταν το ελάχιστο είναι ίσο με 0, οποτε k=4^4=256.

Μοναδική λύση

Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Μέλη σε σύνδεση