Μικρή κλίση

KARKAR · #1

: Μικρή κλίση.png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, έχει κάθετες πλευρές : AB=3 , AC=4

. Στην προέκταση της πλευράς

και στις

εντοπίσαμε σημεία S , T , P

αντίστοιχα , ώστε : AP=PT=BT

. Υπολογίστε το $\sin\theta$ .

Σημείωση : Η άσκηση είναι στον φάκελο της Άλγεβρας , συνεπώς δώστε βάρος στο αλγεβρικό μέρος της λύσης σας .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 22, 2025 12:29 pm
Μικρή κλίση.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές : . Στην προέκταση της πλευράς

και στις εντοπίσαμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : . Υπολογίστε το $\sin\theta$ .

Σημείωση : Η άσκηση είναι στον φάκελο της Άλγεβρας , συνεπώς δώστε βάρος στο αλγεβρικό μέρος της λύσης σας .

Νόμος συνημιτόνου στο CPT:

$\displaystyle {x^2} = {(4 - x)^2} + {(5 - x)^2} - 2(4 - x)(5 - x)\frac{4}{5} \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 15 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=2\sqrt 6-3}$

Μενέλαος στο ABC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {STP}:$

$\displaystyle \frac{{5 - x}}{x} \cdot \frac{{BS}}{{BS + 3}} \cdot \frac{x}{{4 - x}} = 1 \Leftrightarrow BS = 12 - 3x \Leftrightarrow$ $\boxed{AS=6(4-\sqrt 6)}$

: Μικρή κλίση.png (9.26 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

$\displaystyle P{S^2} = {x^2} + A{S^2} = {(2\sqrt 6 - 3)^2} + 36(22 - 8\sqrt 6 ) = 825 - 300\sqrt 6 = 75(11 - 4\sqrt 6 )$

$\displaystyle P{S^2} = 75{(2\sqrt 2 - \sqrt 3 )^2} \Leftrightarrow PS = 5\sqrt 3 (2\sqrt 2 - \sqrt 3 ) = 5(2\sqrt 6 - 3) = 5x$

Άρα, $\boxed{ \sin \theta =\frac{x}{5x}= \frac{1}{5}}$

abgd · #3

: sintheta.png (13.29 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

Μια διαφορετική προσέγγιση αλλά περισσότερο γεωμετρική....

$\displaystyle{TK//AB \Rightarrow \dfrac{4-x+KP}{4}=\dfrac{5-x}{5} \Rightarrow 20-5x+5KP=20-4x \Rightarrow x=5KP \Rightarrow \sin \theta=\dfrac{KP}{x}=\dfrac{1}{5}}$

KARKAR · #4

Το αυγό του Κολόμβου

#5

abgd έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 23, 2025 11:10 am
sintheta.png

Μια διαφορετική προσέγγιση αλλά περισσότερο γεωμετρική....

$\displaystyle{TK//AB \Rightarrow \dfrac{4-x+KP}{4}=\dfrac{5-x}{5} \Rightarrow 20-5x+5KP=20-4x \Rightarrow x=5KP \Rightarrow \sin \theta=\dfrac{KP}{x}=\dfrac{1}{5}}$

Αποστομωτικό

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 22, 2025 12:29 pm
Μικρή κλίση.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές : . Στην προέκταση της πλευράς

και στις εντοπίσαμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : . Υπολογίστε το $\sin\theta$ .

.

: μικρή κλίση.png (21.76 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές

.
Αφού

είναι και

. Τώρα από Μενέλαο στο ASP

με διατέμνουσα την BTC

έχουμε

$\dfrac {x}{d+1}\cdot \dfrac {d}{x}\cdot\dfrac {y+3}{y}=1$ , ισοδύναμα d(y+3)=(d+1)y

και άρα $\boxed {y=3d}$ ${\color {red} (*)}$ .

Τώρα από Μενέλαο στο ABC

με διατέμνουσα την PTC

έχουμε

$\dfrac {x}{z}\cdot \dfrac {y}{3}\cdot \dfrac {4}{d}=1$ , ισοδύναμα $z= 4x \cdot \dfrac {y}{3d} = ^ { {\color {red} (*)}} 4x$

Άρα $\sin \theta =\dfrac {x}{x+z}= \dfrac {x}{5x}=\dfrac {1}{5}$ .

Μικρή κλίση

Μικρή κλίση

Re: Μικρή κλίση

Re: Μικρή κλίση

Re: Μικρή κλίση

Re: Μικρή κλίση

Re: Μικρή κλίση

Μέλη σε σύνδεση