Λογαριθμική

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Λογαριθμική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Παρ Ιουν 18, 2010 6:09 pm

Να λυθεί η εξίσωση:
\displastyle\log _{3}(2^{log_{3}(2^{x}+1)}+1)=log_{2}(3^{x}-1)


Στραγάλης Χρήστος
Math Rider
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2010 12:40 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Λογαριθμική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math Rider » Σάβ Ιουν 19, 2010 10:26 am

Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \log _3 (2^x  + 1) 
}, \displaystyle{ 
x \in \Re  
}. Εύκολα προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{ 
\Re  
}, άρα 1-1, επομένως αντιστρέφεται.
Για το σύνολο τιμών \displaystyle{ 
f(\Re ) 
} της f, αναζητούμε τις τιμές του \displaystyle{ 
y \in \Re  
} για τις οποίες η εξίσωση f(x) = y (1) έχει λύση, ως προς x, στο \displaystyle{ 
D_f  = \Re  
}.
Έχουμε\displaystyle{ 
f(x) = y \Leftrightarrow \log _3 (2^x  + 1) = y \Leftrightarrow 2^x  + 1 = 3^y  \Leftrightarrow 2^x  = 3^y  - 1 \Leftrightarrow x = \log _2 (3^y  - 1) 
} με \displaystyle{ 
3^y  - 1 > 0 
}.
Επομένως η (1) έχει λύση ως προς x, στο \displaystyle{ 
\Re  
}, αν και μόνο αν: \displaystyle{ 
3^y  - 1 > 0 \Leftrightarrow 3^y  > {\rm 1  } \Leftrightarrow {\rm   }3^y  > {\rm 3}^0 {\rm  } \Leftrightarrow {\rm   }y > {\rm 0 } 
}
Άρα το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το \displaystyle{ 
f(\Re ) = (0, + \infty ) 
} και η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση \displaystyle{ 
f^{ - 1} (x) = \log _2 (3^x  - 1),  
} \displaystyle{ 
x \in (0, + \infty ) 
}.

Οπότε η δοσμένη εξίσωση για x > 0 γράφεται \displaystyle{ 
f(f(x)) = f^{ - 1} (x) 
} \displaystyle{ 
 \Leftrightarrow  
} \displaystyle{ 
f(f(f(x))) = x 
}\displaystyle{\displaystyle{
\Leftrightarrow
}}\displaystyle{ 
f(x) = x 
}(*)

\displaystyle{ 
 \Leftrightarrow  
} \displaystyle{ 
\log _3 (2^x  + 1) = x \Leftrightarrow 2^x  + 1 = 3^x  \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}} \right)^x  + \left( {\frac{1}{3}} \right)^x  - 1 = 0 
}
Η τελευταία εξίσωση έχει προφανή λύση το \displaystyle{ 
x = 1 
}. Η λύση αυτή είναι μοναδική γιατί η συνάρτηση \displaystyle{ 
g(x) = \left( {\frac{2}{3}} \right)^x  + \left( {\frac{1}{3}} \right)^x  - 1 
}, με x > 0, είναι γνησίως φθίνουσα.

(*) Έστω ότι υπάρχει \displaystyle{ 
x_0  > 0 
} τέτοιο ώστε \displaystyle{ 
f(x_0 ) \ne x_0  
}. Τότε
●Αν \displaystyle{ 
f(x_0 ) > x_0  \Rightarrow f(f(x_0 )) > f(x_0 ) > x_0  \Rightarrow f(f(f(x_0 ))) > f(f(x_0 )) > f(x_0 ) > x_0  \Rightarrow x_0  > x_0  
}, άτοπο.
●Αν \displaystyle{ 
f(x_0 ) < x_0  \Rightarrow f(f(x_0 )) < f(x_0 ) < x_0  \Rightarrow f(f(f(x_0 ))) < f(f(x_0 )) < f(x_0 ) < x_0  \Rightarrow x_0  < x_0  
}, άτοπο.


Νίκος Κ.
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Σάβ Ιουν 19, 2010 12:43 pm

Να δούμε και κάτι άλλο:

Έστω 2^{x}+1=3^{k} και 2^{k}+1=3^{y} τότε η εξίσωση γίνεται:

\displastyle\log _{3}(2^{log_{3}(2^{x}+1)}+1)=log_{2}(3^{x}-1)\Leftrightarrow log_{3}(2^{k}+1)=log_{2}(3^{x}-1)\Leftrightarrow y=log_{2}(3^{x}-1)\Leftrightarrow 2^{y}+1=3^{x}

Άρα έχουμε να λύσουμε το σύστημα:
\begin{cases} 
2^{x}+1=3^{k} (1)\\  
2^{k}+1=3^{y} (2)\\  
2^{y}+1=3^{x}  (3) 
\end{cases}

Αν x<k τότε x<k<y<x ,άτοπο
Αν x>k τότε x>k>y>x ,άτοπο
Εύκολα συμπεραίνουμε οτι x=y=k

Άρα αρκεί να λύσουμε την εξίσωση:
2^{x}+1=3^{x}\Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{x}+(\frac{1}{3})^{x}=1 άρα μοναδική λύση η x=1

Φιλικά Χρήστος


Στραγάλης Χρήστος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες