Ίσες διαγώνιοι

Συντονιστής: exdx

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17733
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίσες διαγώνιοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Ίσες διαγώνιοι.png
Ίσες διαγώνιοι.png (12.07 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές
\bigstar Στις πλευρές AB , BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , με κάθετες πλευρές AB=12 , AC=5 ,

βρείτε σημεία S , P αντίστοιχα , τέτοια ώστε να είναι : CP=2AS και AP=CS .
Ετικέτες:
ίσες-διαγώνιοι
κάθετες-πλευρές
ορθογώνιο-τρίγωνο
Κορυφή
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2569
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Ίσες διαγώνιοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI »

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 08, 2026 6:17 pm \bigstar Στις πλευρές AB , BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , με κάθετες πλευρές AB=12 , AC=5 ,

βρείτε σημεία S , P αντίστοιχα , τέτοια ώστε να είναι : CP=2AS και AP=CS .

Καλησπέρα...

Αναρτώ το σχήμα χωρίς λόγια, έχει κατασκευαστεί με

την τιμή που αναγράφεται σ' αυτό....
Ίσες διαγώνιες 1png.png
Ίσες διαγώνιες 1png.png (22.8 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές
Κώστας Δόρτσιος
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2283
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
Επικοινωνία:
Επικοινωνία vittasko

Re: Ίσες διαγώνιοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko »

KARKAR έγραψε:Στις πλευρές AB , BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , με κάθετες πλευρές AB=12 , AC=5 , βρείτε σημεία S , P αντίστοιχα , τέτοια ώστε να είναι : CP=2AS και AP=CS .
Όταν στην Άλγεβρα δεν είσαι καλός, η Γεωμετρία (πιθανόν) σώζει...

\bullet Δια του σημείου C, φέρνουμε την παράλληλη ημιευθεία CC' προς την AB προς το μέρος του B και έστω τα τυχόντα σημεία D\in CC' και E\in BC, τέτοια ώστε να είναι CE=2CD.
Ίσες διαγώνιες>
Ίσες διαγώνιες>
f=21 t=78859.PNG (13.74 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές
Η μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος DE τέμνει την ευθεία AB στο σημείο έστω Z.

Η δια του σημείου A παράλληλη ευθεία προς την ZN, όπου N είναι το μέσον του DE, τέμνει την ευθεία CN στο σημείο έστω M.

Η δια του σημείου M παράλληλη ευθεία προς την DE, τέμνει τις BC, CC' στα σημεία P, Q, αντιστοίχως και ας είναι S, η προβολή του σημείου Q επί της AB.

\bullet Αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει \boxed{CP=2CQ=2AS} και \boxed{AP=AQ=CS} και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17733
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίσες διαγώνιοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Πω πω ομορφιές ! :clap2:
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17733
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίσες διαγώνιοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Ίσες διαγώνιοι.png
Ίσες διαγώνιοι.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές
Βάζω και μια διαφορετική εκδοχή του σχήματος της λύσης του Κώστα . Παραμένει προς

λύση το αλγεβρικό μέρος του θέματος ( επιβάλλεται λόγω του φακέλου ) .
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5533
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ίσες διαγώνιοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος »

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 10, 2026 11:06 am Παραμένει προς λύση το αλγεβρικό μέρος του θέματος ( επιβάλλεται λόγω του φακέλου ) .
Καλησπέρα σε όλους. Για λόγους πληρότητας, κατόπιν αιτήματος του θεματοδότη και κυρίως για μια καλησπέρα στους αγαπητούς Κώστα και Κώστα και Θανάση.

Προς νέους αναγνώστες της συζήτησης: Την υποθετική πρόταση της απάντησης του Κώστα Βήττα μην την πιστέψετε, εννοείται.

Ίσες διαγώνιοι.png
Ίσες διαγώνιοι.png (12.07 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές

Στο ABC, είναι \dislpaystyle \sigma \upsilon \nu C = \frac{5}{{13}} , στο ACS είναι \dislpaystyle C{S^2} = 25 + {k^2},\;\;k > 0

και στο CAP είναι \dislpaystyle A{P^2} = 25 + 4{k^2} - 2 \cdot 5 \cdot 2k \cdot \sigma \upsilon \nu C = 25 + 4{k^2} - \frac{{100k}}{{13}}

\dislpaystyle AP = CS \Rightarrow 25 + {k^2} = 25 + 4{k^2} - \frac{{100k}}{{13}} \Leftrightarrow k = \frac{{100}}{{39}}.

S, P κατασκευάσιμα.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος Γιώργος Ρίζος την Τρί Φεβ 10, 2026 9:22 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Κορυφή
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2569
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Ίσες διαγώνιοι

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI »

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 08, 2026 6:17 pm
Ίσες διαγώνιοι.png
\bigstar Στις πλευρές AB , BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , με κάθετες πλευρές AB=12 , AC=5 ,

βρείτε σημεία S , P αντίστοιχα , τέτοια ώστε να είναι : CP=2AS και AP=CS .

Ανάρτησα προχθές μια απάντηση στο θέμα αυτό η οποία είχε την εκφραση "χωρίς λόγια". Εξηγώ ότι το έκανα επειδή

βιαζόμουνα και δεν είχα πολύ χρόνο να το "περιποιηθώ" καθώς έπρεπε. Το άφησα ως μια εκκρεμότητα για αργότερα. Ο λογισμός μου

ήταν απλός και δεν τον έγραψα.

Όμως εψές τη νύχτα εκεί στις αϋπνίες μου, όπου δίπλα έχω και το κινητό μου, έριξα μια

νυσταλέα ματιά ατο θέμα και είδα την όμορφη λύση του αγαπητού μου φίλου και συνομήλικου Κώστα βήτα. Τότε αμέσως

το νυσταγμένο βλέμμα μου ξεκαθάρισε, θαύμασα κι έψαξα την όλη σκέψη του Κώστα και σχεδόν μέχρι το πρωί τη σκεφτόμουνα.

Κάποια στιγμή κοντά το μεσημέρι χτύπησε το τηλέφωνο και ήταν ο Κώστας. Μιλάμε μερικές φορές...αυτός στην Ελλάδα κι εγώ στη

Βασιλεία... Τα είπαμε ένα χεράκι...και φυσικά αναφερθήκαμε και στην άσκηση αυτή...

Η ιδέα μου ήταν αυτή που ανάρτησε πριν από λίγο τελικά ο αγαπητός Γιώργος Ρίζος.

Κώστας Δόρτσιος
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14957
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες διαγώνιοι

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis »

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 08, 2026 6:17 pm Ίσες διαγώνιοι.png\bigstar Στις πλευρές AB , BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , με κάθετες πλευρές AB=12 , AC=5 ,

βρείτε σημεία S , P αντίστοιχα , τέτοια ώστε να είναι : CP=2AS και AP=CS .
Αλλιώς για το αλγεβρικό.

Θέτω CS=AP=y και με Π. Θ στο ACS είναι y^2=k^2+25. Στη συνέχεια με \rm Stewart στο

ABC παίρνω: \displaystyle 25 \cdot 13 + 288k = ({k^2} + 25)13 + 26k(13 - 2k) \Leftrightarrow \boxed{k=\frac{100}{39}}
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης