Σχεδόν με το μάτι

KARKAR · #1

$\bigstar$

Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} 2xy &=3(x+y) \\ \\ 5x^2y^2&=18(x^2+y^2) \\ \end{matrix}\right.$

Fotis34 · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2026 5:04 pm
$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} 2xy &=3(x+y) \\ \\ 5x^2y^2&=18(x^2+y^2) \\ \end{matrix}\right.$

Θέτουμε:
$\displaystyle S = x+y,\quad P = xy$

Από την πρώτη εξίσωση:
$\displaystyle 2xy = 3(x+y) \Rightarrow 2P = 3S \Rightarrow S = \frac{2P}{3}$

Για τη δεύτερη εξίσωση χρησιμοποιούμε ότι:
$\displaystyle x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = S^2 - 2P$

Άρα:
$\displaystyle 5P^2 = 18(x^2+y^2) = 18(S^2 - 2P)$

Αντικαθιστούμε $S = \frac{2P}{3}$ :
$\displaystyle S^2 = \frac{4P^2}{9}$

Οπότε:
$\displaystyle 5P^2 = 18\left(\frac{4P^2}{9} - 2P\right)$

$\displaystyle 5P^2 = 8P^2 - 36P$

$\displaystyle 0 = 3P^2 - 36P = 3P(P - 12)$

Άρα:
$\displaystyle P = 0 \quad , \quad P = 12$

i) P = 0

$\displaystyle xy = 0,\quad S = 0 \Rightarrow x = 0,\ y = 0$

ii) P = 12

$\displaystyle S = \frac{2P}{3} = 8$

Άρα:
$\displaystyle x+y=8 , xy=12$

Οι ρίζες της εξίσωσης:
$\displaystyle t^2 - 8t + 12 = 0$

$\displaystyle \Delta = 64 - 48 = 16$

$\displaystyle t = \frac{8 \pm 4}{2} \Rightarrow t = 6,\ 2$

$\displaystyle (x,y) = (6,2),\ (2,6)$ .

Επομένως έχουμε τις λύσεις:
$\displaystyle (x,y) \in \{(0,0),\ (6,2),\ (2,6)\}$ .

#3

Καλημέρα σε όλους. Μια διαφορετική λύση, με τεχνική αρκετά δημοφιλή τα παλαιότερα χρόνια. Δεν ξέρω αν αυτό εννοεί όταν γράφει "με το μάτι" ο Θανάσης.

Για x = y = 0

επαληθεύεται.

Για $\displaystyle x, y \ne0$ , το σύστημα γράφεται: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{2}{3}\\ {\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} = \frac{5}{{18}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = \frac{2}{3}\\ {a^2} + {b^2} = \frac{5}{{18}} \end{array} \right.$ , όπου $\displaystyle a = \frac{1}{y},\;b = \frac{1}{x}$

Η 1η δίνει: $\displaystyle b = \frac{2}{3} - a$ . Με αντικατάσταση στη 2η έχουμε $\displaystyle 2{a^2} - \frac{4}{3}a + \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow 12{a^2} - 8a + 1 = 0$ ,

οπότε $\displaystyle a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{6}\;\;\; \vee a = \frac{1}{6} \Rightarrow b = \frac{1}{2}$ , που δίνει ζεύγη λύσεων (x,y)=(2,6), (6,2)

.

#4

Με αντικατάσταση. Από την πρώτη εξίσωση, $\displaystyle xy = \frac{{3(x + y)}}{2}$ και αντικαθιστώντας στη δεύτερη παίρνω,

$\displaystyle 3{x^2} - 10xy + 3{y^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3y$ ή $\displaystyle x = \frac{1}{3}y$

Με αντικατάσταση και πάλι στην πρώτη προκύπτει ότι, $\boxed{(x,y) \in \left\{ {(0,0),(2,6),(6,2)} \right\}}$

Σχεδόν με το μάτι

Σχεδόν με το μάτι

Re: Σχεδόν με το μάτι

Re: Σχεδόν με το μάτι

Re: Σχεδόν με το μάτι

Μέλη σε σύνδεση