Ελάχιστο εμβαδόν

#1

: Ελάχιστο Εμβαδόν.png (8.75 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές

Δίνεται γωνία $\displaystyle{x\widehat Oy}$ και ένα σημείο

στο εσωτερικό της. Από το

φέρνουμε τυχούσα ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon )}$ που τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία

και

.

α) Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα $\displaystyle{\frac{1}{{(OPA)}} + \frac{1}{{(OPB)}}}$ είναι σταθερό ανεξάρτητο από τη θέση της ευθείας $\displaystyle{(\varepsilon )}$ .

β) Να προσδιοριστεί η θέση της ευθείας $\displaystyle{(\varepsilon )}$ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου OAB

να είναι ελάχιστο.

KARKAR · #2

Είναι πολυσυζητημένο θέμα στο forum . Ξεκινάτε π.χ. από εδώ

S.E.Louridas · #3

Καλημέρα Γιώργο.
1) Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο OLPK

. Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{1 = \frac{{PB}}{{AB}} + \frac{{PA}}{{AB}} = \frac{{\left( {OKP} \right)}} {{\left( {OAP} \right)}} + \frac{{\left( {OPL} \right)}} {{\left( {OBP} \right)}} = \frac{{\left( {KPLO} \right)}}{2}\left( {\frac{1} {{\left( {OAP} \right)}} + \frac{1}{{\left( {OBP} \right)}}} \right) \Rightarrow}$
$\displaystyle{\frac{1}{{\left( {OAP} \right)}} + \frac{1}{{\left( {OBP} \right)}} = \frac{2} {{\left( {KPLO} \right)}},\quad ct.}$

2) $\displaystyle{\frac{1} {{\left( {OAP} \right)}} + \frac{1} {{\left( {OBP} \right)}} = \frac{2} {{\left( {KPLO} \right)}},\quad ct. \Rightarrow \left( {\frac{1} {{\left( {OAP} \right)}} \cdot \frac{1} {{\left( {OBP} \right)}}} \right)_{\max } = \left( {\frac{1} {{\left( {KPLO} \right)}}} \right)^2 .}$

Άρα παίρνουμε $\displaystyle{\left( {\left( {OAP} \right) \cdot \left( {OBP} \right)} \right)_{\min } = \left( {KPLO} \right)^2 \Rightarrow \left( {OAB} \right)_{\min } = 2\left( {KPLO} \right).}$

Ελάχιστο εμβαδόν

Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση