ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

ykerasar · #1

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1ο

ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ LEMOINE

ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ: Πέρασαν πολλά χρόνια από τότε που η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν ένα κατ’ εξοχή παιδευτικό μάθημα του νου των νέων παιδιών. Τώρα, εποχή εκπτώσεων πολλών αξιών της ζωής, υπάρχουν άνθρωποι που αγωνίζονται με πείσμα να επαναφέρουν την Ευκλείδεια Γεωμετρία στο προσκήνιο. Η ιστοσελίδα μας έχει το προνόμιο να διαθέτει το χώρο της σε άριστους της Γεωμετρίας.
Κοντά σ’ αυτούς σκέφθηκα κι εγώ να διαθέσω τις φτωχές μου δυνάμεις στην αποκατάσταση της θέσης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Για το λόγο αυτό άρχισα να ανασκάφτω το αρχείο μου. Έτσι ανοίγω ένα αρχείο με θέματα που άμεσα ή έμμεσα σχετίζονται με το σημείο και του κύκλους Lemoine. Θα ακολουθήσουν αφιερώματα και σε άλλους κλασικούς.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά

ευθείες αντιπαράλληλες
Δύο ευθείες $\displaystyle{\varepsilon _1, \varepsilon _2 }$ τέμνονται: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ μεταξύ τους στο $\displaystyle{{\rm O}}$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ από ευθεία $\displaystyle{\sigma _1 }$ στα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ από ευθεία $\displaystyle{\sigma _2 }$ στα $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{\gamma \omega \nu .{\rm A}\Gamma \Delta = \gamma \omega \nu .{\rm O}{\rm B}{\rm A}}$ τότε λέμε ότι οι ευθείες $\displaystyle{\sigma _1, \sigma _2 }$ είναι αντιπαράλληλες ως προς τις $\displaystyle{\varepsilon _1, \varepsilon _2 }$ [αντίστοιχα οι $\displaystyle{\varepsilon _1 ..\varepsilon _2 }$ είναι αντιπαράλληλες ως προς τις $\displaystyle{\sigma _1, \sigma _2 }$ ]

συζυγείς ισογώνιες τριγώνου [κατά Neuberg]
Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ δίνονται η διχοτόμος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ αυτού και τα σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ της πλευράς $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ . Αν $\displaystyle{\gamma \omega \nu .{\rm A}\Gamma \Delta = \gamma \omega \nu .{\rm O}{\rm B}{\rm A}}$ , τότε οι $\displaystyle{{\rm A}{\rm M},{\rm A}{\rm N}}$ λέγονται συζυγείς ισογώνιες

συμμετροδιάμεσοι τριγώνου [κατά Maurice D’ Ocagne]
Συμμετροδιάμεσος τριγώνου, από μια κορυφή του, λέγεται η συζυγής ισογώνιος της διαμέσου του τριγώνου, απ’ την ίδια κορυφή

σημείο Lemoine τριγώνου [Emil Lemoine]
Είναι τα σημείο τομής των εσωτερικών συμμετροδιαμέσων του τριγώνου [συνηθίζεται να το συμβολίζουμε με $\displaystyle{L}$ ]

πρώτος κύκλος Lemoine
Οι τομές των πλευρών τριγώνου από τις παράλληλες, που διέρχονται από το σημείο Lemoine αυτού, είναι σημεία ομοκυκλικά. Τον κύκλο αυτό τον ονομάζουμε "πρώτο κύκλο του Lemoine" [συνήθως τον σημειώνουμε $\displaystyle{C{L1} }$ ]

δεύτερος κύκλος Lemoine
Οι τομές των πλευρών τριγώνου από τις αντιπαράλληλες προς αυτές, που διέρχονται από το σημείο Lemoine αυτού, είναι σημεία ομοκυκλικά. Τον κύκλο αυτό τον ονομάζουμε "δεύτερο κύκλο του Lemoine" [συνήθως τον σημειώνουμε [tex\displaystyle{C_{L2} }[/tex]

σημείο Gergonne
Είναι το κοινό σημείο των ευθ. τμημάτων που έχουν σαν άκρα τις κορυφές του τριγώνου και τα σημεία επαφής του εγγεγρ. κύκλου με τις πλευρές του τριγώνου

A΄ θέμα. από τη συλλογή θεμάτων με βάση Lemoine

01.Δίνονται $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ μια διάμεσος αυτού, σημείο $\displaystyle{{\rm K}}$ εσωτερικό του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm K}\Lambda \bot {\rm A}{\rm B} \bot {\rm E}\Sigma, {\rm K}{\rm M} \bot {\rm A}\Gamma \bot {\rm E}{\rm P}}$ . Αν $\displaystyle{\frac{{{\rm K}{\rm M}}}{{{\rm K}\Lambda }} = \frac{\beta }{\gamma }}$ δείξτε ότι το $\displaystyle{{\rm K}}$ είναι σημείο της συμμετροδιαμέσου $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ της $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Επίσης διατυπώστε και αποδείξτε το αντίστροφο αυτής της πρότασης
02. Διατηρώντας τις υποθέσεις του προηγούμενου θέματος (01) και λαμβάνοντας υπ’ όψη ότι η $\displaystyle{{\rm A}{\rm K}}$ τέμνει την $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ στο $\displaystyle{\Delta }$ , δείξτε ότι $\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm B}}}{{\Delta \Gamma }} = \frac{{\gamma ^2 }}{{\beta^2 }}}$ .
03. Η εξωτερική συμμετροδιάμεσος κάθε τριγώνου είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου αυτού του τριγώνου
04. Οι εσωτερικές συμμετροδιάμεσοι κάθε τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.
05. Κάθε εσωτερική συμμετροδιάμεσος τριγώνου, διέρχεται από το κοινό σημείο των δύο εξωτερικών συμμετροδιαμέσων οι οποίες αντιστοιχούν στις άλλες δύο κορυφές του τριγώνου.
06. Αν $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ είναι τα ίχνη της εσωτερικής και της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\displaystyle{{\rm A}}$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , πάνω στην $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm E}}$ το ίχνος της εξωτερικής συμμετροδιαμέσου, που αντιστοιχεί στην κορυφή $\displaystyle{{\rm A}}$ , πάνω στη $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ , τότε το $\displaystyle{{\rm E}}$ είναι μέσο της $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}}$ .
07. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ το εφαπτομενικό τρίγωνο αυτού. Δείξτε ότι το σημείο $\displaystyle{L}$ Lemoine του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ συμπίπτει με το σημείο Gergonne $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ .
08. Δείξτε ότι το σημείο Lemoine κάθε τριγώνου απέχει από τις πλευρές του τριγώνου αποστάσεις ανάλογες των αντίστοιχων πλευρών.
09. Αν $\displaystyle{L}$ το σημείο Lemoine τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{\Lambda {\rm P} \bot {\rm B}\Gamma, \Lambda \Pi \bot {\rm A}\Gamma, \Lambda \Sigma \bot {\rm A}{\rm B}}$ , δείξτε ότι
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ $\displaystyle{\Lambda {\rm P} = \frac{{2\alpha \left( {AB\Gamma } \right)}}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}}$
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{\Lambda \Pi = \frac{{2\beta \left( {AB\Gamma } \right)}}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}}$
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ $\displaystyle{\Lambda \Sigma = \frac{{2\gamma \left( {AB\Gamma } \right)}}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}}$
$\displaystyle{\left. \delta \right)}$ $\displaystyle{\left( {\Lambda {\rm P}} \right)^2 + \left( {\Lambda \Sigma } \right)^2 + \left( {\Lambda \Pi } \right)^2 = \frac{{4\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)^2 }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}}$
10. Το σημείο Lemoine τριγώνου είναι το σημείο του επιπέδου του τριγώνου, του οποίου το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις πλευρές του είναι ελάχιστο.
11. Το σημείο Lemoine κάθε τριγώνου είναι βαρύκεντρο του ποδικού τριγώνου του σημείου αυτού, ως προς το αρχικό τρίγωνο και αντίστροφα.
12. Αν $\displaystyle{{\rm P}\Pi \Sigma }$ το ποδικό τρίγωνο του σημείου Lemoine τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τότε ισχύει: $\displaystyle{\left( {{\rm P}\Pi \Sigma } \right) = \frac{{12\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}}$
13. Από το σημείο $\displaystyle{L}$ Lemoine τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου, τις: $\displaystyle{{\rm E}\L\Theta \parallel {\rm A}\Gamma, {\rm Z}\L {\rm K}\parallel {\rm A}{\rm B}, \Delta \L {\rm H}\parallel {\rm B}\Gamma }$ , με: $\displaystyle{{\rm E},\Delta \in \left( {{\rm A}{\rm B}} \right), {\rm K},\Theta \in \left( {{\rm B}\Gamma } \right), {\rm Z},{\rm H} \in \left( {{\rm A}\Gamma } \right)}$ . Δείξτε ότι τα σημεία $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z},{\rm H},\Theta ,{\rm K}}$ είναι ομοκυκλικά.
14. Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ο πρώτος κύκλος Lemoine αυτού, τέμνει την $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ στα $\displaystyle{{\rm E},\Delta }$ $\displaystyle{\left(με {{\rm E} μεταξύ {\rm A},\Delta } \right)}$ . Δείξτε ότι $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}\Gamma ^2 }} = \frac{{{\rm E}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}^2 }} = \frac{{\Delta {\rm B}}}{{{\rm B}\Gamma ^2 }}}$ . Δείξτε, ακόμα, ότι το ίδιο ισχύει και για τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.
15. Ισχύουν οι υποθέσεις της άσκησης 14 κι επί πλέον: $\displaystyle{\left. 1 \right)}$ ο πρώτος κύκλος Lemoine τέμνει τις $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,{\rm A}\Gamma }$ στα $\displaystyle{{\rm K},\Theta }$ και $\displaystyle{{\rm H},{\rm Z}}$ $\displaystyle{\left( {{\rm K} μεταξύ {\rm A},\Theta και {\rm H} μεταξύ \Gamma ,{\rm Z}} \right)}$ , $\displaystyle{\left. 2 \right)}$ περίκυκλος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ο $\displaystyle{C\left( {O,R} \right)}$ , $\displaystyle{\left. 3 \right)}$ κύκλος Lemoine είναι ο $\displaystyle{C\left( {\Lambda ,R_\Lambda } \right)}$ .
Δείξτε ότι:
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ $\displaystyle{\Delta {\rm E} = \frac{{\gamma ^3 }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2}}}$ , $\displaystyle{{\rm K}\Theta = \frac{{\alpha ^3 }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}}$ , $\displaystyle{{\rm Z}{\rm H} = \frac{{\beta ^3 }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}}$
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{\tau \rho \gamma {\rm A}{\rm B}\Gamma \approx \tau \rho \gamma {\rm E}{\rm K}{\rm H} \approx \tau \rho \gamma \Delta {\rm E}{\rm Z}}$
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z} = \Delta {\rm K} = \Theta {\rm H} = \frac{{\alpha \beta \gamma }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}}$
$\displaystyle{\left. \delta \right)}$ $\displaystyle{\left( {{\rm O}{\rm A}} \right)^2 = R^2 - 3\left[ {\frac{{\alpha \beta \gamma }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}} \right]^2 }$
$\displaystyle{\left. \varepsilon \right)}$ $\displaystyle{R_L = \frac{{R^2 \left( {\beta ^2 \gamma ^2 + \alpha ^2 \gamma ^2 + \alpha ^2 \beta ^2 } \right)}}{{\left( {\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 } \right)^2 }}}$
16. Οι αντιπαράλληλες ευθείες προς τις πλευρές τριγώνου που διέρχονται από το σημείο Lemoine αυτού, τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου σε έξι σημεία ομοκυκλικά

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

______________________________

#2

Γιάννη, καλησπέρα!
Εξαιρετική δουλειά!
Καλή επιτυχία στις εκλογές της ΕΜΕ.

S.E.Louridas · #3

Γιάννη,
επίτρεψε μου να έχω άποψη για το πόσο Άριστος Μαθηματικός, αλλά και Γεωμέτρης είσαι. Πράγματι είναι γεγονός ότι τα "πέτρινα" χρόνια για την Πατρίδα και αμέσως μετά, που ήταν ταυτόχρονα Μαθηματικά και προ πάντων Γεωμετρικά χρόνια με δύσκολα θέματα εσύ μεσουράνησες και ως Μαθηματικός - Γεωμέτρης. Το πρωί αγώνας για την απελευθέρωση με διωγμούς και το βράδυ δάσκαλος που στάθηκε απόλυτα ίσος προς ίσον δίπλα σε ονόματα, όπως του Πάλλα, του Ντάνη και άλλων μεγάλων της εποχής. Ένα ευχαριστώ για την ανεκτίμητη προσφορά σου και εδώ στο mathematica και καλή επιτυχία στις επερχόμενες εκλογές της Ε.Μ.Ε.

ykerasar · #4

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 2ο

Α΄ θέμα: ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ LEMOINE [β΄ συνέχεια]

ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ: συνεχίζουμε τη δημοσίευση θεμάτων του αρχείου μας, με αντικείμενο το σημείο και τους κύκλους Lemoine. Η αρίθμηση αποτελεί συνέχεια της αρίθμησης της προηγούμενης δημοσίευσης.
Εδώ, θα πρέπει να σημειώσουμε πως υπάρχει μια ολόκληρη σειρά θεμάτων πάνω στον Lemoine, όμως εμείς πιστεύουμε πως, με τα θέματα του "ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΟΣ 2", δίνουμε μια ικανοποιητική προσέγγιση του θέματος.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά

πόλος και πολική ως προς κύκλο
Δίνεται κύκλος $\displaystyle{C}$ και σταθερό σημείο $\displaystyle{K}$ . Από το Κ διέρχονται διατέμνουσες τον κύκλο, που τον τέμνουν στα $\displaystyle{N,M}$ με $\displaystyle{N}$ μεταξύ $\displaystyle{M,{\rm K}}$ . Αν $\displaystyle{\Lambda }$ είναι το αρμονικό συζυγές του $\displaystyle{K}$ ως προς τα $\displaystyle{N,M}$ , ο γεωμ. τόπος των σημείων $\displaystyle{\Lambda }$ είναι μία ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ .
— Το σημείο $\displaystyle{K}$ . ονομάζεται πόλος της ευθείας $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ ως προς τον κύκλο $\displaystyle{C}$ .
— Η $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ ονομάζεται πολική του σημείου $\displaystyle{K}$ , ως προς τον κύκλο $\displaystyle{C}$ .

μεταπολικά σημεία – μεταπαράλληλα τρίγωνα
Δίνονται δύο τρίγωνα. Από τα κορυφές του πρώτου φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του δεύτερου. Αν αυτές οι παράλληλες διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm O}_1 }$ , τότε και οι παράλληλες από τις κορυφές του δεύτερου προς τις πλευρές του πρώτου διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm O}_2 }$ .
—Τα σημεία $\displaystyle{{\rm O}_1 }$ , $\displaystyle{{\rm O}_2 }$ ονομάζονται μεταπολικά σημεία των δύο τριγώνων.
— Τα δύο τρίγωνα ονομάζονται μεταπαράλληλα

σημεία ορθοπολικά – τρίγωνα ορθολογικά
Δίνονται δύο τρίγωνα. Από τα κορυφές του πρώτου φέρουμε κάθετες προς τις πλευρές του δεύτερου. Αν αυτές οι κάθετες διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rmO}_1 }$ , τότε και οι κάθετες από τις κορυφές του δεύτερου προς τις πλευρές του πρώτου διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm O}_2 }$ .
— Τα δύο τρίγωνα ονομάζονται ορθολογικά
— Τα σημεία $\displaystyle{{\rm O}_1 }$ , $\displaystyle{{\rm O}_2 }$ ονομάζονται ορθοπολικά

σημεία αντίστροφα ή ισογώνια [κατά Neuberg]
Σε τρίγωνο οι συζυγείς ισογώνιες ευθείες τριών ευθειών, που διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{M}$ , διέρχονται ομοίως από το ίδιο σημείο $\displaystyle{N}$ . Τα σημεία $\displaystyle{M,N}$ λέγονται αντίστροφα σημεία ως προς το δοσμένο τρίγωνο (ή ισογώνια κατά Neuberg)

σημεία συζυγή ως προς περιφέρεια
Δύο σημεία λέγονται συζυγή ως προς περιφέρεια αν το καθένα απ’ αυτά βρίσκεται στην πολική του άλλου ως προς τον ίδιο κύκλο.

ευθεία Wallace
Είναι η ευθεία Simson

άξονας Lemoine
Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και τις εφαπτόμενες του περίκυκλού του στα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ , οι οποίες τέμνουν τις πλευρές $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,{\rm A}\Gamma ,{\rm A}{\rm B}}$ στα $\displaystyle{{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ . Τα $\displaystyle{{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ βρίσκονται πάνω σε ευθεία την οποία ονομάζουμε άξονα Lemoine

ευθείες συζυγείς ως προς περιφέρεια
Δύο ευθείες ονομάζονται συζυγείς ως προς περιφέρεια αν η κάθε μια απ’ αυτές διέρχεται από τον πόλο της άλλης, ως προς τον ίδιο κύκλο.

cévienne
Ονομάζεται κάθε ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μια κορυφή τριγώνου με ένα σημείο της απέναντι πλευράς (κατά: A. Poulain)

Εξάγωνο του Lemoine
Τα έξι σημεία στα οποία τέμνει τις πλευρές του τριγώνου, ο πρώτος κύκλος Lemoine $\displaystyle{C_{L1} }$ , ορίζουν το εξάγωνο του Lemoine.

Κύκλος Tucker
Aν $\displaystyle{L}$ το σημείο Lemoine τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ σημεία των ευθ. τμημάτων $\displaystyle{L{\rm A},L{\rm B},L\Gamma }$ αντίστοιχα, που τα διαιρούν σε μέρη ανάλογα μεταξύ τους, τότε οι ευθείες που ορίζονται από τα ζεύγη $\displaystyle{\Delta ,{\rm E}}$ και $\displaystyle{{\rm E},{\rm Z}}$ και $\displaystyle{\Delta ,{\rm Z}}$ , είναι ομοκυκλικά. Αυτός ο κύκλος ονομάζεται κύκλος Tucker $\displaystyle{C_{Tu} }$ του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ .

Κύκλος Taylor
Σε κάθε τρίγωνο, οι προβολές των ποδών των υψών του στις πλευρές του τριγώνου, είναι σημεία ομοκυκλικά. Αυτός ο κύκλος ονομάζεται κύκλος Taylor $\displaystyle{C_{Ta} }$ του δοσμένου τριγώνου.

Τρίγωνο συμπληρωματικό-τρίγ. αντισυμπληρωματικό [κατά Neuberg]
Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ σημειώνουμε με $\displaystyle{M,N,P}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,{\rm A}\Gamma }$ αντίστοιχα.
— Το τρίγωνο $\displaystyle{MNP}$ ονομάζεται συμπληρωματικό ως προς το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
— Το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ονομάζεται αντισυμπληρωματικό ως προς το $\displaystyle{MNP}$

A. από τη συλλογή θεμάτων με βάση Lemoine (συνέχεια)
17.Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ( $\displaystyle{L}$ είναι το σημείο Lemoine αυτού), φέρουμε, δια του ( $\displaystyle{L}$ , αντιπαράλληλες ευθείες προς τις πλευρές του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , οι οποίες τέμνουν τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,{\rm A}\Gamma }$ στα $\displaystyle{\Theta ,{\rm K}}$ και $\displaystyle{\Delta ,{\rm E}}$ και $\displaystyle{{\rm Z},{\rm H}}$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι:
α) Οι πλευρές των τριγώνων $\displaystyle{{\rm E}{\rm K}{\rm H}}$ και $\displaystyle{\Delta {\rm Z}\Theta }$ είναι κάθετες προς τις πλευρές του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Οι πλευρές των ίδιων τριγώνων είναι παράλληλες μεταξύ τους.
β) Τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{{\rm E}{\rm K}{\rm H}}$ , $\displaystyle{\Delta {\rm Z}\Theta }$ είναι όμοια μεταξύ τους
γ) Είναι: $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}\parallel {\rm B}\Gamma ,\Delta {\rm K}\parallel{\rmA}\Gamma ,\Theta {\rm H}\parallel {\rm A}{\rm B}}$
δ) $\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{\sigma \upsilon \nu \Gamma }} = \frac{{{\rm K}\Theta }}{{\sigma \upsilon \nu {\rm A}}}}$
18. Δίνονται: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ οι συμμετροδιάμεσοι $\displaystyle{{\rm A}{\rm H},{\rm B}\Theta ,\Gamma {\rm K}}$ αυτού, $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ τα αντίστοιχα σημεία στα οποία οι συμμετροδιάμεσοι αυτοί, τέμνουν τον περίκυκλό του $\displaystyle{C_R }$ , $\displaystyle{\left. \delta \right)}$ $\displaystyle{L}$ το σημείο Lemoine του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Δείξτε ότι $\displaystyle{\left. i \right)}$ η $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ είναι συμμετροδιάμεσος των τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta ,{\rm A}\Gamma \Delta }$ , $\displaystyle{\left. {ii} \right)}$ το $\displaystyle{L}$ είναι σημείο Lemoine του τριγώνου $\displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ .
19. Τα ευθ. τμήματα που συνδέουν τα μέσα των πλευρών τριγώνου με τα μέσα των αντίστοιχων σ’ αυτές υψών, διέρχονται δια του σημείου Lemoine του δοσμένου τριγώνου.
20. Τα ευθ. τμήματα που συνδέουν τα μέσα των πλευρών τριγώνου με τα μέσα των αντίστοιχων σ’ αυτές τριών cévienne, διέρχονται δια του σημείου Lemoine του δοσμένου τριγώνου.
21. Δίνεται γωνία $\displaystyle{\gamma \omega \nu .xoy}$ και τυχαία περιφέρεια που τέμνει τις $\displaystyle{{\rm O}x,Oy}$ , αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ . Οι κάθετοι επί τις $\displaystyle{{\rm O}x,Oy}$ στα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ , σχηματίζουν παραλ/μο $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta }$ (με $\displaystyle{{\rm E},{\rm H}}$ απέναντι κορυφές). Δείξτε ότι οι $\displaystyle{{\rm O}\Theta ,{\rm O}{\rm Z}}$ και οι $\displaystyle{{\rm O}{\rm E},{\rm O}{\rm H}}$ είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές της $\displaystyle{\gamma \omega \nu .xoy}$ .
22. Δίνονται: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ τρεις ευθείες $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right)\parallel \left( {\varepsilon _2 } \right)\parallel \left( {\varepsilon _3 } \right)}$ διερχόμενες από τις κορυφές $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι οι ισογώνιες αυτών των ευθειών, ως προς τις πλευρές των γωνιών (απ’ τις κορυφές των οποίων διέρχονται), διέρχονται (οι ισογώνιες) από το ίδιο σημείο $\displaystyle{\Lambda }$ του περίκυκλου του δοσμένου τριγώνου.
23. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ $\displaystyle{\left( {\gamma \omega \nu .{\rm A} = 90^o } \right)}$ και το ύψος $\displaystyle{A\Delta }$ αυτού. Δείξτε ότι το σημείο $\displaystyle{L}$ Lemoine του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , είναι το μέσο του $\displaystyle{A\Delta }$ .
24. Δείξτε ότι υπάρχει απειρία τριγώνων εγγεγραμμένων στον ίδιο κύκλο που έχουν το ίδιο σημείο Lemoine.
25. Αν $\displaystyle{L}$ το σημείο Lemoine τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ τότε ισχύει $\displaystyle{\frac{{L{\rm A}}}{{L{\rm A}}} = \frac{{\left( {\beta ^2 + \gamma ^2 } \right)}}{{\alpha ^2 }}}$ .
26. Από κάθε κορυφή τριγώνου φέρουμε ευθεία που διαιρεί την απέναντι πλευρά σε μέρη ανάλογα των τετραγώνων των προσκειμένων σ’ αυτά πλευρών. Δείξτε ότι αυτές οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο. Ποιο είναι αυτό το σημείο;
27. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , είναι $\displaystyle{L,\Theta }$ το σημείο Lemoine και το βαρύκεντρό του αντίστοιχα, τότε δείξτε ότι: αν $\displaystyle{L{\rm B} \bot L\Gamma }$ , τότε οι $\displaystyle{\Theta {\rm B},\Theta \Gamma }$ σχηματίζουν με τις αντίστοιχες πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ γωνίες συμπληρωματικές.
28. Αν $\displaystyle{{\rm M},{\rm M}_1 }$ και $\displaystyle{{\rm N},{\rm N}_1 }$ είναι ζεύγη αντιστρόφων σημείων ως προς τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τότε: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τα ισογώνια τμήματα $\displaystyle{{\rm M}{\rm N},{\rm M}_1 {\rm N}_1 }$ φαίνονται υπό ίσες ή παραπληρωματικές γωνίες από μια κορυφή του τριγώνου, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ τουλάχιστο ένα από τα $\displaystyle{M,N}$ κείται εκτός του τριγώνου.
29. Αν ένα σημείο $\displaystyle{{\rm A}}$ βρίσκεται πάνω στην πολική ενός άλλου σημείου $\displaystyle{{\rm B}}$ , τότε και το σημείο $\displaystyle{{\rm B}}$ βρίσκεται πάνω στην πολική του $\displaystyle{{\rm A}}$ (και στις δύο περιπτώσεις ως προς τον ίδιο κύκλο).
30. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο, ο ριζικός άξονας του πρώτου κύκλου Lemoine $\displaystyle{C_{L1} }$ και του περίκυκλου αυτού του τριγώνου είναι η ευθεία πάνω στην οποία τέμνονται τα ζεύγη των απέναντι πλευρών του εξαγώνου Lemoine, αυτού του τριγώνου.
31. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο η πολική του σημείου Lemoine αυτού, ως προς τον πρώτο κύκλο Lemoine $\displaystyle{C_{L1} }$ είναι η ευθεία Pascal του εξαγώνου Lemoine του τριγώνου αυτού.
32. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο το κέντρο του κύκλου Tucker αυτού βρίσκεται πάνω στην $\displaystyle{OL}$ (όπου $\displaystyle{{\rm O}}$ και $\displaystyle{L}$ το κέντρο του περίκυκλου του δοσμένου τριγώνου και το σημείο Lemoine αυτού).
33. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο, οι ριζικοί άξονες, ανά δύο των κύκλων Taylor αυτού, είναι ύψη του δοσμένου τριγώνου.
34. Δίνονται: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{A\Delta ,{\rm B}{\rm E},\Gamma {\rm Z}}$ τα ύψη του, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ φέρουμε τις $\displaystyle{\Delta \Delta _1 \bot {\rm A}{\rm B},\Delta \Delta _2 \bot {\rm A}\Gamma ,{\rm E}{\rm E}_1 \bot {\rm B}\Gamma ,{\rm E}{\rm E}_2 \bot {\rm A}{\rm B},{\rm Z}{\rm Z}_1 \bot {\rm B}\Gamma ,{\rm Z}{\rm Z}_2 \bot {\rm A}\Gamma }$ . Οι $\displaystyle{{\rm E}_1 {\rm E}_2,\Delta _1 \Delta _2 ,{\rm Z}_1 {\rm Z}_2 }$ ορίζουν τρίγωνο $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}}$ . Δείξτε ότι το $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}}$ είναι συμπληρωματικό του ορθικού τριγώνου $\displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ .
35. Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , το ορθικό του είναι $\displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ και το συμπληρωματικό του είναι το $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}}$ . Δείξτε ότι ο κύκλος Taylor του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ομόκεντρος του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}}$ .
36. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο το σημείο Lemoine αυτού είναι ο πόλος του άξονα Lemoine αυτού του τριγώνου ως προς τον περίκυκλό του.
37. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο o άξονας Lemoine αυτού του τριγώνου ως προς τον περίκυκλό του, δεν έχει κοινό σημείο με τον περίκυκλο αυτό.
38. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο, το ποδικό τρίγωνο του σημείου Lemoine αυτού, έχει σαν βαρύκεντρο το σημείο το σημείο αυτό.
39. Δείξτε ότι το σημείο Lemoine ενός τριγώνου είναι τριπλός πόλος, για το τρίγωνο, ως προς τον άξονα Lemoine του τριγώνου.
40. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , με $\displaystyle{L}$ το σημείο Lemoine αυτού, με $\displaystyle{K}$ την προβολή του $\displaystyle{L}$ πάνω στην $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm M}}$ το συμμετρικό του $\displaystyle{K}$ ως προς το $\displaystyle{L}$ . Δείξτε ότι το $\displaystyle{{\rm M}}$ βρίσκεται στη διάμεσο $\displaystyle{A\Delta }$ του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ .

Σημείωση: το «ΣΗΜΕΙΩΜΑ 3ο» θα είναι αφιερωμένο στους:
Stewart, Μενέλαο, Céva

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

ykerasar · #5

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 3ο

B΄. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ STEWART, ΜΕΝΕΛΑΟΥ, CEVA [α΄ συνέχεια]

Προλεγόμενα Συνεχίζουμε με το τρίτο σημείωμα και αναφερόμαστε στα θεωρήματα των Stewart, Μενέλαου και Ceva

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά

Συμβάσεις
● Δύο σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ ορίζουν ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διαβάζουμε σαν $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ ή $\displaystyle{{\rm B}{\rm A}}$
● στην πρώτη περίπτωση το ευθ. τμήμα έχει σαν αρχή το $\displaystyle{{\rm A}}$ και πέρας το $\displaystyle{{\rm B}}$ .
● στη δεύτερη περίπτωση το ευθ. τμήμα έχει σαν αρχή το $\displaystyle{{\rm B}}$ και πέρας το $\displaystyle{{\rm A}}$ .
● στην πρώτη περίπτωση τη φορά από το $\displaystyle{{\rm A}}$ προς το $\displaystyle{{\rm B}}$ θα τη θεωρούμε θετική και τα μήκη θα εκφράζονται με θετικό αριθμό.
● στη δεύτερη περίπτωση τη φορά από το $\displaystyle{{\rm B}}$ και πέρας το $\displaystyle{{\rm A}}$ θα τη θεωρούμε αρνητική και τα μήκη θα εκφράζονται με αρνητικό αριθμό.
[Παραδείγματα: Αν έχω τρία σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ συνευθειακά, με $\displaystyle{{\rm B}}$ μεταξύ των $\displaystyle{{\rm A},\Gamma }$ , τότε θα έχουμε: $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} + {\rm B}\Gamma = {\rm A}\Gamma > 0}$ (θετικό μήκος), $\displaystyle{{\rm A}\Gamma + \Gamma {\rm A} = {\rm A}{\rm A} = 0}$ , $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} + \Gamma {\rm A} = \Gamma {\rm B} < 0}$ (αρνητικό μήκος)]

Τμήματα Cevian- τρίγωνο cevian- S
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ του επιπέδου του. Αν οι φορείς των $\displaystyle{{\rm A}{\rm M},{\rm B}{\rm M},\Gamma {\rm M}}$ τέμνουν τους φορείς των $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ , στα $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ αντίστοιχα, τότε:
● κάθ’ ένα από τα ευθ. τμήματα $\displaystyle{{\rm A}{\rm E},{\rm B}{\rm Z},\Gamma \Delta }$ , ονομάζεται cevian
● το τρίγωνο $\displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ ονομάζεται τρίγωνο cevian
● ο σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ στο εξής θα το σημειώνουμε με το γράμμα $\displaystyle{S}$

σημείο Gergonne
Γνωρίζουμε ότι: οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τα σημεία επαφής της απέναντι πλευράς με τον εγγεγραμμένο, στο τρίγωνο κύκλο, διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{G}$ . Tο σημείο $\displaystyle{G}$ ονομάζεται σημείο Gergonne του τριγώνου

σημείο Nagel
Γνωρίζουμε ότι: οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τα σημεία επαφής, των απέναντι προς αυτές πλευρών, με τους αντίστοιχους παράκυκλους, διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{N}$ . Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο Nagel του τριγώνου

ορθικός άξονας
Γνωρίζουμε ότι οι πλευρές του ορθικού τριγώνου, τέμνουν τις πλευρές του δοσμένου τριγώνου σε τρία συνευθειακά σημεία. αυτή η ευθεία ονομάζεται του τριγώνου.

«επ’ άπειρο σημείο» ή «κατ’ εκδοχή σημείο» ή «φανταστικό σημείο»
Γνωρίζουμε ότι αν μια ευθεία τέμνει δύο πλευρές τριγώνου και είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά. η ευθεία αυτή θεωρείται ότι έχει "κοινό" σημείο, με την τρίτη πλευρά, στο άπειρο. Αυτό "κοινό σημείο" ονομάζεται «επ’ άπειρο σημείο» ή «κατ’ εκδοχή σημείο» ή «φανταστικό σημείο»

εφαπτομενικό τρίγωνο
Το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις εφαπτόμενες του περίκυκλου δοσμένου τριγώνου στα σημεία των κορυφών του, ονομάζεται εφαπτομενικό τρίγωνο

ισοτομικά σημεία
Δύο σημεία μιας πλευράς τριγώνου ονομάζονται ισοτομικά σημεία, αν ισαπέχουν από το μέσο της πλευράς αυτής.

αντίστροφες ή ισοτομικές διατέμνουσες
Αν $\displaystyle{{\rm K}_1 ,\Lambda _1 ,{\rm M}_1 }$ τα ισοτομικά τριών συνευθειακών σημείων $\displaystyle{{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ ως προς δοσμένο τρίγωνο, τότε οι ευθείες $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( \varepsilon \right)}$ αντίστοιχα αυτών των τριάδων ονομάζονται αντίστροφες ή ισοτομικές διατέμνουσες

ΘΕΩΡΗΜΑ STEWART
[Matthew Stewart (1717-1785)]

εκφώνηση του θεωρήματος
Aν $\displaystyle{{\rm B},\Delta ,\Gamma }$ είναι τρία συνευθειακά σημεία και $\displaystyle{{\rm A}}$ ένα οποιοδήποτε άλλο, τότε ισχύει $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}^2 \cdot \Delta \Gamma + {\rm A}\Delta ^2 \cdot \Gamma {\rm B} + {\rm A}\Gamma ^2 \cdot \Gamma {\rm B} + \Delta \Gamma \cdot \Gamma {\rm B} \cdot {\rm B}\Delta = 0}$
αντίστροφο Stewart
Αν τρία σημεία είναι δοσμένα, ένα σε κάθε φορέα πλευράς του τριγώνου, σε τρόπο ώστε αυτά τα σημεία να διαιρούν τις τρεις πλευρές σε έξι τμήματα, έτσι ώστε το γινόμενο των τριών τμημάτων που δεν είναι διαδοχικά να ισούται με το γινόμενο των άλλων τριών, τότε τα τρία σημεία είναι συνευθειακά

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΝΕΛΑΟΥ
[Μενέλαος (80 μ.Χ.)]

εκφώνηση του θεωρήματος
Τα έξι τμήματα που ορίζονται από τη διατέμνουσα πάνω στους φορείς των πλευρών του είναι τέτοια ώστε το γινόμενο τριών μη διαδοχικών τμημάτων να ισούται με το γινόμενο των άλλων τριών
π.χ. Τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , του οποίου τους φορείς των πλευρών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ τέμνει, η διατέμνουσα, στα $\displaystyle{{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ αντίστοιχα. Σύμφωνα με το θεώρημα θα είναι
$\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{{\rm K}{\rm B}}}\frac{{{\rm B}\Lambda }}{{\Lambda \Gamma }}\frac{{{\rm M}\Gamma }}{{{\rm M}{\rm A}}} = 1}$
αντίστροφο Μενέλαου:
Αν τρία σημεία είναι δοσμένα, ένα σε κάθε φορέα πλευράς του τριγώνου, σε τρόπο ώστε αυτά τα σημεία να διαιρούν τις τρεις πλευρές σε έξι τμήματα, έτσι ώστε το γινόμενο των τριών τμημάτων που δεν είναι διαδοχικά να ισούται με το γινόμενο των άλλων τριών, τότε οι ευθείες που συνδέουν καθένα απ’ αυτά τα σημεία με την απέναντι κορυφή, διέρχονται από το ίδιο σημείο

ΘΕΩΡΗΜΑ CEVA
[Giovanni Ceva (1647-1734)]

εκφώνηση του θεωρήματος
Οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές ενός τριγώνου με δοσμένο σημείο ορίζουν πάνω στις πλευρές του τριγώνου έξι τμήματα, τέτοια ώστε το γινόμενο τριών μη διαδοχικών τμημάτων να ισούται με το γινόμενο των άλλων τριών.
π.χ. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ του επιπέδου του. Αν οι φορείς των $\displaystyle{{\rm A}{\rm M},{\rm B}{\rm M},\Gamma {\rm M}}$ τέμνουν τους φορείς των $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ , στα $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ αντίστοιχα, θα είναι
$\displaystyle{\frac{{{\rm A}\Delta }}{{\Delta {\rm B}}}\frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm E}\Gamma }}\frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{{\rm Z}{\rm A}}} = 1}$ $\displaystyle{\left( 1 \right)}$
αντίστροφο του Ceva
Αν πάνω στις πλευρές τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ πάρουμε τα σημεία $\displaystyle{{\rm A}_1 ,{\rm B}_1 ,\Gamma _1 }$ ώστε να ισχύει η σχέση $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ , τότε οι ευθείες $\displaystyle{{\rm A}{\rm A}_1 ,{\rm B}{\rm B}_1 ,\Gamma \Gamma _1 }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο

Α΄. από τη συλλογή θεμάτων με βάση Stewart- Μενέλαο-Ceva

ΑΣΚΗΣΕΙΣ STEWART

01. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Stewart να βρείτε τα μήκη των διαμέσων του, των εσωτ. διχοτόμων.
02. Δείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων της κορυφής της ορθής γωνίας, ορθογωνίου τριγώνου, από τα δύο σημεία που τριχοτομούν την υποτείνουσα, ισούται με τα $\displaystyle{\frac{5}{9}}$ του τετραγώνου της υποτείνουσας
σημείωση: μερικοί συγγραφείς αυτή την πρόταση, την ονομάζουν: θεώρημα του M. Compagnon (καθηγητή κολλεγίου Stanislas, Παρίσι).
03. Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι $\displaystyle{H,G,O,I,R,\rho }$ το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο, το περίκεντρο, το έγκεντρο, η ακτίνα του περίκυκλου και η ακτίνα του έγκυκλου. Δείξτε ότι
$\displaystyle{HI^2 + 2OI^2 = 3\left( {IG^2 + 2OG^2 } \right),3\left( {IG^2 +\frac{1}{2}HG^2 } \right) = IH^2 = 2R\left( {R - 2\rho } \right)}$
04. Σε ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , μα ευθεία διέρχεται από το $\displaystyle{{\rm A}}$ , τέμνει τη $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ στο $\displaystyle{\Delta }$ και τον περίκυκλο στο $\displaystyle{{\rm M}}$ . Δείξτε ότι
$\displaystyle{\frac{1}{{{\rm M}\Delta }} = \frac{1}{{{\rm M}{\rm B}}} + \frac{1}{{{\rm M}\Gamma }}}$
05. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } \right)}$ και μια ευθεία που διέρχεται από το $\displaystyle{\Gamma }$ και τέμνει την ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ στο $\displaystyle{\Delta }$ . Δείξτε ότι
$\displaystyle{\Gamma \Delta ^2 = {\rm B}\Delta ^2 \pm {\rm B}\Gamma ^2 \cdot {\rm A}\Delta \cdot {\rm A}{\rm B}}$
06. Αν $\displaystyle{{\rm E},{\rm Z}}$ τα σημεία τομής των ζευγών πλευρών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},\Delta \Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm B}\Gamma }$ αντίστοιχα, εγγράψιμου τετραπλεύρου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ , με $\displaystyle{{\rm O},R}$ το κέντρο και η ακτίνα του περίκυκλου, δείξτε ότι
$\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}^2 = {\rm O}{\rm E}^2 + {\rm O}{\rm Z}^2 = 2R^2 }$

ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

07. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο, τα ισοτοπικά σημεία, τριών συνευθειακών σημείων, είναι συνευθειακά
08. Αν τα ζεύγη σημείων $\displaystyle{K,K_1 }$ και $\displaystyle{\Lambda ,\Lambda _1 }$ , και $\displaystyle{{\rm M},{\rm M}_1 }$ , είναι ισοτομικά πάνω στα πλευρές $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ αντίστοιχα, τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M},{\rm K}_1\Lambda _1{\rm M}_1 }$ είναι ισοδύναμα
09. Η διάμεσος $\displaystyle{{\rm A}{\rm K}}$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{{\rm M}\Lambda }$ του συμπληρωματικού τριγώνου $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}}$ στο $\displaystyle{{\rm P}}$ και η $\displaystyle{\Gamma {\rm P}}$ τέμνει την $\displaystyle{\Gamma {\rm P}}$ στο $\displaystyle{{\rm N}}$ . Δείξτε ότι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 3{\rm A}{\rm N}}$
10. Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , μια διατέμνουσα διέρχεται από το βαρύκενρό του $\displaystyle{G}$ και τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ στα $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι
$\displaystyle{{\rm A}{\rm N} \cdot {\rm M}{\rm B} + {\rm A}{\rm M} \cdot {\rm N}\Gamma = {\rm A}{\rm M} \cdot {\rm A}{\rm N}}$
11. Δείξτε ότι δύο ορθογώνιες ευθείες Simpson είναι αντίστροφες διατέμνουσες
12. Δείξτε ότι το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα σημεία επαφής των πλευρών δοσμένου τριγώνου με τους αντίστοιχους σ’ αυτές παρεγγεγραμμένους κύκλους, είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα σημεία επαφής των πλευρών του τριγώνου με τον έγκυκλό του.
13. Δίνονται: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ δύο διατέμνουσες $\displaystyle{\left( \varepsilon \right),\left( {\varepsilon _1 } \right)}$ που τέμνουν τις $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ και $\displaystyle{{\rm K}_1 ,\Lambda _1 ,{\rm M}_1 }$ . Αν οι ευθείες $\displaystyle{\Lambda {\rm M}_1 ,{\rm M}{\rm K}_1 ,{\rm K}\Lambda }$ τέμνουν τις $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ στα $\displaystyle{{\rm X},\Upsilon ,{\rm Z}}$ δείξτε ότι τα $\displaystyle{{\rm X},\Upsilon ,{\rm Z}}$ είναι συνευθειακά.
14. Δείξτε ότι οι προβολές ενός σημείου του περίκυκλου ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου, πάνω στις πλευρές του, χωρίζει αυτές συνολικά σε οχτώ τμήματα σε τρόπο ώστε το γινόμενο τεσσάρων απ’ αυτά που δεν είναι διαδοχικά, να ισούται με το γινόμενο των υπόλοιπων τμημάτων.
15. Ένας κύκλος του οποίου το κέντρο ισαπέχει από τις κορυφές $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , κόβει τις πλευρές $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ στα ζεύγη σημείων $\displaystyle{\Delta ,\Delta _1 }$ και $\displaystyle{{\rm E},{\rm E}_1 }$ . Δείξτε ότι οι ευθείες $\displaystyle{\Delta {\rm E},\Delta _1 {\rm E}_1 }$ τέμνουν την $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ σε δύο σημεία ισοτοπικά.
16. Δύο ίσα τμήματα $\displaystyle{{\rm A}{\rm E},{\rm A}\Delta }$ βρίσκονται πάνω στις πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Δείξτε ότι η διάμεσος που περνά από το $\displaystyle{{\rm A}}$ , χωρίζει το $\displaystyle{{\rm E}\Delta }$ σε δύο τμήματα , ανάλογα των πλευρών $\displaystyle{{\rm A}\Gamma ,{\rm A}{\rm B}}$ .
17. Αν λάβουμε υπ’ όψη μας τις "συμβάσεις" που δεχθήκαμε στην περίπτωση του θεωρήματος του Stewart, στην περίπτωση της διατέμνουσας ο ένας από τους τρεις λόγους είναι αρνητικός, δηλ.
$\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{{\rm K}{\rm B}}}\frac{{{\rm B}\Lambda }}{{\Lambda \Gamma }}\frac{{{\rm M}\Gamma }}{{{\rm M}{\rm A}}} = - 1}$
18. Οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών τριγώνου τέμνουν τους φορείς των απέναντι πλευρών σε τρία συνευθειακά σημεία
19. Δύο εσωτερικές διχοτόμοι και η εξωτερική διχοτόμος της τρίτης γωνίας, τέμνουν τις απέναντι πλευρές σε τρία σημεία συνευθειακά.
20. Οι έξι διχοτόμοι (εσωτερικές-εξωτερικές) των γωνιών ενός τριγώνου ορίζουν στις απέναντι πλευρές έξι σημεία τα οποία βρίσκονται πάνω σε τέσσερις ευθείες γραμμές.
21. Οι πλευρές του ορθικού τριγώνου, τέμνουν τις πλευρές του δοσμένου τριγώνου σε τρία συνευθειακά σημεία.
22. Αν μια ευθεία τέμνει δύο πλευρές τριγώνου και είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά. η ευθεία αυτή θεωρείται ότι έχει "κοινό" σημείο, με την τρίτη πλευρά, στο άπειρο.
23. Μια ευθεία δεν μπορεί να έχει κοινά σημεία με τις τρεις πλευρές [αξίωμα κατά Pasch] (Moritz Pasch 1843-1930)
24. Kάθε ευθεία μπορεί να τέμνει: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ μόνο δύο πλευρές και την προέκταση της τρίτης ή $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ τις προεκτάσεις των τριών πλευρών του
25. Το ίχνος της διατέμνουσας πάνω στον φορέα μιας πλευράς τριγώνου, με τις κορυφές αυτής της πλευράς ορίζουν δύο ευθύγραμμα τμήματα
26. Τα έξι τμήματα που ορίζονται από τη διατέμνουσα πάνω στους φορείς των πλευρών του τριγώνου χωρίζονται σε δύο σύνολα καθ’ ένα από τα οποία περιλαμβάνει τρία όχι διαδοχικά τμήματα [δηλ. δύο απ’ αυτά τα τμήματα να μη έχουν κοινό τέλος]

CEVA ΑΣΚΗΣΕΙΣ

27. Αν θεωρήσουμε ότι τα τμήματα διαίρεσης των πλευρών είναι προσανατολισμένα τότε ο προηγούμενος τύπος (1) γράφεται
$\displaystyle{\frac{{{\rm A}\Delta }}{{\Delta {\rm B}}}\frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm E}\Gamma }}\frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{{\rm Z}{\rm A}}} = - 1}$
28. Οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τα σημεία επαφής της απέναντι πλευράς με τον εγγεγραμμένο, στο τρίγωνο, κύκλο διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{G}$ .
29. Οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τα σημεία επαφής, των απέναντι προς αυτές πλευρών, με τους αντίστοιχους παράκυκλους, διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm N}}$ .
30. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του ceva, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ οι διάμεσοί του συντρέχουν, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ οι εσωτερικές διχοτόμοι συντρέχουν, $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ τα ύψη του συντρέχουν
31. Μια ευθεία είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ και τέμνει τις $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ στα $\displaystyle{\Delta ,{\rm E}}$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι οι $\displaystyle{{\rm B}{\rm E},\Gamma \Delta }$ τέμνονται πάνω στη διάμεσο $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z}}$ .
32. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και δύο σημεία $\displaystyle{{\rm K},{\rm M}}$ . Να δειχθεί ότι οι ευθείες που συνδέουν τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ με τις τομές των $\displaystyle{\left( {{\rm K}{\rm B},{\rm M}\Gamma } \right),\left( {{\rm K}\Gamma ,{\rm M}{\rm A}} \right),\left( {{\rm K}{\rm A},{\rm M}{\rm B}} \right)}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
33. Από τις κορυφές τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ φέρουμε ευθείες παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές. Δημιουργείται, έτσι, ένα τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ . Από σημείο $\displaystyle{{\rm K}] στο εσωτερικό του \[{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ διέρχονται οι ευθείες $\displaystyle{{\rm A}{\rm K},{\rm B}{\rm K},\Gamma {\rm K}.}$ που τέμνουν τις $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,{\rm A}\Gamma ,{\rm A}{\rm B}}$ στα $\displaystyle{{\rm A}_2 {\rm B}_2 \Gamma _2 }$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι οι ευθείες $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm A}_2 ,{\rm B}_1 {\rm B}_2 ,\Gamma _1 \Gamma _2 }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
34. Αν ένα σημείο $\displaystyle{\Sigma }$ βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τα σημεία τομής $\displaystyle{\Lambda ,{\rm M},{\rm N}}$ των πλευρών $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ από τις ευθείες $\displaystyle{{\rm A}\Sigma ,{\rm B}\Sigma ,\Gamma \Sigma }$ διαιρούν αυτές τις πλευρές, εσωτερικά.
35. Αν το σημείο $\displaystyle{\Sigma }$ της άσκησης 34 βρίσκεται έξω από το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τότε ένα από τα σημεία $\displaystyle{\Lambda ,{\rm M},{\rm N}}$ χωρίζει την αντίστοιχη πλευρά εσωτερικά, και τα απομένοντα δύο σημεία χωρίζουν τις αντίστοιχες πλευρές εξωτερικά
36. Τα έξι τμήματα στα οποία τα σημεία $\displaystyle{\Lambda ,{\rm M},{\rm N}.}$ διαιρούν τις πλευρές μπορεί να χωριστούν σε δύο ομάδες κάθε μια από τις οποίες περιλαμβάνει τρία τμήματα που δεν είναι διαδοχικά

Υ.Γ. Στο σημείωμα 04, θα συνεχίσουμε με θέματα πάνω σε Stewart, Μενέλαο, Ceva

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

ykerasar · #6

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 4ο

B΄. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ STEWART, ΜΕΝΕΛΑΟΥ, CEVA [β΄ συνέχεια]

Προλεγόμενα Συνεχίζουμε με το τέταρτο σημείωμα και αναφερόμαστε στα θεωρήματα των Stewart, Μενέλαου και Ceva

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά

θεώρημα Salmon
Δίνονται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , το εφαπτομενικό του $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ (όπου $\displaystyle{{\rm A},{\rm A}_1 }$ βρίσκονται σε αντικείμενα ημιεπίπεδα που ορίζει η ευθεία $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ ) και τα ύψη $\displaystyle{{\rm A}{\rm E},{\rm A}_1 {\rm Z}}$ των τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma ,{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι $\displaystyle{\frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}{\rm A}_1 }} = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}_1 {\rm Z}}}}$

ευθεία του Gauss (F. Gauss, 1777-1855)
Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκονται τα μέσα των τριών διαγωνίων πλήρους τετραπλεύρου ονομάζεται ευθεία Gauss

θεώρημα Desargues (Gérard Desargues, 1593-1662)
Δύο τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma ,\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ είναι τέτοια ώστε οι ευθείες $\displaystyle{\Delta {\rm A},{\rm E}{\rm B},{\rm Z}\Gamma }$ να διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε τα ζεύγη πλευρών $\displaystyle{\Delta {\rm E},{\rm A}{\rm B}}$ και $\displaystyle{\Delta {\rm Z},{\rm A}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z},{\rm B}\Gamma }$ τέμνονται σε σημεία συνευθειακά. Ισχύει και το αντίστροφο
σημείωμα: από τις ιδέες του Desargues εμπνεύστηκαν οι Descartes (1596-1950), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665), La Hire (1640-1718)

ομολογικά τρίγωνα
Τα τρίγωνα που έχουν τη διάταξη των τριγώνων στο Θ. Desargues ονομάζονται ομολογικά τρίγωνα

θεώρημα Pascal (1623-1662)
Σε εξάγωνο, εγγεγραμμένο σε κύκλο, οι απέναντι πλευρές του τέμνονται σε σημεία συνευθειακά.

ευθεία Pascal
Η ευθεία του θεωρ. Pascal ονομάζεται ευθεία Pascal

θεώρημα Simson (1687-1768)-Wallace (1768-1843)
Οι ορθές προβολές τυχαίου σημείου του περίκυκλου τριγώνου, πάνω στις πλευρές του, είναι σημεία συνευθειακά.

ευθεία Simson – Wallace
Είναι η ευθεία του προηγούμενου θεωρήματος.

ομοιοθεσία δύο περιφερειών
● Δύο περιφέρειες είναι πάντα ομοιόθετες μεταξύ τους, με δύο κέντρα ομοιοθεσίας, ένα εξωτερικό και ένα εσωτερικό.
● Το εξωτερικό είναι το σημείο της διακέντρου απ’ το οποίο περνούν οι δύο εξωτερικές εφαπτόμενες των δοσμένων περιφερειών, ενώ το εσωτερικό υπάρχει μόνο αν οι δύο περιφέρειες βρίσκονται η μία έξω από την άλλη. Στη δεύτερη περίπτωση το κέντρο ομοιοθεσίας είναι το σημείο της διακέντρου απ’ το οποίο περνούν οι εσωτερικές εφαπτόμενες.
● Στην πρώτη περίπτωση ο λόγος ομοιοθεσίας είναι θετικός, ενώ στη δεύτερη αρνητικός.
● Αν $\displaystyle{{\rm M}}$ είναι το κέντρο ομοιοθεσίας και $\displaystyle{\frac{\kappa }{\lambda }}$ ο λόγος ομοιοθεσίας, αυτή την ομοιοθεσία τη συμβολίζουμε έτσι: $\displaystyle{{\rm H}\left( {{\rm M},\frac{\kappa }{\lambda }} \right)}$

ευθεία Euler
Είναι η ευθεία που συνδέει το ορθόκεντρο με το περίκεντρο

σημεία Terquem
Τα σημεία $\displaystyle{M,N}$ της άσκησης $\displaystyle{\left( {62} \right)}$ ονομάζονται σημεία Terquem.

από τη συλλογή θεμάτων με βάση Stewart- Μενέλαο-Ceva

37. Δίνονται: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ δύο τυχαία σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm P}}$ του επιπέδου τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ τα σημεία $\displaystyle{\Lambda ,{\rm Z},\Delta ,{\rm H},{\rm E},\Theta }$ με $\displaystyle{\Lambda ,{\rm Z} \in {\rm A}{\rm B},\Delta ,{\rm H} \in {\rm B}\Gamm,{\rm E},\Theta \in {\rm A}\Gamma }$ , και $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ $\displaystyle{{\rm M}\Delta \parallel {\rm P}{\rm A},{\rm M}{\rm E}\parallel {\rm P}{\rm B},{\rm M}{\rm Z}\parallel {\rm P}\Gamma ,{\rm P}{\rm H}\parallel {\rm M}{\rm A},{\rm P}\Theta \parallel {\rm M}{\rm B},{\rm P}\Lambda \parallel {\rm M}\Gamma }$ . Δείξτε ότι αν οι $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm B}{\rm E},\Gamma {\rm Z}}$ συντρέχουν, τότε και οι $\displaystyle{{\rm A}{\rm H},{\rm B}\Theta ,\Gamma \Lambda }$ συντρέχουν
38. Πεντάγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν τα ζεύγη των ευθειών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},\Gamma \Delta }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Delta {\rm E}}$ τέμνονται στα $\displaystyle{{\rm K},\Lambda }$ αντίστοιχα, δείξτε ότι η ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ και η εφαπτόμενη του περίκυκλου τέμνονται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{{\rm K}\Lambda }$ .
39. Τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν τα ζεύγη των ευθειών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},\Gamma \Delta }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,{\rm A}\Delta }$ τέμνονται στα $\displaystyle{{\rm K},\Lambda }$ αντίστοιχα, δείξτε ότι οι εφαπτόμενες του περίκυκλου στα $\displaystyle{{\rm B},\Delta }$ τέμνονται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{{\rm K}\Lambda }$ .
40. Δείξτε ότι η ευθεία κάθε πλευράς τριγώνου με την εφαπτόμενη του περίκυκλού του τέμνονται σε τρία σημεία συνευθειακά.
41. Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ αντίστοιχα. Αν οι $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm B}{\rm E},\Gamma {\rm Z}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm O}}$ , δείξτε ότι
$\displaystyle{\left. \alpha \right).\frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}\Delta }} \cdot \frac{{{\rm O}{\rm B}}}{{{\rm O}{\rm E}}} \cdot \frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}{\rm Z}}} + 2 = \frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}\Delta }} + \frac{{{\rm O}{\rm B}}}{{{\rm O}{\rm E}}} + \frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}{\rm Z}}}}$
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ Τα $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm B}{\rm E},\Gamma {\rm Z}}$ δεν μπορεί να διχοτομούνται
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ Να ορισθεί η θέση του $\displaystyle{{\rm O}}$ ώστε δύο απ’ αυτές να διχοτομούνται $\displaystyle{\left. \delta \right)}$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{{{\rm O}\Delta }}{{{\rm A}\Delta }} + \frac{{{\rm O}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}} + \frac{{{\rm O}{\rm Z}}}{{\Gamma {\rm Z}}} = 1}$
42. Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ αντίστοιχα. Αν οι $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm B}{\rm E},\Gamma {\rm Z}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ , δείξτε ότι:
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ $\displaystyle{\frac{1}{{{\rm A}{\rm M}{\rm Z}}} + \frac{1}{{{\rm B}{\rm M}\Delta }} + \frac{1}{{\Gamma {\rm M}{\rm E}}} = \frac{1}{{{\rm B}{\rm M}{\rm Z}}} + \frac{1}{{\Gamma {\rm M}\Delta }} + \frac{1}{{{\rm A}{\rm M}{\rm E}}}}$
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm M}{\rm Z}} \right) \cdot \left( {{\rm B}{\rm M}\Delta } \right) \cdot \left( {\Gamma {\rm M}{\rm E}} \right) = \left( {{\rm B}{\rm M}{\rm Z}} \right) \cdot \left( {\Gamma {\rm M}\Delta } \right) \cdot \left( {{\rm A}{\rm M}{\rm E}} \right)}$
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ Αν το $\displaystyle{\Delta }$ είναι μέσο της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ τότε $\displaystyle{\frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}\Delta }} = 2\frac{{{\rm Z}{\rm A}}}{{{\rm Z}{\rm B}}}}$
43. Αν $\displaystyle{\upsilon _\alpha ,\upsilon _\beta ,\upsilon _\gamma }$ τα ύψη τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{\rho ,\rho _\alpha ,\rho _\beta ,\rho _\gamma }$ είναι οι ακτίνες του έγκυκλου και των τριών παράκυκλων των αντίστοιχων στις πλευρές $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma }$ του τριγώνου, δείξτε: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ $\displaystyle{\frac{1}{\rho } = \frac{1}{{\upsilon _\alpha }} +\frac{1}{{\upsilon _\beta }} + \frac{1}{{\upsilon _\gamma }}}$
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{\frac{1}{{\rho _\alpha }} = - \frac{1}{{\upsilon _{_\alpha } }} +\frac{1}{{\upsilon _\beta }} + \frac{1}{{\upsilon _\gamma }}}$
44. . Θεωρούμε ότι ισχύουν οι υποθέσεις της άσκησης $\displaystyle{\left( {40} \right)}$ . Θέτουμε: $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm O}}}{{{\rm O}\Delta }} = \lambda _1 ,\frac{{{\rm B}{\rm O}}}{{{\rm O}{\rm E}}} = \lambda _2 ,\frac{{\Gamma {\rmO}}}{{{\rm O}{\rm Z}}} = \lambda _3 }$ , $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z} = \gamma _1 ,{\rm Z}{\rm B} = \gamma _2 ,{\rm B}\Delta = \alpha _1 ,\Delta \Gamma = \alpha _2 ,\Gamma {\rm E} = \beta _1 ,{\rm E}{\rm A} = \beta _2 }$ Δείξτε ότι:
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ $\displaystyle{\lambda _1 = \frac{{\gamma _1 }}{{\gamma _2 }} + \frac{{\beta _2}}{{\beta _1 }},\lambda _2 = \frac{{\alpha _1 }}{{\alpha _2 }} + \frac{{\gamma _2 }}{{\gamma _1 }},\lambda _3 = \frac{{\beta _1 }}{{\beta _2 }} + \frac{{\alpha _2 }}{{\alpha _1 }}}$
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{\frac{{\alpha _1 }}{{\alpha _2 }} = \frac{{\lambda _2 + 1}}{{\lambda _3 + 1}},\frac{{\alpha _2 }}{{\alpha _3 }} = \frac{{\lambda _3 + 1}}{{\lambda _1 + 1}},\frac{{\alpha _3 }}{{\alpha _1 }} = \frac{{\lambda _1 + 1}}{{\lambda _2 + 1}}}$
45. Δείξτε ότι οι μεσοκάθετες των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου, τέμνουν τις αντίστοιχες σ’ αυτές τις διχοτόμους πλευρές σε σημεία που είναι συνευθειακά.
46. Από το ένα σημείο τομής $\displaystyle{{\rm M}$ δύο περιφερειών (με κέντρα $\displaystyle{{\rm K},\Lambda }$ ), φέρουμε δύο, κάθετες μεταξύ τους, διατέμνουσες αυτών, οι οποίες τέμνουν τη διάκεντρο στα $\displaystyle{{\rm Z},{\rm A}}$ και τις δύο περιφέρειες στα $\displaystyle{{\rm B},{\rm E}}$ και $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι:
$\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{{\rm Z}{\rm E}}}{{{\rm Z}\Delta }}}$ \
47. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και μια διατέμνουσα αυτού $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right)}$ , η οποία τέμνει τις $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},\Gamma {\rm B}}$ στα $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ αντίστοιχα. Θεωρούμε τα συμμετρικά $\displaystyle{\Delta _1 ,{\rm E}_1 ,{\rm Z}_1 .}$ των $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ αντίστοιχα, ως προς τυχαίο σημείο $\displaystyle{{\rm K}}$ της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Δείξτε ότι οι $\displaystyle{{\rm A}\Delta _1 ,{\rm B}{\rm E}_1 {\rm ,\Gamma {\rm Z}}_{\rm 1} }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο
48. Δείξτε το θεώρ. Μενελάου όταν όλα τα σημεία τομής των πλευρών του είναι εξωτερικά αυτού.
49. Αποδείξτε το θεώρημα Simson – Wallace με τη βοήθεια του θεωρήματος του Μενέλαου.
50. Τρείς περιφέρειες λαμβανόμενες ανά δύο ορίζουν έξι κέντρα ομοιότητας, τρία εξωτερικά και τρία εσωτερικά. Δείξτε ότι τα τρία εσωτερικά είναι συνευθειακά καθώς και τα δύο εσωτερικά και ένα εξωτερικό.
51. Δίνονται τρεις χορδές $\displaystyle{{\rm A}\Delta _1 ,{\rm B}{\rm E}_1 ,\Gamma {\rm Z}_1 }$ μιας περιφέρειας $\displaystyle{\left( C \right)}$ . Αν οι $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm B}\Gamma }$ τέμνονται στο μέσο $\displaystyle{\Lambda }$ της $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}}$ και οι $\displaystyle{{\rm A}\Gamma ,{\rm B}\Delta }$ τέμνουν την $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}}$ στα $\displaystyle{ {\rm M},{\rm N}}$ αντίστοιχα, δείξτε ότι ΛΜ=ΛΝ. $\displaystyle{\Lambda {\rm M} = \Lambda {\rm N}}$
● Δείξτε, ακόμη, ότι το συμπέρασμα της άσκησης ισχύει και όταν η $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}}$ δεν διέρχεται από το $\displaystyle{\Lambda }$ , αλλά τέμνει τις $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm B}\Gamma }$ σε σημεία που ισαπέχουν από το μέσο της $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}}$ .
● Δείξτε, ακόμη, ότι οι ευθείες των πλευρών των απέναντι γωνιών εγγεγραμμένου τετραπλεύρου, αποτέμνουν ίσα τμήματα πάνω στην ευθεία που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{\Lambda }$ τομής των διαγωνίων και είναι κάθετη στην ευθεία που ορίζεται από το $\displaystyle{\Lambda }$ και το περίκεντρο του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου.
52. Αν μια ημιευθεία έχει το αρχικό της σημείο πάνω σε μια ευθεία, τότε ο φορέας της ημιευθείας έχε σημεία εκατέρωθεν της δοθείσας ευθείας [εφαρμογή: Pasch].
53. Αν μια ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τότε, αναγκαστικά, θα τέμνει και την προέκταση της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .
Αν, όμως, η $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ τέμνει την προέκταση της $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και την $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ μεταξύ των $\displaystyle{{\rm B},\Gamma }$ , τότε θα τέμνει $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ μεταξύ $\displaystyle{{\rm A},\Gamma }$ .
54.Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ αι τυχαίο σημείο $\displaystyle{{\rm E}}$ της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ . Από τα $\displaystyle{{\rm B},\Gamma }$ φέρουμε παράλληλες προς την $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ , οι οποίες τέμνουν τις προεκτάσεις των $\displaystyle{{\rm A}\Gamma ,{\rm A}{\rm B}}$ στα $\displaystyle{{\rm Z},\Delta }$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι: $\displaystyle{ \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}\Gamma }} \cdot \frac{{{\rm Z}\Gamma }}{{{\rm Z}{\rm A}}} \cdot \frac{{\Delta {\rm A}}}{{\Delta {\rm B}}} = -1}$ . Επιπλέον, διατυπώστε κι αποδείξτε το αντίστροφο.
55. Δείξτε ότι κάθε σημείο του επιπέδου ενός τριγώνου μπορεί να θεωρηθεί σαν σημείο σαν κοινό σημείο τριών ceviennes του δοσμένου τριγώνου
56. Αν τρεις ceviennes τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ τέμνουν τις $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ στα $\displaystyle{\Delta ,{\rmE},{\rm Z}}$ αντίστοιχα, δείξτε ότι τα σημεία τομής των ζευγών ευθειών $\displaystyle{{\rm A}{\rmB},{\rm E}{\rm Z}}$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Delta {\rm Z}}$ και $\displaystyle{\Gamma {\rmA},\Delta {\rm E}}$ είναι συνευθειακά
57. Δείξτε ότι σε τρεις ceviennes τριγώνου αντιστοιχούν, από τις κορυφές του, τρείς ευθείες που συναντούν τις απέναντι, των αντίστοιχων κορυφών, πλευρές σε σημεία που είναι συνευθειακά.
58. Δείξτε ότι υπάρχει απειρία τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , που έχουν δοσμένο τρίγωνο $\displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ ως ποδικό τριών ceviennes.
59. Αν $\displaystyle{{\rm A}{\rm E},{\rm B}{\rm Z},\Gamma \Delta }$ τρεις ceviennes τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , από τυχαίο σημείο $\displaystyle{{\rm K}}$ του επιπέδου του, τότε ισχύει: $\displaystyle{\frac{{{\rm K}{\rm A}}}{{{\rm K}{\rm E}}} = \frac{{\Delta {\rm A}}}{{\Delta {\rm B}}} + \frac{{{\rm Z}{\rm A}}}{{{\rm Z}\Gamma }}}$
σημείωση: Η άσκηση τούτη είναι γνωστή αι ως θεώρημα Van Aubel
60. Τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ο έγκυκλος εφάπτεται στις πλευρές $\displaystyle{ {\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ στα $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ αντίστοιχα. Πάνω στις $\displaystyle{{\rm O}\Delta ,{\rm O}{\rm E},{\rm O}{\rm Z}}$ παίρνουμε τμήματα $\displaystyle{{\rm O}\Delta _1 = {\rm O}{\rm E}_1 = {\rm O}{\rm Z}_1 }$ . Δείξτε ότι οι $\displaystyle{{\rm A}\Delta _1 ,{\rm B}{\rm E}_1 ,\Gamma {\rm Z}_1 }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
61. Πάνω στις πλευρές $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ , τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , θεωρούμε τις αντίστοιχες ορθές προβολές $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ του περικέντρου $\displaystyle{{\rm O}}$ του δοσμένου τριγώνου και πάνω στους φορείς των $\displaystyle{{\rm O}\Delta ,{\rm O}{\rm E},{\rm O}{\rm Z}}$ θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{\Delta _1 ,{\rm E}_1 ,{\rm Z}_1 }$ σε τρόπο ώστε: $\displaystyle{\frac{{{\rm O}\Delta }}{{{\rm O}\Delta _1 }} = \frac{{{\rm O}{\rm E}}}{{{\rm O}{\rm E}_1 }} = \frac{{{\rm O}{\rm Z}}}{{{\rm O}{\rm Z}_1 }}}$
Δείξτε ότι οι φορείς των $\displaystyle{{\rm A}\Delta _1 ,{\rm B}{\rm E}_1 ,\Gamma {\rm Z}_1}$ , διέρχονται από το ίδιο σημείο της ευθείας Euler αυτού.
62. Τρείς ceviennes $\displaystyle{{\rm A}{\rm E},{\rm B}{\rm Z},\Gamma \Delta }$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ διέρχονται από τυχαίο σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ . Αν η περιφέρεια που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ τέμνει τους αντίστοιχους φορείς των πλευρών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ στα $\displaystyle{\Delta _1 ,{\rm E}_1 ,{\rm Z}_1 }$ , να δείξετε ότι οι $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}_1 ,{\rm B}{\rm Z}_1 ,\Gamma \Delta _1 }$ , διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm N}}$ .
63. Σε κάθε τρίγωνο το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρό του είναι σημεία Terquem αυτού
64. Τα περίκεντρα των περιφερειών Euler των τεσσάρων τριγώνων που ορίζουν ανά τρείς οι κορυφές εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι κορυφές τετραπλεύρου όμοιου προς το δοσμένο.
65. Τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων που ορίζουν ανά τρείς οι κορυφές εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι κορυφές τετραπλεύρου ίσου προς το δοσμένο.
66. Μια ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ τέμνει τους φορείς των πλευρών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ στα $\displaystyle{\Delta ,{\rm Z},{\rm E}}$ αντίστοιχα. Από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ φέρω ευθείες παράλληλες προς την $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Αυτές οι ευθείες επανατέμνουν τον περίκυκλο $\displaystyle{\left( C \right)}$ του τριγώνου στα $\displaystyle{{\rm Z}_1 ,{\rm E}_1 ,\Delta _1 }$ . Δείξτε ότι οι $\displaystyle{\Delta \Delta _1 ,{\rm E}{\rm E}_1 ,{\rm Z}{\rm Z}_1 }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο του $\displaystyle{\left( C \right)}$ .
67. Μια ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ τέμνει τους φορείς των πλευρών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ στα $\displaystyle{\Delta ,{\rm Z},{\rm E}}$ αντίστοιχα. Από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ φέρω ευθείες παράλληλες προς την $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Αυτές οι ευθείες επανατέμνουν τον περίκυκλο $\displaystyle{\left( C \right)}$ του τριγώνου στα $\displaystyle{{\rm Z}_1 ,{\rm E}_1 ,\Delta _1 }$ . $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ οι τομές $\displaystyle{{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ αντίστοιχα των ζευγών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm Z}_1 {\rm E}_1 }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,{\rm E}_1 \Delta _1 }$ και $\displaystyle{\Gamma {\rm A},\Delta _1 {\rm Z}_1 }$ βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία κάθετη στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ Αν $\displaystyle{\Delta _2 ,{\rm Z}_2 ,{\rm E}_2 }$ οι τομές της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ με τους φορείς των $\displaystyle{{\rm Z}_1 {\rm E}_1 ,{\rm E}_1 \Delta _1 ,\Delta _1 {\rm Z}_1 }$ αντίστοιχα, δείξτε ότι οι φορείς των $\displaystyle{\Delta _2 \Gamma ,{\rm E}_2 {\rm B},{\rm Z}_2 {\rm A}}$ , τέμνονται σε σημείο $\displaystyle{{\rm M}_1 }$ του περίκυκλου $\displaystyle{\left( C \right)}$ .
68. Από τις κορυφές $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ φέρω ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, οι οποίες επανατέμνουν τον περίκυκλο $\displaystyle{\left( C \right)}$ του τριγώνου στα $\displaystyle{{\rm Z}_1 ,{\rm E}_1 ,\Delta _1 }$ αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{{\rm M}}$ ανήκει στην $\displaystyle{\left( C \right)}$ , οι ευθείες $\displaystyle{{\rm M}\Delta _1 ,{\rm M}{\rm E}_1 ,{\rm M}{\rm Z}_1 }$ τέμνουν τους φορείς των $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma ,{\rm B}\Gamma }$ αντίστοιχα στα $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ . Δείξτε ότι τα $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη της προς τις τρείς αρχικές παράλληλες.
69. Δείξτε ότι οι ευθείες που συνδέουν τα μέσα τριών (συντρεχουσών) ceviennes με τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών του δοσμένου τριγώνου, είναι συντρέχουσες.
70. Τα σημεία Gergonne και Nagel ενός τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι αντίστροφα σημεία του Longchamps

στο επόμενο 5ο ΣΗΜΕΙΩΜΑ θα ασχοληθούμε
με θέματα της ομάδας Brocard

υπομνήσεις στην άσκηση $\displaystyle{\left( {70} \right)}$
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ σημείο Gergonne: κοίτα "ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1, ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ, μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά"
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ σημεία αντίστροφα: κοίτα "ΣΗΜΕΙΩΜΑ 2, ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ, μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά"
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ σημείο Nagel: κοίτα "ΣΗΜΕΙΩΜΑ 3, ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ, μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά"
$\displaystyle{\left. \delta \right)}$ σημείο Longchamps: κοίτα "ΣΗΜΕΙΩΜΑ 3, ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ, μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά"

#7

Γιάννη, ανεκτίμητη η προσφορά σου. Μόλις τα φωτοτύπησα και θα τα δώσω σε όσους μαθητές ένδιαφέρονται για διαγωνισμούς μαθηματικών.
Σε ευχαριστούμε.
Να είσαι πάντα καλά

Ιωάννου Δημήτρης

Ιστιαία Ευβοίας.

ykerasar · #8

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 5ο

A΄. OΜΑΔΑ ΘΕΜΑΤΩΝ BROCARD [α΄ συνέχεια]

Προλεγόμενα Συνεχίζουμε με το πέμπτο σημείωμα και αναφερόμαστε στα σημεία και τους κύκλους Brocard

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά

I. ΓΙΑ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ BROCARD
και άλλα

πρώτη ομάδα επισυνημμένων κύκλων
Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ θεωρούμε:
● τον κύκλο $\displaystyle{C_{AB} }$ που διέρχεται από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και εφάπτεται της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ στο $\displaystyle{{\rm B}}$
● τον κύκλο $\displaystyle{C_{B\Gamma } }$ που διέρχεται από τα $\displaystyle{{\rm B},\Gamma }$ και εφάπτεται της $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ στο $\displaystyle{\Gamma }$
● τον κύκλο $\displaystyle{C_{A\Gamma } }$ που διέρχεται από τα $\displaystyle{{\rm A},\Gamma }$ και εφάπτεται της $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ στο $\displaystyle{{\rm A}}$
Οι κύκλοι $\displaystyle{C_{AB} }$ , $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{C_{A\Gamma } }$ θα λέμε ότι αποτελούν την πρώτη ομάδα επισυνημμένων κύκλων και θα τη σημειώνουμε με $\displaystyle{G_1 }$

δεύτερη ομάδα επισυνημμένων κύκλων
Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ θεωρούμε:
● τον κύκλο $\displaystyle{C_{\Gamma B} }$ που διέρχεται από τα $\displaystyle{\Gamma ,{\rm B}}$ και εφάπτεται της $\displaystyle{{\rm B}{\rm A}}$ στο $\displaystyle{{\rm B}}$
● τον κύκλο $\displaystyle{C_{B{\rm A}} }$ που διέρχεται από τα $\displaystyle{{\rm B},{\rm A}}$ και εφάπτεται της $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ στο $\displaystyle{{\rm A}}$
● τον κύκλο $\displaystyle{C_{\Gamma {\rm A}} }$ που διέρχεται από τα $\displaystyle{\Gamma ,{\rm A}}$ και εφάπτεται της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ στο $\displaystyle{\Gamma }$
Οι κύκλοι $\displaystyle{C_{\Gamma B} }$ , $\displaystyle{C_{B{\rm A}} }$ , $\displaystyle{C_{\Gamma {\rm A}} }$ θα λέμε ότι αποτελούν την δεύτερη ομάδα επισυνημμένων κύκλων και θα τη σημειώνουμε με $\displaystyle{G_2 }$

θεώρημα 1ο
Οι κύκλοι της ομάδας $\displaystyle{G_1 }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$

θεώρημα 2ο
Οι κύκλοι της ομάδας $\displaystyle{G_2 }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm N}}$

σημεία Brocard
τα $\displaystyle{{\rm M}}$ και $\displaystyle{{\rm N}}$ ονομάζονται πρώτο και δεύτερο σημείο Brocard αντίστοιχα.

θεώρημα 3ο
● το σημείο Μ είναι μοναδικό με την ιδιότητα:
$\displaystyle{\gamma \omega \nu {\rm M}{\rm A}{\rm B} = \gamma \omega \nu {\rm M}{\rm B}\Gamma = \gamma \omega \nu {\rm M}\Gamma {\rm A}}$

● το σημείο Ν είναι μοναδικό με την ιδιότητα:
$\displaystyle{\gamma \omega \nu {\rm N}{\rm A}\Gamma = \gamma \omega \nu {\rm N}\Gamma {\rm B} = \gamma \omega \nu {\rm N}{\rm B}{\rm A}}$

θεώρημα 4ο
τα σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ Brocard είναι ένα ζεύγος ισογώνιων σημείων του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
{ $\displaystyle{\begin{array}{l}\gamma \omega \nu {\rm M}{\rm A}{\rm B} = \gamma \omega \nu {\rm N}{\rm A}\Gamma , \\ \gamma \omega \nu {\rm M}{\rm B}\Gamma = \gamma \omega \nu {\rm N}{\rm B}{\rm A},\gamma \omega \nu {\rm M}\Gamma {\rm A} = \gamma \omega \nu {\rm N}\Gamma {\rm B} \\ \end{array}}$ }

γωνία Brocard
Η γωνία $\displaystyle{\gamma \omega \nu .{\rm M}{\rm A}{\rm B} = \gamma \omega \nu .{\rm N}{\rm A}\Gamma }$ ονομάζεται γωνία Brocard

τρίγωνο συμπληρωματικό (ή διάμεσο), αντισυμπληρωματικό
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ :
● Το τρίγωνο που έχει σαν κορυφές τα μέσα των πλευρών του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , λέγεται τρίγωνο συμπληρωματικό (ή διάμεσο) του δοσμένου
● Το τρίγωνο που ορίζεται από τις παράλληλες προς τις πλευρές του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ που αγονται από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ , λέγεται τρίγωνο αντισυμπληρωματικό του δοσμένου

κεντροϊδής τριγώνου
έτσι ονομάζεται το βαρύκεντρο τριγώνου, ιδιαίτατα στην αγγλοσαξονική βιβλιογραφία

II. ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΥΚΛΟ BROCARD

κύκλος Brocard
ο κύκλος που γράφεται με διάμετρο το ευθ. τμήμα που έχει σαν άκρα το σημείο $\displaystyle{L}$ Lemoine του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και το περίκεντρο $\displaystyle{{\rm O}}$ του ίδιου τριγώνου, ονομάζεται κύκλος Brocard του δοσμένου τριγώνου

θεώρημα 5ο
τα σημεία Brocard κάθε τριγώνου βρίσκονται πάνω στον κύκλο Brocard αυτού

θεώρημα 6ο
ο κύκλος Brocard ενός τριγώνου, είναι ομόκεντρος με τον πρώτο κύκλο Lemoine αυτού του τριγώνου

III. ΓΙΑ ΤA ΤΡΙΓΩΝΑ BROCARD
και άλλα

πρώτο τρίγωνο Brocard
οι μεσοκάθετες των πλευρών τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ξανατέμνουν τον κύκλο Brocard αυτού σε σημεία $\displaystyle{{\rm A}_1 ,{\rm B}_1 ,\Gamma _1 }$ . Το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ ονομάζεται πρώτο τρίγωνο Brocard

δεύτερο τρίγωνο Brocard
οι συμμετροδιάμεσοι $\displaystyle{{\rm A}L,{\rm B}L,\Gamma L}$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , ξανατέμνουν τον κύκλο Brocard αυτού σε σημεία $\displaystyle{{\rm A}_2 ,{\rm B}_2 ,\Gamma _2 }$ . Το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}_2 {\rm B}_2 \Gamma _2 }$ ονομάζεται δεύτερο τρίγωνο Brocard

θεώρημα 7ο
οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τις αντίστοιχες κορυφές του πρώτου τριγώνου Brocard αυτού, διέρχονται από ένα σημείο το οποίο είναι ισοτομικό του σημείου Lemoine σε σχέση με το δοσμένο τρίγωνο

θεώρημα 8ο
η κεντροϊδής τριγώνου είναι επίσης κεντροϊδής και του πρώτου τριγώνου Brocard αυτού

σημείο Steiner τριγώνου
Αποδεικνύεται ότι αν δοθούν τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και το πρώτο τρίγωνο Brocard αυτού $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ , τότε αν π.χ. φέρουμε από τα $\displaystyle{{\rm B},\Gamma }$ παράλληλες προς τις $\displaystyle{{\rm A}_1 \Gamma _1 ,{\rm A}_1 {\rm B}_1 }$ αντίστοιχα, αυτές οι παράλληλες τέμνονται σε σημείο $\displaystyle{{\rm P}}$ πάνω στον περίκυκλο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Αυτό το σημεία $\displaystyle{{\rm P}}$ ονομάζεται σημείο Steiner του δοσμένου τριγώνου

σημείο Tarry τριγώνου
Αποδεικνύεται ότι οι κάθετες που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις αντίστοιχες πλευρές του πρώτου τριγώνου Brocard αυτού, διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm T}}$ , που είναι αντιδιαμετρικό του σημείου Steiner του δοσμένου τριγώνου, στον περίκυκλο αυτού, Αυτό το σημείο ονομάζεται σημείο Tarry του δοσμένου τριγώνου

απολλώνιος κύκλος
σε κάθε τρίγωνο, ο κύκλος που γράφεται με διάμετρο τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου κάθε γωνίας του με την απέναντι αυτής πλευρά, ονομάζεται απολλώνιος κύκλος. Είναι φανερό πως κάθε τρίγωνο διαθέτει τρεις απολλώνιους κύκλους

σχήματα ευθέως και αντίστροφα όμοια
θεωρούμε δυο τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma, {\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ , τα οποία είναι τέτοια ώστε: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ οι ευθείες $\displaystyle{{\rm A}{\rm A}_1 ,{\rm B}{\rm B}_1 ,\Gamma \Gamma _1 }$ να διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm O}}$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ να είναι $\displaystyle{\frac{{{\rm O}{\rm A}_1 }}{{{\rm O}{\rm A}}} = \frac{{{\rm O}{\rm B}_1 }}{{{\rm O}{\rm B}}} = \frac{{{\rm O}\Gamma _1 }}{{{\rm O}\Gamma }}}$ , τότε αν τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}_1 } ,\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} }$ είναι ομόρροπα, τα δοσμένα τρίγωνα λέγονται ευθέως όμοια, ενώ αν είναι αντίρροπα τότε τα τρίγωνα λέγονται αντίστροφα όμοια

περιφέρεια Neuberg
η περιφέρεια του ερωτήματος $\displaystyle{\left( \beta \right)}$ της άσκησης 28, ονομάζεται περιφέρεια Neuberg

τρίγωνα équibrocardians
αναφερόμαστε στα έξι τρίγωνα σε κάθε πλευρά του τριγώνου, στο ερώτημα $\displaystyle{\left( \gamma \right)}$ της άσκησης 28, επειδή τα έξι τρίγωνα έχουν την ίδια γωνία Brocard. Αυτά τα τρίγωνα λέμε ότι είναι τρίγωνα équibrocardians

τρίγωνο αντιποδικό
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και τυχαιο σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ του επιπέδου του. Από τις κορυφές του τριγώνου φέρουμε κάθετες επι τις $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}}$ , $\displaystyle{{\rm M}{\rm B}}$ , $\displaystyle{{\rm M}\Gamma }$ , οι οποίες τέμνονται στα $\displaystyle{{\rm K},\Lambda ,\Sigma }$ . Το $\displaystyle{{\rm K}\Lambda \Sigma }$ ονομάζεται τρίγωνο αντιποδικό.

από τη συλλογή θεμάτων με βάση Brocard

01. Οι τομές του περίκυκλου τριγώνου από τις ευθείες που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με το σημείο Brocard αυτού σχηματίζουν ένα τρίγωνο congruent του δοσμένου τριγώνου
02. Δείξτε ότι: τα δύο σημεία Brocard ενός τριγώνου, ισαπέχουν από τον περίκυκλο του τριγώνου
03. Δείξτε ότι το ποδικό τρίγωνο του σημείου Brocard, είναι όμοιο προς το δοσμένο τρίγωνο
04. Αν $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 ,{\rm A}_2 {\rm B}_2 \Gamma _2 }$ το πρώτο και δεύτερο τρίγωνο Brocard τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , να δείξετε ότι
$\displaystyle{\frac{{{\rm A}\Gamma _1 }}{{{\rm A}{\rm B}_1 }} = \frac{\gamma }{\beta },\frac{{{\rm B}{\rm A}_1 }}{{{\rm B}\Gamma _1 }} = \frac{\alpha }{\gamma },\frac{{\Gamma {\rm A}_1 }}{{\Gamma {\rm B}_1 }} = \frac{\alpha }{\beta }}$
(κοίτα παραπάνω συμβολισμό, θεωρία: πρώτο και δεύτερο τρίγωνο Brocard)
05. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο:
α) ο κύκλος Brocard του τριγώνου είναι ορθογώνιος προς τους απολλώνιους κύκλους αυτού
β) ο ριζικος άξονας του κύκλου Brocard του τριγώνου και του περίκυκλού του συμπίπτει με τον άξονα Lemoine αυτού
06. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ο κύκλος Brocard αυτού εφάπτεται στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων Lemoine αυτού
07. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο το πρώτο τρίγωνο Brocard είναι αντίστροφα όμοιο του δοσμένου τριγώνου
08. Δείξτε οι κάθετες που άγονται από τα μέσα των πλευρών του πρώτου τριγώνου Brocard δοθέντος τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , επί τις αντίστοιχες πλευρές του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τέμνονται πάνω στο κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
09. Δείξτε ότι οι παράλληλες που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις αντίστοιχες πλευρές του πρώτου τριγώνου Brocard, τέμνονται πάνω στον περίκυκλο αυτού του δοσμένου τριγώνου
10. Δείξτε ότι οι κάθετες που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις αντίστοιχες πλευρές του πρώτου τριγώνου Brocard διέρχονται από το ίδιο σημείο
11. Δείξτε ότι τα αντιποδικά τρίγωνα των σημείων Brocard είναι όμοια προς το δοσμένο τρίγωνο
12. Δείξτε ότι οι κύκλοι της πρώτης ομάδας επισυνημμένων κύκλων G1 και της δεύτερης ομάδας επισυνημμένων κύκλων G2, που εφάπτονται στις δύο πλευρές μιας γωνίας (στο σημείο της κορυφής), συναντιούνται στην αντίστοιχη κορυφή του δευτέρου τριγώνου Brocard
13. Δείξτε ότι η πολική του περίκεντρου ενός τριγώνου, για τον δεύτερο κύκλο Lemoine, είναι ο ριζικός άξονας αυτού του κύκλου και του κύκλου Brocard αυτού
14. Δείξτε ότι οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές τριγώνου με τις αντίστοιχες κορυφές του πρώτου τριγώνου Brocard, διαιρεί τις αντίστοιχες πλευρές του δοσμένου τριγώνου σε αντίστροφο λόγο των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών
15. Κατασκευάστε τρίγωνο όταν γνωρίζετε τη θέση δύο πλευρών του και του σημείου Brocard αυτού
16. Δείξτε ότι τα τμήματα που συνδέουν το κοινό σημείο των συμμετροδιαμέσων με τις κορυφές του πρώτου τριγώνου Brocard, διχοτομούνται από τις αντίστοιχες διαμέσους αυτού του τριγώνου
17. Δείξτε ότι οι ευθείες που συνδέουν το κοινό σημείο $\displaystyle{{\rm K}}$ των συμμετροδιαμέσων ενός τριγώνου με το κέντρο $\displaystyle{{\rm O}_1 }$ του κύκλου των εννέα σημείων, διέρχεται από το κέντρο $\displaystyle{{\rm Z}_1 }$ του κύκλου Brocard του αντισυμπληρωματικού τριγώνου, και $\displaystyle{{\rm K}{\rm O}_1 = {\rm O}_1 {\rm Z}_1 }$
18. Δείξτε ότι το περίκεντρο $\displaystyle{{\rm O}}$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , το σημείο Lemoine $\displaystyle{L}$ του διάμεσου (ή συμπληρωματικού τριγώνου) $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ και το περίκεντρο $\displaystyle{{\rm O}_2 }$ του αντισυμπληρωματικού τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}_2 {\rm B}_2 \Gamma _2 }$ είναι συνευθειακά και ότι $\displaystyle{{\rm O}L = L{\rm O}_2 }$
19. Δείξτε ότι το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων και το περίκεντρο ενός τριγώνου, είναι το σημείο Steiner και το σημείο Tarry του πρώτου τριγώνου Brocard αυτού
20. Δείξτε ότι η ευθεία Simson του ενός από τα σημεία τομής της διαμέτρου του κύκλου Brocard, δοσμένου τριγώνου, με τον περίκυκλο αυτού του τριγώνου είναι ή παράλληλος ή κάθετος προς τη διχοτόμο της γωνίας που ορίζεται από μια πλευρά του δοσμένου τριγώνου και την αντίστοιχη πλευρά του πρώτου τριγώνου Brocard
21. Δικαιολογείστε γιατί:
● οι μεσοκάθετες των πλευρών τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ τέμνουν τον κύκλο Brocard αυτού
● οι συμμετροδιάμεσοι τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τέμνουν τον κύκλο Brocard
● τα δύο τρίγωνα Brocard του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι εγγεγραμμένα στον κύκλο Brocard
22. Δίνονται: τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , το περίκεντρό του $\displaystyle{{\rm O},\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ το πρώτο τρίγωνο Brocard αυτού και L το σημείο Lemoine αυτού. Δείξτε ότι $\displaystyle{\left. 1 \right)}$ τα ισοσκελή τρίγωνα $\displaystyle{{\rm B}\Delta \Gamma ,\Gamma {\rm E}{\rm A},{\rm A}{\rm Z}{\rm B}}$ είναι όμοια μεταξύ τους, $\displaystyle{\left. 2 \right)}$ $\displaystyle{{\rm A}{\rm E},{\rm B}{\rm Z},\Gamma \Delta }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο, $\displaystyle{\left. 3 \right)}$ το πρώτο τρίγωνο Brocard είναι όμοιο προς το δοσμένο τρίγωνο αναφοράς $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
23. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και το πρώτο τρίγωνο Brocard, $\displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ , αυτού. Δείξτε ότι οι ευθείες $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm B}{\rm E},\Gamma {\rm Z}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο
24. Μπορείτε να απαριθμήσετε 10 αξιοσημειωτα σημεια πανω στον κύκλο Brocard αυτού;
25. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο τα σημεία Brocard αυτού είναι συμμετρικά ως προς τη διάμετρο του κύκλου αυτού
26. Τα συμμετρικα, των επισυνημμένων κυκλων, της πρωτης και δευτερης ομάδας ως προς τις αντίστοιχες πλευρές του δοσμένου τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημειο
27. Ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ μεταβάλλεται σε τρόπο ώστε: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ μένει όμοιο στον εαυτό του, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ μία από τις ίσες πλευρές του, η $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ να διέρχεται από σταθερό σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ , $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ η βάση του $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ είναι πάντοτε χορδή δοσμένου κύκλου $\displaystyle{\left( {{\rm O},R} \right)}$ . Δείξτε ότι και η δεύτερη ίση πλευρά διέρχεται από άλλο σταθερό σημείο
28. Δίνονται δύο τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma ,{\rm M}{\rm N}{\rm P}}$ . Πάνω σε κάθε πλευρά του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και πάντα προς το εσωτερικό ή πάντα προς το εξωτερικό αυτού κατασκευάζουμε τρίγωνα ισογώνια προς το $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}{\rm P}}$ . Σε κάθε πλευρά του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ κατασκευάζονται έξι τέτοια τρίγωνα. Δείξτε: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τον τρόπο κατασκευής αυτών των έξι τριγώνων, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ οι τρίτες κορυφές των έξι τριγώνων που δεν συμπίπτουν με τις $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ είναι ομοκυκλικές, $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ τα έξι τρίγωνα έχουν την ίδια γωνία Brocard
29. Σε τριγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , με $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ σημειώνουμε το πρώτο και δεύτερο σημείο Brocard αυτου. Δείξτε ότι: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm M}\Gamma {\rm A},{\rm N}{\rm B}{\rm A}}$ είναι όμοια, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm M}}}{{{\rm A}{\rm N}}} = \frac{\beta }{\gamma }}$ , $\displaystyle{\left. \gamma \right){\rm M}{\rm B} \cdot \Gamma {\rm N} = \Gamma {\rm M} \cdot {\rm A}{\rm N} = {\rm A}{\rm M} \cdot {\rm B}{\rm N}}$ , $\displaystyle{\left. \delta \right)}$ $\displaystyle{\gamma \cdot \Gamma {\rm M} = \beta \cdot {\rm B}{\rm N}}$ , $\displaystyle{\left. \varepsilon \right)}$ $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm M}} \right):\left( {{\rm B}{\rm M}} \right):\left( {\Gamma {\rm M}} \right) = \left( {\beta :\alpha } \right):\left( {\gamma :\beta } \right):\left( {\alpha :\gamma } \right)}$
30. Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν δίνεται το πρώτο τρίγωνο Brocard αυτού (το γνωρίζουμε, δηλ., κατά θέση και μέγεθος)

Στο επόμενο σημείωμα $\displaystyle{\left( {6^o } \right)}$ , θα συνεχίσουμε με θέματα και παρατηρήσεις πάνω στο θέμα BROCARD

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

ykerasar · #9

ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ: για καθαρά τεχνικούς λόγους που αφορούν την εγκυρότητα του 6ου σημειώματος, θα καθυστερήσει η ανάρτησή του. Ως τότε προτείνω ένα θέμα που, κατά κύριο λόγο, αφορά εύρεση διαστημάτων.

Σε ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ πλευράς $\displaystyle{\alpha }$ , ένας κύκλος $\displaystyle{C}$ , μεταβάλλεται μένοντας πάντα εφαπτόμενος στο μέσο $\displaystyle{{\rm T}}$ της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ και τέμνοντας τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ στα $\displaystyle{{\rm M},{\rm P}}$ και $\displaystyle{{\rm N},{\rm K}}$ αντίστοιχα, σε τρόπο ώστε $\displaystyle{{\rm A}{\rm N} < {\rm A}{\rm M}}$ :

1. α. Σε ποιο διάστημα μεταβάλλεται η ακτίνα του $\displaystyle{C}$
β. Προσδιορίστε το σύνολο των θέσεων που παίρνουν τα σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$

2. α. Δείξτε ότι η $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}}$ παραμένει σε σταθερή απόσταση από το $\displaystyle{{\rm T}}$
β. Δείξτε ότι η περίμετρος του $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}{\rm N}}$ μένει σταθερή

3. πάνω στην ευθεία $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}}$ θεωρούμε τις προεκτάσεις του ευθ. τμήματος $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}}$ , την $\displaystyle{{\rm M}{\rm E} = {\rm M}{\rm A}}$ και την $\displaystyle{{\rm N}{\rm Z} = {\rm N}{\rm A}}$ .
Να βρεθεί το σύνολο των θέσεων που παίρνει καθένα από τα σημεία $\displaystyle{{\rm E},{\rm Z}}$ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: το θέμα δανείστηκα από το "L’ ÉDUCATION MATHÉMATIQUE" του έτους 1963

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

ykerasar · #10

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 6ο

Β΄ ΟΜΑΔΑ ΘΕΜΑΤΩΝ BROCARD [β΄ συνέχεια]

Προλεγόμενα αγαπητοί συνάδελφοι, σας ζητώ συγνώμη για την καθυστερημένη ανάρτηση του 6ου ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΟΣ. Οφείλεται σε ατυχή χειρισμό, από μέρους μου, του υπολογιστή ("χάθηκε" μια σειρά κειμένων, μερικά των οποίων ανακτήθηκαν ημικατεστραμμένα). Αναρτούμε επί τέλους το 6ο ΣΗΜΕΙΩΜΑ, έστω και ελλιπές. Λόγω πιεστικών υποχρεώσεών μας, το 7ο ΣΗΜΕΙΩΜΑ, θα αναρτηθεί περί το τέλος του Σεπτέμβρη.

ΠΡΟΣΟΧΗ! Στις επισυνημμένες οδηγίες στο σχήμα "ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΥΚΛΟΥ, ΤΡΙΓΩΝΩΝ BROCARD", από αβλεψία μας γράφεται " $\displaystyle{{\rm A}_2 {\rm B}_2 G_2 }$ δεύτερο τρίγωνο Brocard" αντί του ορθού " $\displaystyle{{\rm A}_2 {\rm B}_2 \Gamma _2 }$ δεύτερο τρίγωνο Brocard"

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά

Τρίγωνα éqibrocardiens (εκιμπροκαρντιάν) αν δύο τρίγωνα έχουν την ίδια γωνία Brocard λέγονται τρίγωνα éqibrocardiens

επισυνημμένος κύκλος Κάθε κύκλος που διέρχεται από δύο κορυφές ενός τριγώνου και εφάπτεται σε μια από τις άλλες δύο πλευρές του, ονομάζεται επισυνημμένος κύκλος του τριγώνου

επισυνημμένος κύκλος $\displaystyle{C_{AB} }$ Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Ο κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και εφάπτεται στην $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm A}}$ είναι ένας επισυνημμένος κύκλος $\displaystyle{C_{AB} }$ . Επίσης ο κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ και εφάπτεται στην $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm A}}$ είναι ένας επισυνημμένος κύκλος $\displaystyle{C_{A\Gamma } }$ . Δηλ. έχουμε για κάθε κορυφή δύο επισυνημμένους κύκλους

υπόδειξη Η γνώμη μας είναι πως, πριν προχωρήσετε στη διαπραγμάτευση των θεμάτων που ακολουθούν, θα πρέπει να δείτε α) τα θέματα θεωρίας του προηγούμενου σημειώματος (5ο ΣΗΜΕΙΩΜΑ), β) τις επισυνημμένες διευκρινίσεις των σχημάτων του παρόντος σημειώματος (6ο ΣΗΜΕΙΩΜΑ)

από τη συλλογή θεμάτων με βάση τον Brocard

01 Τα σημεία $\displaystyle{{\rm A}_2 ,{\rm B}_2 ,\Gamma _2 }$ , είναι τα άλλα τρία βασικά σημεία (pivots), τα οποία μαζί με τα $\displaystyle{{\rm O},{\rm M},{\rm N}}$ , δίνουν τα όμοια εγγεγραμμένα τρίγωνα στο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
02 Δείξετε ότι ο κύκλος Brocard είναι περίκυκλος των δύο τριγώνων Brocard
03 Αν $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ το πρώτο τρίγωνο Brocard, δείξτε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}_1 \Gamma ,{\rm B}\Gamma _1 {\rm A},\Gamma {\rm A}_1 {\rm B}}$ είναι τρία όμοια ισοσκελή τρίγωνα
04 Αν $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ το πρώτο τρίγωνο Brocard, δείξτε ότι οι $\displaystyle{{\rm A}\Gamma _1 ,{\rm B}{\rm A}_1 ,\Gamma {\rm B}_1 }$ συντρέχουν στο πρώτο σημείο $\displaystyle{G_1 }$ Brocard του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
05 Αν $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ το πρώτο τρίγωνο Brocard, δείξτε ότι οι $\displaystyle{{\rm A}{\rm A}_1 ,{\rm B}{\rm B}_1 ,\Gamma \Gamma _1 }$ συντρέχουν σε ένα σημείο $\displaystyle{L_1 }$ , το οποίο είναι ισοτομικό του σημείου Lemoine
06 Αν $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ το πρώτο τρίγωνο Brocard, δείξτε ότι οι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}_1 ,{\rm B}\Gamma _1 ,\Gamma {\rm A}_1 }$ συντρέχουν στο δεύτερο σημείο $\displaystyle{G_2 }$ Brocard του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma}$
07 Δείξτε ότι το πρώτο τρίγωνο Brocard είναι όμοιο προς το τρίγωνο αναφοράς $\displaystyle{ {\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$
08 Δείξτε ότι τα σημεία Brocard τριγώνου είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που ορίζεται από το σημείο $\displaystyle{L}$ Lemoine και το περίκεντρο $\displaystyle{{\rm O}}$ του τριγώνου αναφοράς
09 Δείξτε ότι η κορυφή $\displaystyle{{\rm A}_2 }$ του δευτέρου τριγώνου Brocard βρίσκεται πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου $\displaystyle{{\rm B}{\rm O}\Gamma }$
10 Δείξτε ότι η κορυφή $\displaystyle{{\rm A}_2 }$ του δευτέρου τριγώνου Brocard βρίσκεται πάνω στην τομή των επισυνημμένων κύκλων της κορυφής $\displaystyle{{\rm A}}$ [δηλ. τους $\displaystyle{\left[ {δηλ. τους κύκλους C_{AB} ,C_{A\Gamma } } \right]}$ ]
11 Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Δείξτε ότι οι γωνιαίες συντεταγμένες της κορυφής $\displaystyle{{\rm A}_2 }$ του δευτέρου τριγώνου Brοcard είναι $\displaystyle{\left( {2{\rm A},\pi - {\rm A},\pi - {\rm A}} \right)}$ . Για την κορυφή $\displaystyle{{\rm B}_2 }$ έχουμε: $\displaystyle{\left( {2{\rm B},\pi - {\rm B},\pi - {\rm B}} \right)}$ . Για την κορυφή $\displaystyle{\Gamma _2 }$ έχουμε: $\displaystyle{\left( {2\Gamma ,\pi - \Gamma ,\pi - \Gamma } \right)}$
12 Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Δείξτε ότι η ευθεία που ορίζεται από το περίκεντρο $\displaystyle{{\rm O}}$ του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και την κορυφή $\displaystyle{{\rm A}_2 }$ του δευτέρου τριγώνου Brocard, διέρχεται από το κέντρο του απολλώνιου κύκλου, του αντίστοιχου της πλευράς $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .
13 Δείξτε ότι τα ποδικά τρίγωνα των δύο σημείων Brocard είναι όμοια προς το τρίγωνο αναφοράς
14 Δείξτε ότι ο κύκλος Brocard διχοτομεί τις συμμετροδιαμέσους του τριγώνου αναφοράς
15 Αν $\displaystyle{{\rm A}_3 ,{\rm B}_3 ,\Gamma _3 }$ ισογώνια σημεία των κορυφών $\displaystyle{ {\rm A}_2 ,{\rm B}_2 ,\Gamma _2 }$ , αντίστοιχα, του δευτέρου τριγώνου Brocard [ως προς τις πλευρές των γωνιών του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ], να δείξετε ότι: οι γωνιαίες συντεταγμένες του $\displaystyle{{\rm A}_3 }$ είναι $\displaystyle{\left( {\pi - {\rm A},\pi - {\rm B},\pi - \Gamma } \right)}$ , του $\displaystyle{{\rm B}_3 }$ είναι (π-Γ, π-Β,π-Α), του $\displaystyle{\Gamma _3 }$ είναι $\displaystyle{\left( {\pi - {\rm B},\pi - {\rm A},\pi - \Gamma } \right)}$
16 Δείξτε ότι τα σημεία $\displaystyle{{\rm A}_3 ,{\rm B}_3 ,\Gamma _3 }$ βρίσκονται πάνω στις διαμέσους του τριγώνου αναφοράς

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

ykerasar · #11

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 7ο

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΩ ΣΤΟ "σχήμα VECTEN"

προλεγόμενα Στις 4 του περασμένου Ιούνη (2013), αναρτώντας το "6ο Σημείωμα", είχαμε υποσχεθεί πως περί το δεύτερο δεκαήμερο του Σεπτέμβρη, θα αναρτήσουμε το "7ο Σημείωμα". Παρακάτω, παραθέτουμε ορισμένα θέματα από το αποκαλούμενο "σχήμα VECTEN". Πάνω στο "σχήμα VECTEN" υπάρχουν δύο εκδοχές: πρώτη εκδοχή, κατά την οποία πάνω στις πλευρές του τριγώνου αναφοράς κατασκευάζουμε τετράγωνα. Υπάρχει και μια άλλη εκδοχή, σύμφωνα με την οποία πάνω στις πλευρές κατασκευάζουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα και όχι τετράγωνα. Για την ιστορία του θέματος (για ενημέρωση των συλλεκτών) αναφέρουμε πως πάνω στο σχήμα VECTEN είχαμε σημειώσει 82 προτάσεις (συλλογή την εποχή των φροντιστηρίων), όμως χάρις στις…"ενέργειες" κάποιου, στον οποίο δανείσαμε αυτές τις σημειώσεις, οι 82 προτάσεις έγιναν 24 (!!...).

υποθέσεις: Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Πάνω στις πλευρές του και προς το εξωτερικό αυτού, κατασκευάζουμε τετράγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta {\rm E},{\rm B}\Gamma {\rm Z}\Theta ,{\rm A}\Gamma {\rm H}{\rm I}}$ , τα οποία έχουν σαν κέντρα τα σημεία $\displaystyle{\Gamma _1 ,{\rm A}_1 ,{\rm B}_1 }$ αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε, επίσης, τα παρ/μα $\displaystyle{{\rm H}\Gamma {\rm Z}\Upsilon ,{\rm E}{\rm A}\Delta _2 {\rm Z}_2 }$ . Φέρουμε τα ύψη $\displaystyle{{\rm A}{\rm K},{\rm B}\Lambda ,\Gamma {\rm M}}$ του δοσμένου τριγώνου, θέτουμε $\displaystyle{\left. i\right)}$ $\displaystyle{{\rm A}\Theta \cap \Gamma \Delta = \Pi ,{\rm A}{\rm Z} \cap {\rm B}_1 {\rm H} = {\rm T},{\rm B}{\rm I} \cap \Gamma {\rm E} = \Sigma }$ $\displaystyle{\left. {ii} \right)}$ $\displaystyle{{\rm X},\Lambda _2 ,\Omega _1 }$ τα μέσα των ευθ. τμήμ. $\displaystyle{{\rm H}{\rm Z},{\rm A}{\rm B},{\rm I}{\rm E}}$ αντίστοιχα $\displaystyle{\left. {iii} \right)}$ $\displaystyle{\Theta _2 }$ την προβολή του $\displaystyle{\Gamma }$ στην $\displaystyle{{\rm H}{\rm Z}}$ , $\displaystyle{\left. {iv} \right)}$ προεκτείνουμε: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ το ύψος $\displaystyle{{\rm A}{\rm K}}$ κατά τμήμα $\displaystyle{{\rm K}\Delta _2 }$ ώστε $\displaystyle{{\rm A}\Delta _2 = {\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ Προεκτείνουμε τη διάμεσο $\displaystyle{\Gamma \Lambda _2 }$ κατά τμήμα $\displaystyle{\Lambda _2 {\rm H}_2 = \Gamma \Lambda _2 }$ . Σημειώνουμε με $\displaystyle{{\rm O},{\rm N},{\rm P}}$ τα σημεία τομής των ζευγών $\displaystyle{\Gamma {\rm E},{\rm B}\Lambda }$ και $\displaystyle{{\rm B}{\rm H},\Gamma \Delta }$ και $\displaystyle{{\rm B}{\rm I},{\rm A}\Theta }$ αντίστοιχα.
Δείξτε ότι ισχύουν τα παρακάτω

: VECTEN I [01-09].png (223.57 KiB) Προβλήθηκε 5458 φορές

01. $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ οι $\displaystyle{{\rm A}\Theta ,{\rm B}{\rm I}}$ τέμνονται στο $\displaystyle{\Gamma {\rm M}}$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ οι $\displaystyle{{\rm B}{\rm H},\Gamma \Delta }$ τέμνονται στο $\displaystyle{{\rm A}{\rm K}}$ , $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ οι $\displaystyle{\Gamma {\rm E},{\rm A}{\rm Z}}$ τέμνονται το $\displaystyle{{\rm B}\Lambda }$
02. Δείξτε ότι, $\displaystyle{\Gamma \Delta \bot = {\rm A}\Theta ,{\rm A}{\rm Z} \bot = {\rm B}{\rm H},{\rm B}{\rm I} \bot = \Gamma {\rm E}}$
03. Οι $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z},{\rm I}\Theta ,{\rm H}\Delta }$ $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ διέρχονται από τα σημεία $\displaystyle{\Pi ,{\rm T},\Sigma }$ αντίστοιχα, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ διχοτομούν τις γωνίες που σχηματίζουν σ’ αυτά τα σημεία οι προηγούμενες ευθείες
04. $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ ευθείες $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z},{\rm B}{\rm H},\Theta {\rm I}}$ διέρχονται από το σημείο $\displaystyle{{\rm T}}$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{{\rm A}\Sigma \bot \Delta {\rm H},\Gamma {\rm T} \bot \Theta {\rm I},{\rm B}\Pi \bot {\rm E}{\rm Z}}$ , $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ οι $\displaystyle{{\rm A}\Sigma ,\Gamma {\rm T},{\rm B}\Pi }$ διέρχονται από τα κέντρα $\displaystyle{{\rm A}_1 ,\Gamma _1 ,{\rm B}_1 }$ των τετραγώνων, αντίστοιχα
05. Τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}{\rm I},{\rm B}\Delta \Theta ,{\rm Z}\Gamma {\rm H},{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ισεμβαδικά
06. Ισύει $\displaystyle{{\rm E}{\rm I}^2 + \Delta \Theta ^2 + {\rm H}{\rm Z}^2 = 3\left( {\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 } \right)}$
07. Δείξτε ότι $\displaystyle{{\rm A}{\rm A}_1 \bot = {\rm B}_1 \Gamma _1 ,{\rm B}{\rm B}_1 \bot = {\rm A}_1 \Gamma _1 ,\Gamma \Gamma _1 \bot = {\rm A}_1 {\rm B}_1 }$
08. Οι ευθείες $\displaystyle{{\rm A}{\rm A}_1 ,{\rm B}{\rm I},\Gamma {\rm E},\Delta {\rm H}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{\Sigma }$ .
09 Οι $\displaystyle{{\rm A}{\rm A}_1 ,{\rm B}{\rm B}_1 \Gamma \Gamma _1 }$ : $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ συντρέχουν στο $\displaystyle{V}$ (σημείο Vecten), $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ το $\displaystyle{V}$ είναι ορθόκεντρο του $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$
10. $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ Δείξτε ότι η ευθεία του ύψους $\displaystyle{\Gamma {\rm M}}$ διέρχεται από το μέσο $\displaystyle{{\rm X}}$ του ευθ. τμήματος $\displaystyle{{\rm H}{\rm Z}}$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ Δείξτε ότι η $\displaystyle{{\rm H}{\rm Z}}$ είναι κάθετη προς την διάμεσο $\displaystyle{\mu _\gamma }$ της πλευράς $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και ίση με το διπλάσιο αυτής. Δηλ. $\displaystyle{{\rm H}{\rm Z} \bot = 2\mu _\gamma }$
11. Θεωρούμε το παρ/μο $\displaystyle{{\rm H}\Gamma {\rm Z}\Upsilon }$ . Δείξτε ότι $\displaystyle{{\rm A}\Upsilon \bot = {\rm B}{\rm I}}$ . Επίσης δείξτε ότι: $\displaystyle{{\rm B}\Upsilon \bot = {\rm A}\Theta }$ . Αν, με βάση τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm I}{\rm A}{\rm E},{\rm B}\Delta \Theta }$ κάνουμε αντίστοιχες κατασκευές, θα ισχύουν παρόμοια συμπεράσματα.
12. Να κατασκευάσετε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , όταν γνωρίζουμε τα κέντρα των τετραγώνων, τα οποία κατασκευάζονται πάνω στις πλευρές του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ (να εξεταστεί μόνο η περίπτωση που τα τετράγωνα βρίσκονται προς το εξωτερικό του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ) [1880, J. Neuberg]
13. Ανάλογο πρόβλημα έχουμε αν πάνω στις πλευρές του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ κατασκευάσουμε ισόπλευρα τρίγωνα: Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ αν γνωρίζουμε τα κέντρα των ισοπλεύρων τριγώνων που κατασκευάζονται πάνω στις πλευρές του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . (να εξεταστεί μόνο η περίπτωση που τα τρίγωνα βρίσκονται προς το εξωτερικό του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ) [1868, Émile Lemoine]
14. Αν $\displaystyle{{\rm M}_2 }$ το μέσο του $\displaystyle{{\rm I}\Theta }$ δείξτε ότι: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ το $\displaystyle{{\rm M}_2 }$ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από τη θέση της κορυφής $\displaystyle{{\rm A}}$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ είναι $\displaystyle{{\rm H}{\rm M}_2 {\rm Z} = {\rm A}{\rm M}_2 {\rm B} = 90^o }$ , $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}_2 {\rm B},{\rm H}{\rm M}_2 {\rm Z}}$ είναι ισοσκελή, $\displaystyle{\left. \delta \right)}$ το $\displaystyle{{\rm M}_2 }$ είναι κέντρο των τετραγώνων που κατασκευάζονται με πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm H}{\rm Z}}$ αντίστοιχα (προς το εσωτερικό του τριγώνου αναφοράς $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ )
15. Αν το Τρίγωνο αναφοράς είναι ορθογώνιο στο $\displaystyle{{\rm A}}$ , τότε το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του εξαγώνου $\displaystyle{{\rm I}{\rm E}\Delta \Theta {\rm Z}{\rm H}}$ , ισούται με το οκταπλάσιο του τετραγώνου της υποτείνουσας.
16. Στις πλευρές $\displaystyle{{\rm B}{\rm A},{\rm B}\Gamma }$ ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ $\displaystyle{\left( {{\rm A} = 90^o } \right)}$ , φέρουμε ευθ. τμήματα: $\displaystyle{{\rm B}{\rm A}_1 \bot = {\rm B}{\rm A},{\rm B}\Gamma _1 \bot = {\rm B}\Gamma }$ αντίστοιχα (προς το μέρος της ευθείας $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ προς το οποίο δεν βρίσκεται το $\displaystyle{{\rm A}}$ ). Αν $\displaystyle{{\rm M}}$ το μέσο του $\displaystyle{{\rm A}\Gamma _1 }$ , τότε $\displaystyle{{\rm B}{\rm M} \bot = \Gamma {\rm A}_1 }$ .
17. Πάνω στις πλευρές τετραπλεύρου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ , και προς το εξωτερικό αυτού, κατασκευάζουμε τετράγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm E}{\rm Z},{\rm B}\Gamma {\rm H}\Theta ,\Gamma \Delta {\rm K}\Lambda ,\Delta {\rm A}{\rm M}{\rm N}}$ . Αν $\displaystyle{\Pi ,{\rm P}}$ τα μέσα $\displaystyle{{\rm M}\Lambda ,{\rm Z}{\rm H}}$ αντίστοιχα, τότε το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}\Pi \Gamma {\rm P}}$ είναι τετράγωνο.
18.Πάνω στις πλευρές κυρτού τετραπλεύρου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ κατασκευάζουμε προς το εξωτερικό αυτού ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα (με υποτείνουσες τις πλευρές του τετραπλεύρου), $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Phi ,{\rm B}\Gamma {\rm T},\Gamma \Delta {\rm I},{\rm A}\Delta\Sigma }$ . Δείξτε ότι οι $\displaystyle{\Delta {\rm Z},{\rm E}\Theta }$ είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους [E. Collignon, 1891]
19. Θεωρούμε την ακολουθία των τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 ,{\rm A}_2 {\rm B}_2 \Gamma _2 ,{\rm A}_3 {\rm B}_3 \Gamma _3 ,...,{\rm A}_\nu {\rm B}_\nu \Gamma _\nu }$ με $\displaystyle{\nu \in {\rm N}^* }$ . Καθένα από τα τρίγωνα αυτά είναι οξυγώνιο και έχει το επόμενό του ως ορθικό. $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ να υπολογισθούν οι γωνίες του $\displaystyle{{\rm A}_\nu {\rm B}_\nu \Gamma _\nu }$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ να δειχθεί ότι όταν $\displaystyle{\nu \to + \infty }$ τότε: $\displaystyle{{\rm A}_\nu \to 60^o ,{\rm B}_\nu \to 60^o ,\Gamma _\nu \to 60^o }$ [Jean Gaston Darboux]
20.Πάνω στις πλευρές τυχαίου τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ κατασκευάζουμε τετράγωνα (πάντα προς το εξωτερικό ή προς το εσωτερικό αυτού). Αν ενώσουμε τα κέντρα τους, σχηματίζεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ . Εάν επαναλάβουμε την ίδια κατασκευή πάνω στις πλευρές του $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ , παίρνουμε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}_2 {\rm B}_2 \Gamma _2 }$ . Αν συνεχίσουμε θα πάρουμε μια ακολουθία τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}_i {\rm B}_i \Gamma _i ,i = 1,2,3,...,\nu }$ . Δείξτε ότι αυτή η ακολουθία τριγώνων έχει σαν όριο ένα ισόπλευρο τρίγωνο, οποιοδήποτε κι αν είναι το αρχικό τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ .
21. Δείξτε ότι: $\displaystyle{\begin{array}{l}{\rm A}_1 {\rm B}_1 = \frac{{\sqrt {\left( {{\rm A}{\rm M} - {\rm B}{\rm M}} \right)^2 + \left( {\gamma + 2\upsilon _\gamma } \right)^2 } }}{2}, \\ {\rm A}_1 \Gamma _1 = \frac{{\sqrt {\left( {{\rm A}\Lambda - \Gamma \Lambda } \right)^2 + \left( {\beta + 2\upsilon _\beta } \right)^2 } }}{2}, {\rm B}_1 \Gamma _1 = \frac{{\sqrt {\left( {\Gamma {\rm K} - {\rm B}{\rm K}} \right)^2 + \left( {\alpha + 2\upsilon _\alpha } \right)^2 } }}{2} \\ \end{array}}$
22.Αν $\displaystyle{{\rm O}_\alpha ,{\rm O}_\beta ,{\rm O}_\gamma }$ τα περίκεντρα των τριγώνων $\displaystyle{{\rm I}{\rm A}{\rm E},\Delta {\rm B}\Theta ,{\rm Z}\Gamma {\rm H}}$ αντίστοιχα, οι $\displaystyle{{\rm O}_\alpha {\rm A},{\rm O}_\beta {\rm B},{\rm O}_\gamma \Gamma }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm K}_1 }$
23.Αν $\displaystyle{{\rm O}_\alpha ,{\rm O}_\beta ,{\rm O}_\gamma }$ τα περίκεντρα των τριγώνων $\displaystyle{{\rm I}{\rm A}{\rm E},\Delta {\rm B}\Theta ,{\rm Z}\Gamma {\rm H}}$ αντίστοιχα, τότε το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm O}_\alpha {\rm O}_\beta {\rm O}_\gamma }$ είναι ομοιόθετο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ με κέντρο ομοιοθεσίας το $\displaystyle{{\rm K}_1}$
24.Αν προεκτείνουμε τις εξωτερικές πλευρές των τριών τετραγώνων, σχηματίζεται ένα τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}_3 {\rm B}_3 \Gamma _3 }$ , το οποίο: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ είναι ομοιόθετο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ κέντρο ομοιοθεσίας είναι το σημείο $\displaystyle{{\rm K}_1 }$

προαγγελία: στο επόμενο, σημείωμα 8, θα ασχληθούμε με θέματα πάνω στη συλλογή Euler

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

S.E.Louridas · #12

S.E.Louridas έγραψε:Γιάννη,
επίτρεψε μου να έχω άποψη για το πόσο Άριστος Μαθηματικός, αλλά και Γεωμέτρης είσαι. Πράγματι είναι γεγονός ότι τα "πέτρινα" χρόνια για την Πατρίδα και αμέσως μετά, που ήταν ταυτόχρονα Μαθηματικά και προ πάντων Γεωμετρικά χρόνια με δύσκολα θέματα εσύ μεσουράνησες και ως Μαθηματικός - Γεωμέτρης. Το πρωί αγώνας για την απελευθέρωση με διωγμούς και το βράδυ δάσκαλος που στάθηκε απόλυτα ίσος προς ίσον δίπλα σε ονόματα, όπως του Πάλλα, του Ντάνη και άλλων μεγάλων της εποχής.

Προσωπικά ευχαριστώ για μία ακόμη φορά τον Γιάννη Κερασαρίδη για την προσφορά του σε όλους εμάς στην Γεωμετρία και από εδώ από το mathematica που θεωρώ ότι θα συνεχιστεί, αλλά ταυτόχρονα επειδή αποτελεί παράδειγμα αγωνιστή που παραμένει σταθερός και με θάρρος στις αξίες και τα πιστεύω του.

mathxl · #13

Ευχαριστώ πολύ

, πέφτω και παίρνω κάμψεις μέχρι να ακούσω "σταμάτα". Περιμένω να ολοκληρωθεί για να το αντιγράψω.

#14

Γιάννη, για μια ακόμα φορά,

ykerasar · #15

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 8

προλεγόμενα με το παρόν σημείωμα προτείνουμε 46 θέματα-ερωτήματα πάνω στο σύστημα Euler. Εν καιρώ θα παρουσιάσουμε μια πρόταση που είχε διατυπώσει ο γράφων, την εποχή που "ονειρευόταν" μια "συνάντηση με την θεόμορφη Γεωμετρία". Η πρότασή μας αυτή, δημοσιεύτηκε (σαν μέρος μιας αρθρωτής πρότασης) στο βιβλίο «ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ» του μέγιστου Έλληνα γεωμέτρη Γρηγόρη Αλτιμήση

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά

διασάφηση 01 Εδώ χρειάζεται μια σύντομη διευκρίνιση σχετικά με την ονομασία αυτού του κύκλου. Τον κύκλο αυτό, ως γνωστόν, ονομάζουμε "κύκλο Euler" ή "περιφέρεια Euler" ή "κύκλο των εννέα σημείων" και τον συμβολίζουμε με $\displaystyle{C_E .}$ . Το θεώρημα αυτό, έργο του Leonhard Euler [15/4/1707 – 18/9/1783], πρωτο-δημοσιεύτηκε το 1765 στα «Memoire de Saint Petersbourg». Τέσσερες δεκαετίες μετά το θάνατο του Euler, έγινε γνωστό το θεώρημα του Karl Wilhelm Feuerbach [30/5/1800 – 12/3/1834]. Από τότε η "περιφέρεια Euler", πολλές φορές, ονομάσθηκε "περιφέρεια Feuerbach". Άλλωστε η ονομασία "περιφέρεια των εννέα σημείων" δεν είναι ικανοποιητική αφού, σήμερα, γνωρίζουμε πως διέρχεται από πλήθος άλλων αξιοσημείωτων σημείων.

διασάφηση 02 Δύο σχήματα $\displaystyle{S,S_1 }$ θα λέμε ότι είναι "αντιστρόφως ίσα" αν τα σχήματα αυτά είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς άξονα [όταν δηλ. γα να συμπέσουν τα δύο σχήματα, χρειάζεται το ένα απ’ αυτά να στραφεί στο χώρο κατά 180ο, με άξονα περιστροφής τον άξονα συμμετρίας τους]

διασάφηση 03 Τα μέσα των αποστάσεων των κορυφών, του τριγώνου αναφοράς από το ορθόκεντρό του, θα τα αποκαλούμε "σημεία Euler"

διασάφηση 04 Το τρίγωνο στου οποίου τον κύκλο Euler αναφερόμαστε, θα το αποκαλούμε "τρίγωνο αναφοράς"

διασάφηση 05 Η ευθεία που ορίζουν οι προβολές τυχαίου σημείου του περίκυκλου τριγώνου, πάνω στις πλευρές του, ονομάζεται "ευθεία Simson ή Wallace"

διασάφηση 06 Οι εφαπτόμενες του περίκυκλου δοσμένου τριγώνου, στις κορυφές του ορίζουν ένα νέο τρίγωνο που το ονομάζουμε "εφαπτομενικό τρίγωνο"

διασάφηση 07 Ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών τριγώνου ονομάζεται "μέσος ή διάμεσος κύκλος" [είναι φανερό πως ο κύκλος αυτός συμπίπτει με τον κύκλο Euler του δοσμένου τριγώνου]

ορισμός 08 Αν $\displaystyle{A}$ είναι ένα από τα σημεία στα οποία μια ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ τέμνει έναν κύκλο $\displaystyle{C}$ και φέρουμε την εφαπτόμενη του κύκλου στο $\displaystyle{A.}$ , η γωνία που σχηματίζει η εφαπτόμενη και η $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ ονομάζεται "γωνία της δοσμένης ευθείας και του δοσμένου κύκλου"

διασάφηση 09 Τα σημεία επαφής του κύκλου Euler με τον έγκυκλο και τους τρεις παράκυκλους ονομάζονται "σημεία Feuerbach"

διασάφηση 10 Η καμπύλη ή η επιφάνεια που περιβάλλει όλες τις καμπύλες ή επιφάνειες τις οποίες παριστάνει μια εξίσωση, όταν η παράμετρος που υπάρχει μέσα σ` αυτήν την εξίσωση, παίρνει όλες τις δυνατές τιμές, ονομάζεται "περιβάλλουσα της οικογένειας καμπυλών". Στη Ευκλείδεια Γεωμετρία, η περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών στο επίπεδο είναι μια καμπύλη, η οποία είναι εφαπτόμενη σε κάθε μέλος της οικογένειας σε ένα σημείο.

θ. Hamilton Αν $\displaystyle{{\rm H}}$ το ορθόκεντρο τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma ,{\rm A}{\rm B}{\rm H},{\rm B}\Gamma {\rm H},\Gamma {\rm A}{\rm H}}$ έχουν την ίδια περιφέρεια Euler.
Σχόλιο στο θ. Hamilton (01) Γνωρίζουμε πως: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ καθένα από τα τρίγωνα (του θ. Hamilton), έχει ένα έγκυκλο και τρεις παράκυκλους, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ τα τέσσερα τρίγωνα (του θ. Hamilton), θα διαθέτουν, συνολικά, 16 κύκλους. Συμπέρασμα: η περιφέρεια Euler του τριγώνου, εφάπτεται των 16 κύκλων
Σχόλιο στο θ. Hamilton (02) Από το προηγούμενο σχόλιο βλέπουμε πως σε κάθε τρίγωνο, ο κύκλος Euler εφάπτεται 16 κύκλων. Δεδομένου ότι ο κύκλος Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι και κύκλος Euler καθενός εκ των τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm H},{\rm B}\Gamma {\rm H},\Gamma {\rm A}{\rm H}}$ , συμπεραίνουμε πως εφάπτεται των 16 κύκλων καθενός από τα τρία αυτά τρίγωνα, άρα τελικά ο κύκλος Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ θα εφάπτεται σε 3x16=48 κύκλους

διασάφηση 11 Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο απέναντι πλευρών τετραπλεύρου, ονομάζεται "διάμεσος τετραπλεύρου"

διασάφηση 12 Το κοινό σημείο, που αναφέρεται στην άσκηση 41, ονομάζεται "σημείο του Franke"

από τη συλλογή θεμάτων με βάση τον Euler

01. Σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ : $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τα μέσα των πλευρών του, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ τα ίχνη των υψών του και $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ τα μέσα των αποστάσεων των κορυφών του από το ορθόκεντρο αυτού, βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.
02. Το κέντρο του κύκλου Euler, είναι το μέσο του ευθ. τμήματος που έχει σαν άκρα το ορθόκεντρο και το περίκεντρο του τριγώνου αναφοράς
03. Η ακτίνα $\displaystyle{\rho _\varepsilon }$ του κύκλου Euler ισούται με το μισό της ακτίνας $\displaystyle{R}$ του περίκυκλου του τριγώνου αναφοράς
04. Το ευθ. τμήμα που έχει σαν άκρα ένα σημείο Euler του τριγώνου αναφοράς και το μέσο της αντίστοιχης τρίτης πλευράς του, ισούται με τη διάμετρο του κύκλου Euler αυτού του τριγώνου
05. Αν $\displaystyle{{\rm A}_1 ,{\rm B}_1 ,\Gamma _1 }$ τα αντιδιαμετρικά των $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ ως προς το περίκεντρο $\displaystyle{{\rm O}}$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{\Lambda ,{\rm M},{\rm N}}$ τα αντίστοιχα σημεία Euler, δείξτε ότι οι $\displaystyle{\Lambda {\rm A}_1 ,{\rm M}{\rm B}_1 ,{\rm N}\Gamma _1 }$ συντρέχουν στο βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ του τριγώνου αναφοράς.
06. Η εφαπτομένη του κύκλου Euler τριγώνου στο μέσο μια πλευράς του, είναι παράλληλη προς την εφαπτόμενη του περίκυκλου στην απέναντι κορυφή
07. Αν τέσσερες συνεπίπεδες ευθείες $\displaystyle{\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ,\varepsilon _3 ,\varepsilon _4 }$ είναι διατεταγμένες σε τρόπο ώστε μία απ’ αυτές να είναι παράλληλη προς την ευθεία Euler του τριγώνου των άλλων τριών, το ίδιο ισχύει για κάθε μια από τις άλλες ευθείες.
08. Αναφερόμαστε στις ευθείες τα άσκησης 07. Αν η $\displaystyle{\varepsilon _4 }$ είναι η ευθεία Euler του τριγώνου των $\displaystyle{\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ,\varepsilon _3 }$ , τότε οι ευθείες Euler των τριγώνων που ορίζουν οι τριάδες ευθειών: $\displaystyle{\left( {\varepsilon _2 ,\varepsilon _3 ,\varepsilon _4 } \right),\left( {\varepsilon _3 ,\varepsilon _1 ,\varepsilon _4 } \right),\left( {\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ,\varepsilon _4 } \right)}$ σχηματίζουν τρίγωνο ίσο με το τρίγωνο που ορίζουν οι $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ,\varepsilon _3 } \right)}$ που έχει ευθεία Euler την $\displaystyle{\varepsilon _4 }$
09. Δίνονται τέσσερες συνεπίπεδες ευθείες $\displaystyle{\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ,\varepsilon _3 ,\varepsilon _4 }$ . Αν $\displaystyle{G_1 ,G_2 ,G_3 ,G_4 }$ είναι τα βαρύκεντρα των τριγώνων που ορίζονται από τις αντίστοιχες τριάδες ευθειών $\displaystyle{\left( {\varepsilon _2 ,\varepsilon _3 ,\varepsilon _4 } \right),\left( {\varepsilon _1 ,\varepsilon _3 ,\varepsilon _4 } \right),\left( {\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ,\varepsilon _4 } \right)\left( {\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ,\varepsilon _3 } \right)}$ τότε οι παράλληλες που άγονται από τα $\displaystyle{G_1 ,G_2 ,G_3 }$ προς τις $\displaystyle{\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ,\varepsilon _3 }$ αντίστοιχα, ορίζουν τρίγωνο που είναι αντίστροφα ίσο προς το τρίγωνο που ορίζεται από τις $\displaystyle{\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ,\varepsilon _3 }$
υπόδειξη: στρέφουμε το ένα απ’ αυτά κατά 180ο στο χώρο, αφού τα δύο τρίγωνα είναι συμμετρικά ως προς άξονα
10. Η γωνία που είναι εγγεγραμμένη σε ένα τμήμα του κύκλου των εννέα σημείων, που ορίζεται από μια πλευρά αυτού, είναι ίση με τη διαφορά των δύο γωνιών του τριγώνου, των προσκειμένων στην πλευρά αυτή.
11. Αν το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων τριγώνου, βρίσκεται πάνω σε μια πλευρά του, τότε η διαφορά των γωνιών που πρόσκεινται σ’ αυτή την πλευρά ισούται με μια ορθή γωνία.
12. Δίνονται: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{\Sigma }$ τυχαίο σημείο του περίκυκλού του, $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ το ορθόκεντρο $\displaystyle{{\rm H}}$ του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{\left. \delta \right)}$ $\displaystyle{S}$ ευθεία Simson του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ως προς το σημείο $\displaystyle{\Sigma }$ . Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος της τομής των ευθειών $\displaystyle{S}$ και $\displaystyle{\Sigma {\rm H}}$ , είναι ο κύκλος Euler το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
13. Ο γεωμ. τόπος των σημείων τομής δύο ευθειών Simson, που αντιστοιχούνται σε δύο αντιδιαμετρικά σημεία του περίκυκλου ενός τριγώνου, είναι η περιφέρεια Euler του τριγώνου αυτού
14. Η απόσταση $\displaystyle{d}$ μεταξύ του περίκεντρου και του έγκεντρου ενός τριγώνου δίνεται από τη σχέση $\displaystyle{d^2 = R\left( {R - 2r} \right)}$ όπου $\displaystyle{R,r}$ η ακτίνα του περίκυκλου και του έγκυκλου του τριγώνου αναφοράς
15. Σε κάθε τρίγωνο το περίκεντρο, το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο είναι σημεία συνευθειακά. Η απόσταση του ορθόκεντρου από το βαρύκεντρο είναι διπλάσια της απόστασης του βαρυκέντρου από το περίκεντρο.
16. Το περίκεντρο του εφαπτομενικού τριγώνου δοσμένου τριγώνου βρίσκεται πάνω στην ευθεία Euler του τριγώνου αναφοράς
17. Σε κάθε τρίγωνο κάθε σημείο Euler είναι αντιδιαμετρικό του μέσου της απέναντι πλευράς ως προς τον κύκλο Euler του τριγώνου αναφοράς
18. Το συμμετρικό του ορθοκέντρου κάθε τριγώνου, με άξονα συμμετρίας κάθε πλευρά του, βρίσκεται στον περίκυκλο του δοσμένου τριγώνου
19. Το εξωτερικό και εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας του περίκυκλου και του κύκλου Euler ενός τριγώνου είναι το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο του δοσμένου τριγώνου, αντίστοιχα
20. Οι γωνίες που σχηματίζει ο κύκλος Euler με τις πλευρές $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma }$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι αντίστοιχα ίσες με $\displaystyle{\gamma \omega \nu \left( {{\rm A} - {\rm B}} \right),\gamma \omega \nu \left( {{\rm B} - \Gamma } \right),\gamma \omega \nu \left( {\Gamma - {\rm A}} \right)}$
21. Οι εφαπτόμενες του κύκλου Euler στα μέσα των πλευρών του τριγώνου αναφοράς, είναι αντιπαράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου αναφοράς.
22. Αν $\displaystyle{{\rm H}}$ το ορθόκεντρο τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τότε τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm H}{\rm B},{\rm B}{\rm H}\Gamma ,\Gamma {\rm H}{\rm A}}$ έχουν τον ίδιο κύκλο Euler με το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
σημείωση: είναι το θεώρημα Hamilton που προτείναμε στις "διασαφήσεις"
23. Oι περίκυκλοι των τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma ,{\rm A}{\rm H}{\rm B},{\rm B}{\rm H}\Gamma,\Gamma {\rm H}{\rm A}}$ είναι ίσοι μεταξύ τους
24. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι: $\displaystyle{{\rm H},{\rm O}}$ το ορθόκεντρο και το περίκεντρο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , τότε ισχύουν: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ $\displaystyle{{\rm H}{\rm A}{\rm O} = \left( {{\rm B} - \Gamma } \right),\left. \beta \right) {\rm B}{\rm O}\Gamma = 2{\rm A} \left. \gamma \right) {\rm O}{\rm A}}$ κάθετη προς την αντιπαράλληλη της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$
25. [LAL-§1.20-p5] Ισχύουν $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ υπάρχει απειρία τριγώνων, εγγεγραμμένων στον ίδιο κύκλο, τα οποία έχουν το ίδιο ορθόκεντρο, $\displaystyle{ \left. \beta \right)}$ αυτή η απειρία τριγώνων έχουν το ίδιο βαρύκεντρο και τον ίδιο διάμεσο κύκλο
26. Δίνονται: τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , το διάμεσο τρίγωνο $\displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ αυτού, το περίκεντρο $\displaystyle{{\rm O}}$ του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Δείξτε ότι κάθε ομοιόθετο του $\displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm Z}}$ , με κέντρο ομοιοθεσίας το $\displaystyle{{\rm O}}$ , είναι ομοιόθετο και προς το τρίγωνο αναφοράς με κέντρο ομοιοθεσίας που βρίσκεται στην ευθεία Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
27. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ από τυχαία ευθεία που διέρχεται από τα βαρύκεντρό του $\displaystyle{G}$ , ισούται με μηδέν
28. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ από τυχαία ευθεία που δεν διέρχεται από τα βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ , ισούται με το τριπλάσιο της απόστασης του $\displaystyle{G}$ από την τυχαία ευθεία
29. Δίνονται δύο τυχαία τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma ,{\rm K}\Lambda {\rm M}}$ με βαρύκεντρα $\displaystyle{G,W}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{{\rm K}_1 ,\Lambda _1 ,{\rm M}_1 }$ τα μέσα των $\displaystyle{{\rm A}{\rm K},{\rm B}\Lambda ,\Gamma {\rm M}}$ . Έστω $\displaystyle{W_1 }$ το βαρύκεντρο του $\displaystyle{{\rm K}_1 \Lambda _1 {\rm M}_1 }$ . Δείξτε ότι το $\displaystyle{{\rm K}_1 \Lambda _1 {\rm M}_1 }$ είναι το μέσο του τμήματος $\displaystyle{GW}$ . Γενικότερα, αν τα $\displaystyle{{\rm K}_1 ,\Lambda _1 ,{\rm M}_1 }$ διαιρούν τα ευθ. τμήματα $\displaystyle{{\rm A}{\rm K},{\rm B}\Lambda ,\Gamma {\rm M}}$ αντίστοιχα, σε λόγο $\displaystyle{\lambda }$ , τότε και το $\displaystyle{W_1 }$ θα διαιρεί το $\displaystyle{GW}$ κατά λόγο $\displaystyle{\lambda }$ .
30. Δίνονται: τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{{\rm A}{\rm P}}$ ένα ύψος του, $\displaystyle{{\rm A}\Lambda }$ μια εσωτερική διχοτόμος του και $\displaystyle{{\rm E},{\rm Z}}$ οι προβολές των $\displaystyle{{\rm B},\Gamma }$ στην ευθεία της διχοτόμου $\displaystyle{{\rm A}\Lambda }$ . Αν $\displaystyle{\Sigma ,\Delta ,\Theta }$ τα μέσα των $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm P}{\rm E}\Delta {\rm Z}}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο $\displaystyle{C_{{\rm P}{\rm E}\Delta {\rm Z}} }$ , κέντρου $\displaystyle{{\rm K}}$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ το κέντρο $\displaystyle{{\rm K}}$ αυτού του κύκλου ανήκει στον κύκλο Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και διχοτομεί το τόξο αυτού του κύκλου, το οποίο είναι εσωτερικό του $\displaystyle{C_{{\rm P}{\rm E}\Delta {\rm Z}} }$ [σχήμα 02]
31. Τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ είναι περιγεγραμμένο γύρω από άλλο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , σε τρόπο ώστε $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma ,{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ είναι όμοια μεταξύ τους, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ η πλευρά $\displaystyle{{\rm B}_1 \Gamma _1 }$ διέρχεται από το $\displaystyle{{\rm A}}$ , $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ οι γωνίες $\displaystyle{{\rm A}_1 }$ και $\displaystyle{{\rm A}}$ είναι αντίστοιχες. Δείξτε ότι το ορθόκεντρο $\displaystyle{{\rm H}}$ του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ συμπίπτει με το περίκεντρο του $\displaystyle{{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 }$ [σχήμα 03]
32. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , η απόσταση ενός οποιουδήποτε σημείου $\displaystyle{{\rm M}}$ του περίκυκλού του από μια των κορυφών του, είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεων από τις άλλες δύο
33. Δίνονται: τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ με ύψη $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm B}{\rm E},\Gamma {\rm Z}}$ , και $\displaystyle{{\rm M},{\rm N},\Lambda }$ τα μέσα των $\displaystyle{{\rm Z}\Delta ,{\rm B}{\rm E},{\rm E}{\rm Z}}$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι οι κάθετες από τα $\displaystyle{{\rm M},{\rm N},\Lambda }$ προς τις $\displaystyle{{\rm A}\Gamma ,{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma }$ αντίστοιχα, συντρέχουν [σχήμα 04]
34. Η περιφέρεια Euler εφάπτεται στον έγκυκλο και τους παράκυκλους του τριγώνου αναφοράς
35. Η περιφέρεια Euler τριγώνου είναι η περιβάλλουσα των εγγεγραμμένων και παρεγγεγραμμένων περιφερειών σε όλα τα τρίγωνα τα οποία έχουν το ίδιο ορθόκεντρο και τον ίδιο περίκυκλο με το δοσμένο τρίγωνο [κοίτα άσκηση 22]
36. Η περιφέρεια Euler τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , είναι ο γεωμ. τόπος των σημείων $\displaystyle{{\rm M}}$ του επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τις κορυφές του τριγώνου ελαττωμένο κατά τη δύναμη του $\displaystyle{{\rm M}}$ ως προς τον περίκυκλο $\displaystyle{\left( {{\rm O},R} \right)}$ του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , ισούται με το ημιάθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του $\displaystyle{\left[ {MA^2 + MB^2 + M\Gamma ^2 - \left( {{\rm M}{\rm O}^2 - R^2 } \right) = \frac{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}{2}} \right]}$
σημείωση Η περιφέρεια Euler μπορεί, ακόμη, να θεωρηθεί ως ο γ.τ. των κέντρων των ισοσκελών υπερβολών οι οποίες διέρχονται από τις κορυφές του τριγώνου και από το ορθόκεντρό του
37. Σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , με ορθόκεντρο $\displaystyle{{\rm H}}$ , $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ ύψος και $\displaystyle{\Lambda ,{\rm N},\Sigma }$ τα μέσα των $\displaystyle{{\rm A}{\rm H},{\rm A}\Gamma ,{\rm B}\Gamma }$ αντίστοιχα, και $\displaystyle{{\rm P}}$ η προβολή του περίκεντρου $\displaystyle{{\rm O}}$ στην πλευρά $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , τότε ισχύει: $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ $\displaystyle{\Lambda {\rm N}\parallel = {\rm O}{\rm P}}$ , $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{{\rm O}{\rm P}\parallel = \frac{{{\rm H}\Gamma }}{2}}$ , $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ $\displaystyle{\Sigma {\rm P}\Delta = \Gamma }$ [σχήμα 03]
38. Ο κύκλος Euler κάθε τριγώνου διέρχεται από τα κέντρα εικοσιτεσσάρων κύκλων.
υπόδειξη [σχήμα 04] Ας είναι $\displaystyle{{\rm H}}$ το ορθόκεντρο του τριγ. $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{\Pi ,\Xi }$ , αντίστοιχα, οι προβολές των $\displaystyle{{\rm B},\Gamma }$ πάνω στην εξωτερική διχοτόμο της γων. $\displaystyle{{\rm A}}$ και $\displaystyle{{\rm P},\Lambda }$ , αντίστοιχα, οι προβολές των ίδιων κορυφών στην εσωτερική διχοτόμο της γων. $\displaystyle{{\rm A}}$ . Άς είναι $\displaystyle{\Delta ,{\rm Z},{\rm E}}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ αντίστοιχα. Επίσης $\displaystyle{{\rm A}\Delta _1 }$ το ύψος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{\Lambda ,{\rm T}}$ αντίστοιχα η προβολή της $\displaystyle{\Gamma }$ στην $\displaystyle{{\rm A}{\rm P}}$ και η τομή των ευθειών $\displaystyle{\Gamma \Lambda ,{\rm A}{\rm B}}$ . Σύμφωνα με την άσκηση 30, το τετράπλευρο $\displaystyle{\Delta _1 {\rm P}\Delta \Lambda }$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο (έστω κέντρου $\displaystyle{{\rm O}_1 }$ ). Τέλος, ονομάζουμε $\displaystyle{{\rm N}}$ το κέντρο του κύκλου Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Το τετράπλευρο $\displaystyle{\Delta \Delta _1 \Pi \Xi }$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο, του οποίου το κέντρο $\displaystyle{{\rm O}_2 }$ είναι αντιδιαμετρικό του $\displaystyle{{\rm O}_1 }$ ως προς τον κύκλο Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Εδώ παρατηρούμε πως για την περίπτωση των διχοτόμων της γων. $\displaystyle{{\rm A}}$ έχουμε δύο κύκλους, απ’ τα κέντρα των οποίων διέρχεται ο κύκλος Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Αυτό σημαίνει πως από τις διχοτόμους των τριών γωνιών του τριγώνου θα έχουμε συνολικά έξι κέντρα κύκλων πάνω στον κύκλο Euler.
Αν λάβουμε υπ’ όψη μας πως τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm H}{\rm B},{\rm B}{\rm H}\Gamma ,\Gamma {\rm H}{\rm A}}$ έχουν τον ίδιο κύκλο Euler με το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , συμπεραίνουμε ότι θα έχουμε άλλες τρεις εξάδες κέντρων κύκλων όπως του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Δηλ. συνολικά, $\displaystyle{o}$ κύκλος Euler κάθε τριγώνου διέρχεται από τα κέντρα εικοσιτεσσάρων κύκλων
39. Σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ : το ορθόκεντρο $\displaystyle{{\rm H}}$ , το βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ , το περίκεντρο $\displaystyle{{\rm O}}$ , και το κέντρο $\displaystyle{{\rm N}}$ του κύκλου Euler, αποτελούν αρμονική τετράδα
40. Σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ : το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο είναι εξωτερικό αντίστοιχα εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας του περίκυκλου και του κύκλου Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
41. Ένα τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ θεωρούμε την ευθεία Simson καθενός από τα τρίγωνα $\displaystyle{ {\rm A}\Delta {\rm B},{\rm A}\Delta \Gamma ,{\rm A}{\rm B}\Gamma ,\Delta {\rm B}\Gamma }$ , ως προς τις τέταρτες κορυφές $\displaystyle{\Gamma ,{\rm B},\Delta ,{\rm A}}$ , (αντίστοιχα) του δοσμένου τετραπλεύρου. Αυτές οι Simson διέρχονται από το ίδιο σημείο, απ’ το οποίο διέρχονται και οι κύκλοι Euler αυτών των τριγώνων (Lemoine, 1869)
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ οι ευθείες που συνδέουν κάθε κορυφή του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ με το ορθόκεντρο του τριγώνου των τριών άλλων κορυφών διέρχονται από το ίδιο σημείο [το σημείο αυτό είναι το συμμετρικό του περίκεντρου του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ με κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαμέσων του δοσμένου τετραπλεύρου](Mathot, περιοδικό Mathesis, 1901, p 25,no 2)
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ 27 αξιοσημείωτες ευθείες του επιπέδου του δοσμένου τετραπλεύρου διέρχονται από το ίδιο σημείο (Deteuf, N.A., 1908, p.442)
Υπόδειξη Για να βοηθηθείτε στην επίλυση της άσκησης 41, σας αναφέρουμε πως το ζητούμενο σημείο είναι το σημείο του παρακάτω θέματος: «Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο, οι κάθετες που άγονται από το μέσο κάθε πλευράς επί την απέναντί της διέρχονται από το ίδιο σημείο»
42. Αν $\displaystyle{{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ τα παράκεντρα τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ (τα αντίστοιχα προς τις κορυφές $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ ), να δείξετε ότι ο περίκυκλος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι κύκλος Euler του $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}}$
43. Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ σημειώνουμε με $\displaystyle{{\rm E},{\rm I},{\rm M},\Lambda ,{\rm N}}$ αντίστοιχα τα κέντρα: του κύκλου Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , το έγκεντρό του και τα τρία παράκεντρα που αντιστοιχούν στις κορυφές $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ . Δείξτε ότι
$\displaystyle{{\rm E}{\rm I} + {\rm E}{\rm M} + {\rm E}\Lambda + {\rm E}{\rm N} = 6R}$ (R ακτίνα του περίκυκλου)
44. Δίνονται: τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{{\rm O}}$ το περίκεντρό του και $\displaystyle{\Delta ,{\rm E},{\rm Z}}$ οι προβολές του $\displaystyle{{\rm O}}$ στις πλευρές $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ αντίστοιχα. Πάνω στις ημιευθείες $\displaystyle{{\rm O}\Delta ,{\rm O}{\rm E},{\rm O}{\rm Z}}$ παίρνουμε τμήματα $\displaystyle{{\rm O}\Delta _1 ,{\rm O}{\rm E}_1 ,{\rm O}{\rm Z}_1 }$ σε τρόπο ώστε $\displaystyle{\frac{{{\rm O}\Delta _1 }}{{{\rm O}\Delta }} = \frac{{{\rm O}{\rm E}_1 }}{{{\rm O}{\rm E}}} = \frac{{{\rm O}{\rm Z}_1 }}{{{\rm O}{\rm Z}}}}$ . Δείξτε ότι οι ευθείες $\displaystyle{{\rm A}\Delta _1 ,{\rm B}{\rm E}_1 ,\Gamma {\rm Z}_1 }$ συντρέχουν σε σημείο της ευθείας Euler του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$
45. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Δείξτε ότι το έγκεντρο και το κέντρο του κύκλου Euler βρίσκονται πάω σε ευθεία η οποία είναι κάθετη στη $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$
46. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Δείξτε ότι η κοινή εφαπτόμενη του κύκλου Euler και του έγκυκλου του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .

ykerasar · #16

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ [και παράγωγα αυτής]

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 9ο

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ "ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ"[και τα παράγωγά της]
ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ: συνεχίζουμε την παρουσίαση θεμάτων δημοσιεύοντας το "9ο σημείωμα", το οποίο αναφέρεται α) στην αρμονική διαίρεση, β) στην αρμονική δέσμη, γ) στον κύκλο του Απολλώνιου, δ) στα παρεπόμενα όλων αυτών. Εδώ σημειώνουμε πως τις περίφημες δέκα κατασκευές του Απολλώνιου, θα τις παρουσιάσουμε μελλοντικά σε ξεχωριστό σημείωμα, λόγω της μεγάλης έκτασής τους

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΜΕΡΟΣ Α΄. ΘΕΩΡΙΑ
μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά

Ι. ΓΕΝΙΚΑ

συνθήκη "αναγκαία" λέμε "αναγκαία συνθήκη" μιας ιδιότητας κάθε συμπέρασμα που έπεται από την ιδιότητα αυτή
συνθήκη "ικανή": λέμε "ικανή συνθήκη" μιας ιδιότητας κάθε υπόθεση απ’ την οποία έπεται η ιδιότητα αυτή
συνθήκη "αναγκαία και ικανή": μια ιδιότητα Β θα λέμε ότι είναι συνθήκη "αναγκαία και ικανή" της ιδιότητας Α, όταν οι δύο αυτές ιδιότητες έπονται αμοιβαία. Δηλ. αν: (από Α έπεται Β) και (από Β έπεται Α)
σημείωση. εδώ σημειώνουμε πως οι εκφράσεις «αναγκαία και ικανή συνθήκη», «αν και μόνο αν», «πρέπει και αρκεί», «τότε και μόνο τότε, αν» είναι λογικά ισοδύναμες συνθήκες.

αλγεβρική τιμή διανύσματος

Δίνονται δύο αντίθετα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm A}_1 {\rm A}_2 } ,\overrightarrow {{\rm B}_1 {\rm B}_2 } }$ και το μοναδιαίο διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm M}_1 {\rm M}_2 } }$ . Με μονάδα μέτρησης το μήκος του μοναδιαίου διανύσματος, βρίσκουμε τα μέτρα $\displaystyle{\left| {\overrightarrow {{\rm A}_1 {\rm A}_2 } } \right|,\left| {\overrightarrow {{\rm B}_1 {\rm B}_2 } } \right|}$ των δύο διανυσμάτων.
Έστω ότι από τις δύο μετρήσεις προκύπτει ως μέτρο ό ίδιος αριθμός π.χ. $\displaystyle{\mu \in \Re _ + }$ . Επειδή όμως τα δύο διανύσματα είναι αντίθετα, πρέπει να κάμουμε διάκριση μεταξύ των μέτρων τους. Συμφωνούμε λοιπόν να λέμε ότι το διάνυσμα που έχει την ιδία φορά με το μοναδιαίο διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm M}_1 {\rm M}_2 } }$ , έχει προσημασμένο (ή σχετικό) μέτρο το θετικό αριθμό $\displaystyle{\mu \in \Re }$ , ενώ το $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm B}_1 {\rm B}_2 } }$ , πού έχει αντίθετη φορά, έχει προσημασμένο μέτρο τον αρνητικό αριθμό $\displaystyle{- \mu \in \Re }$ .
Αυτά τα προσημασμένα μέτρα των δύο διανυσμάτων, στο εξής θα τα ονομάζουμε αλγεβρική τιμή καθενός απ’ αυτά και θα την σημειώνουμε, χάριν απλότητας με $\displaystyle{\overline {{\rm A}_1 {\rm A}_2 } ,\overline {{\rm B}_1 {\rm B}_2 } }$ αντίστοιχα.

άλλος ένας ορισμός της αλγεβρικής τιμής διανύσματος
Όπως είναι γνωστό για κάθε διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm B}\Gamma } }$ πάνω σε έναν άξονα, με μοναδιαίο διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} }$ , ορίζονται οι αριθμοί:
$\displaystyle{\left. i \right)}$ το μέτρο του που συμβολίζεται με $\displaystyle{\left| {\overrightarrow {B\Gamma } } \right|}$ και είναι $\displaystyle{\left| {\overrightarrow {B\Gamma } } \right| = \left( {{\rm B}\Gamma } \right) = }$ μήκος του ευθύγ. τμήματος $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ και
$\displaystyle{\left. {ii} \right)}$ η αλγεβρική τιμή που συμβολίζεται με $\displaystyle{\overline {{\rm B}\Gamma } }$ και είναι:
$\displaystyle{\overline {{\rm B}\Gamma } = \left\{ \begin{array}{l}\left( {{\rm B}\Gamma } \right),...\alpha \nu ..\tau o...\overrightarrow {{\rm B}\Gamma } ..\chi \varepsilon \iota ...\theta \varepsilon \tau \iota \kappa ...\varphi o\rho \\ - \left( {{\rm B}\Gamma } \right),...\alpha \nu ..\tau o...\overrightarrow {{\rm B}\Gamma } ..\chi \varepsilon \iota ...\alpha \rho \nu \eta \tau \iota \kappa ...\varphi o\rho \\ \end{array} \right.}$

παρατήρηση
από τον ορισμό της αλγεβρικής τιμής διανύσματος προκύπτει ότι
$\displaystyle{\overline {{\rm O}{\rm A}} = 1...\kappa \alpha \iota ...\overline {{\rm B}\Gamma } = - \overline {\Gamma {\rm B}} }$

σημείωση 01.
την έννοια της αλγεβρικής τιμής διανύσματος την αναφέρουμε γιατί μας διευκολύνει στην κατανόηση των θεμάτων αρμονικής διαίρεσης
σημείωση 02.
την έννοια του προσημασμένου μέτρου στην Ευκλείδεια Γεωμετρία χρησιμοποιούν, κατά κύριο λόγο, οι Γάλλοι μαθηματικοί συγγραφείς

ΙΙ. ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΠΛΟ ΛΟΓΟ

απλός ή μερικός λόγος τριών σημείων
θεωρούμε τη διατεταγμένη τριάδα σημείων $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma } \right)}$ . Αν ο λόγος $\displaystyle{\frac{{\overline {\Gamma {\rm A}} }}{{\overline {\Gamma {\rm B}} }} = \lambda }$ , τότε το λ ονομάζεται απλός ή μερικός λόγος και τον σημειώνουμε με: $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma } \right) = \lambda }$

διπλός (ή αναρμονικός) λόγος τεσσάρων σημείων
θεωρούμε τη διατεταγμένη τετράδα σημείων $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta } \right)}$ . Από τις διατεταγμένες τριάδες σημείων $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma } \right),\left( {{\rm A},{\rm B},\Delta } \right)}$ , παίρνουμε τους απλούς λόγους $\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{{\overline {\Gamma {\rm A}} }}{{\overline {\Gamma {\rm B}} }} = \lambda ... \\ \frac{{\overline {\Delta {\rm A}} }}{{\overline {\Delta {\rm B}} }} = \mu \\ \end{array}}$ . Το πηλίκο $\displaystyle{\lambda /\mu }$ ονομάζεται

διπλός λόγος της τετράδας των σημείων
$\displaystyle{{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }}$ . Αυτό το λόγο τον σημειώνουμε κι έτσι: $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta } \right) = \frac{{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma } \right)}}{{\left( {{\rm A},{\rm B},\Delta } \right)}} = \frac{\lambda }{\mu }}$

ΙIΙ. ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

σημεία "αρμονικά συζυγή"
Δύο σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ που διαιρούν ένα ευθ. τμήμα εσωτερικά και εξωτερικά αντίστοιχα, σε μέρη που έχουν τον ίδιο λόγο, δηλ., αν είναι $\displaystyle{\frac{{\overline {{\rm M}{\rm A}} }}{{\overline {{\rm M}{\rm B}} }} = \frac{{\overline {{\rm N}{\rm A}} }}{{\overline {{\rm N}{\rm B}} }} = \lambda }$ λέγονται αρμονικά συζυγή των $\displaystyle{{{\rm A},{\rm B}}}$ ή λέμε ότι τα $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ διαιρούν αρμονικά το ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ .

κριτήρια για να αποτελούν 4 σημεία αρμονική σημειοσειρά
Τα σημεία \{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }\], είναι σημεία μιας ευθείας $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Το $\displaystyle{{\rm O}}$ μέσο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και το $\displaystyle{{\rm N}}$ μέσο του $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ . Το $\displaystyle{\Gamma }$ μεταξύ $\displaystyle{{\rm O},{\rm B}}$ . Το $\displaystyle{\Delta }$ πέραν του $\displaystyle{{\rm B}}$ . Για τη σημειοσειρά αυτή ισχύουν τα παρακάτω κριτήρια αρμονικότητας:
1ο κριτήριο
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να αποτελούν τα σημεία $\displaystyle{{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }}$ αρμονική σημειοσειρά είναι, $\displaystyle{\overline {{\rm O}{\rm A}} \cdot \overline {{\rm O}\Delta } = {\rm O}{\rm A}^2 = {\rm O}{\rm B}^2 }$
2ο κριτήριο
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να αποτελούν τα σημεία $\displaystyle{{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }}$ αρμονική σημειοσειρά είναι $\displaystyle{\frac{2}{{\overline {{\rm A}{\rm B}} }} = \frac{1}{{{\rm A}\Gamma }} + \frac{1}{{\overline {{\rm A}\Delta } }}}$
3ο κριτήριο
Ας είναι $\displaystyle{{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }}$ σημεία μιας ευθείας $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ και ένα σημείο της ευθείας αυτής, αριστερά του σημείου και ας θέσουμε $\displaystyle{\overline {{\rm M}{\rm A}} = \alpha ,\overline {{\rm M}{\rm B}} = \beta ,\overline {{\rm M}\Gamma } = \gamma ,\overline {{\rm M}\Delta } = \delta }$ . Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να αποτελούν τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }$ αρμονική σημειοσειρά είναι $\displaystyle{\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\gamma + \delta } \right) = 2\alpha \beta + 2\gamma \delta }$
4ο κριτήριο
Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να αποτελούν τα σημεία αρμονική σημειοσειρά είναι $\displaystyle{\overline {{\rm A}\Gamma } \cdot \overline {{\rm A}\Delta } = \overline {{\rm A}{\rm B}} \cdot \overline {{\rm A}{\rm N}} }$
παρατήρηση 1είναι φανερό πως σε κάθε τρίγωνο η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος μιας γωνίας του, διαιρούν την απέναντι πλευρά αρμονικά

Θεώρημα 1 Η ευθεία της διακέντρου $\displaystyle{{\rm O}_1 {\rm O}_2 }$ δύο περιφερειών $\displaystyle{{\rm O}_1 {\rm O}_2 }$ τέμνει αυτές στα $\displaystyle{A,B}$ και $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ αντίστοιχα. Αν τα είναι αρμονικά συζυγή των $\displaystyle{A,B}$ τότε οι δύο περιφέρειες τέμνονται κάθετα. Ισχύει και το αντίστροφο

σύμβαση 01.
Αν τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }$ αποτελούν μια αρμονική σημειοσειρά ( $\displaystyle{\Gamma }$ μεταξύ $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και $\displaystyle{\Delta }$ εκτός του \ {\rm A}{\rm B}\]), τότε, χάριν συντομίας, μπορούμε να γράφουμε:
$\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta } \right) = - 1}$ το σύμβολο αυτό δεν είναι αυθαίρετο. Αφού τα $\displaystyle{\Gamma ,\Delta .}$ είναι αρμονικά συζυγή των $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ θα έχουμε $\displaystyle{\frac{{\overline {\Gamma {\rm A}} }}{{\overline {\Gamma {\rm B}} }} = - \frac{{\overline {\Delta {\rm A}} }}{{\overline {\Delta {\rm B}} }}}$ (όπου: i. το $\displaystyle{\frac{{\overline {\Gamma {\rm A}} }}{{\overline {\Gamma {\rm B}} }}}$ είναι αρνητικό, αφού είναι λόγος προσημασμένων μέτρων δύο διανυσμάτων με αντίθετη φορά, ii. το $\displaystyle{\frac{{\overline {\Delta {\rm A}} }}{{\overline {\Delta {\rm B}} }}}$ είναι θετικό αφού είναι λόγος προσημασμένων μέτρων δύο διανυσμάτων που είναι ομόρροπα)
σύμβαση 02.
Αν το Γ είναι μέσο του τμήματος $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , τότε δεχόμαστε ότι το αρμονικό συζυγές του Γ ως προς τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ , θα βρίσκεται σε άπειρη απόσταση από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ .
σύμβαση 03.
Oρισμένοι μαθηματικοί συγγραφείς, προκειμένου να έχουν αρμονικό συζυγές και τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ κάνουν τη σύμβαση σύμφωνα με την οποία: i) αρμονικό συζυγές του Α ως προς τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ είναι το ίδιο το Α, ii) αρμονικό συζυγές του Β ως προς τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ είναι το ίδιο το Β.

ΙV. ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΕΣΜΗ
ορισμός 01
"δέσμη ευθειών"
Τρεις ή περισσότερες ευθείες θα λέμε ότι αποτελούν μία δέσμη ευθειών, αν όλες περνούν από το ίδιο σημείο.
● Οι ευθείες αυτές $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right),\left( {\varepsilon _3 } \right),...,\left( {\varepsilon _\nu } \right)}$ λέγονται ακτίνες της δέσμης, το δε κοινό τους σημείο Ο ονομάζουμε κορυφή της δέσμης.
συμβολισμός την παραπάνω δέσμη θα τη συμβολίζουμε με $\displaystyle{{\rm O}.\varepsilon _1 \varepsilon _2 \varepsilon _3 ...\varepsilon _\nu }$ , $\displaystyle{\left( {\varepsilon } \right)}$
ορισμός 02 "αρμονική δέσμη ευθειών"
Μια ευθεία $\displaystyle{.\left( {\varepsilon _1 } \right)}$ τέμνει τις ακτίνες $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right),\left( {\varepsilon _3 } \right),\left( {\varepsilon _4 } \right)}$ μιας δέσμης $\displaystyle{ {\rm O}.\varepsilon _1 \varepsilon _2 \varepsilon _3 ...\varepsilon _\nu }$ στα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm M},{\rm B},{\rm N}}$ αντίστοιχα. Αν τα $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ είναι αρμονικά συζυγή των $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ τότε η δέσμη αυτή ονομάζεται αρμονική δέσμη ευθειών
● οι ακτίνες $\displaystyle{\varepsilon _1 ,\varepsilon _3 }$ λέγονται αρμονικές συζυγείς των $\displaystyle{\varepsilon _2 ,\varepsilon _4 }$
● μια δέσμη μπορούμε να τη συμβολίσουμε, ακόμα, με την κορυφή Ο και τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm M},{\rm B},{\rm N}}$ της τομής των ακτίνων της με τυχαία ευθεία. Έτσι θα γράφουμε η δέσμη $\displaystyle{{\rm O}.{\rm A},{\rm M},{\rm B},{\rm N}}$

θεώρημα 2 αν $\displaystyle{{\rm O}.{\rm A},{\rm M},{\rm B},{\rm N}}$ μια αρμονική δέσμη, τότε η τομή των ακτίνων της με οποιαδήποτε ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ , ορίζει πάνω στην τέμνουσα αρμονική σημειοσειρά

ένα κριτήριο αρμονικότητας μιας δέσμης
μια δέσμη θα είναι αρμονική τότε και μόνο αν μα ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ , παράλληλη προς μια ακτίνα της, τέμνεται από τις άλλες ακτίνες κατά δύο ίσα τμήματα

διπλός λόγος τετράκτινης επίπεδης δέσμης
αν τις ακτίνες, τετράκτινης διατεταγμένης δέσμης Ο.αβγδ, τμηθούν με ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ τότε ορίζεται πάνω στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ μια διατεταγμένη τετράδα σημείων $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta } \right)}$ , της οποίας ο διπλός λόγος είναι σταθερός (ανεξάρτητος από την τέμνουσα $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ ). Αν μια ευθεία $\displaystyle{\left( \zeta \right)\parallel {\rm O}\delta }$ , περνά από το Γ και τέμνει τις $\displaystyle{{\rm O}\alpha ,{\rm O}\beta }$ στα $\displaystyle{{\rm E},{\rm Z}}$ αντίστοιχα, τότε θα είναι $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta } \right) = \frac{{\overline {\Gamma {\rm E}} }}{{\overline {\Gamma {\rm Z}} }}}$

παρατήρηση
η σταθερότητα του διπλού λόγου $\displaystyle{\frac{{\overline {\Gamma {\rm E}} }}{{\overline {\Gamma {\rm Z}} }}}$ , τεκμαίρεται από το γεγονός ότι σε οποιαδήποτε θέση του Γ πάνω στην $\displaystyle{{\rm O}\gamma }$ ο λόγος $\displaystyle{\frac{{\overline {\Gamma {\rm E}} }}{{\overline {\Gamma {\rm Z}} }}}$ παραμένει σταθερός
θεώρημα 3
Αν δύο συζυγείς ακτίνες μιας αρμονικής δέσμης ευθειών είναι κάθετες μεταξύ τους, τότε αυτές είναι διχοτόμοι των γωνιών που ορίζονται από τις ευθείες των άλλων δύο ακτίνων

V. ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ
απολλώνιος κύκλος
τέσσερα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }$ είναι τέτοια ώστε $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta } \right) = - 1}$ . Ο κύκλος που γράφεται με διάμετρο $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ , ονομάζεται απολλώνιος κύκλος (ή κύκλος του Απολλώνιου)

ιδιότητα 01.
δίνεται ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , το μέσο Ο αυτού, η ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ που είναι μεσοκάθετη του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και τα σημεία $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ αρμονικά συζυγή ως προς τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ (Γ μεταξύ $\displaystyle{{\rm O},{\rm B}}$ ). Τότε ο απολλώνιος κύκλος βρίσκεται προς το ίδιο μέρος της ευθείας $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$
ιδιότητα 02. αν δύο απολλώνιοι κύκλοι βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της ευθείας $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ [της ιδιότητας 01], τότε ο ένας βρίσκεται μέσα στον άλλο.
γ.τ. του Απολλώνιου
ο γ.τ. των σημείων Μ του επιπέδου, των οποίων ο λόγος των αποστάσεών τους από δύο σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ , είναι $\displaystyle{\mu /\nu }$ , είναι ένας κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ , όπου τα $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ χωρίζουν το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} .}$ , εσωτερικά και εξωτερικά σε δοσμένο λόγο $\displaystyle{\lambda = \mu /\nu }$

ΜΕΡΟΣ Β΄. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
από τη συλλογή θεμάτων με βάση την
"αρμονική διαίρεση" και τα παράγωγά της

01. Αν δύο σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ διαιρούν αρμονικά ένα ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ (Μ εσωτερικά του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και $\displaystyle{{\rm N}}$ εξωτερικά, πέραν του $\displaystyle{{\rm B}}$ ), δείξτε ότι όταν το $\displaystyle{{\rm M}}$ πλησιάζει προς το $\displaystyle{{\rm B}}$ τότε ο λόγος $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}:{\rm M}{\rm B}}$ παίρνει τιμές στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ .
02. Αν δύο σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ διαιρούν αρμονικά ένα ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ ( $\displaystyle{{\rm M}}$ εσωτερικά του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και $\displaystyle{{\rm N}}$ εξωτερικά, πέραν του $\displaystyle{{\rm B}}$ ) και για το σημείο $\displaystyle{{\rm N}}$ ισχύει: αν το $\displaystyle{{\rm N}}$ απομακρύνεται αδιάκοπα από το $\displaystyle{{\rm B}}$ , τότε ο λόγος $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}:{\rm M}{\rm B}}$ ελαττώνεται από $\displaystyle{{ + \infty }}$ μέχρι το 1
03. Αν δύο σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ διαιρούν αρμονικά ένα ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ ( $\displaystyle{{\rm M}}$ εξωτερικά του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , αριστερά του $\displaystyle{{\rm A}}$ , και $\displaystyle{{\rm N}}$ εσωτερικό στο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ ), όταν το $\displaystyle{{\rm M}}$ απομακρύνεται από το $\displaystyle{{\rm A}}$ , δείξτε ότι ο λόγος $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}:{\rm M}{\rm B}}$ παίρνει τιμές στο $\displaystyle{\left( {0,1} \right)}$
04. Αν τα σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ διαιρούν το ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο $\displaystyle{\kappa :\lambda }$ , τα σημεία $\displaystyle{{\rm B},{\rm A}}$ διαιρούν το τμήμα $\displaystyle{{\rm N}{\rm M}}$ εσωτερικά και εξωτερικά στο λόγο $\displaystyle{\left( {\kappa + \lambda } \right):\left( {\kappa - \lambda } \right)}$
05. Πάνω σε μια ευθεία παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle{{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }}$ . Αν τα $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ διαιρούν αρμονικά τα ευθ. τμήματα $\displaystyle{{{\rm A},{\rm B} και \[\Gamma \Delta }$ , τότε αν το αν το $\displaystyle{\Gamma }$ βρίσκεται μεταξύ των $\displaystyle{{{\rm A},{\rm B}}}$ , και το $\displaystyle{\Delta }$ θα βρίσκεται μεταξύ των $\displaystyle{{{\rm A},{\rm B}}}$ .
06. Σε μια δέσμη $\displaystyle{{\rm O}.{\rm A}{\rm M}{\rm B}{\rm N}}$ αν οι συζυγείς ακτίνες πχ., $\displaystyle{{\rm O}{\rm A},{\rm O}{\rm B}}$ είναι κάθετες μεταξύ τους, τότε η $\displaystyle{{\rm O}{\rm B}}$ είναι διχοτόμος της .
07. Αν δύο αρμονικές δέσμες έχουν μια ακτίνα κοινή, να δείξετε τότε ότι τα άλλα τρία ζεύγη ακτίνων, τεμνόμενα ορίζουν σημεία συνευθειακά
08. Δύο δέσμες έχουν κάθετες τις ακτίνες τους. Δείξτε ότι αν η μία είναι αρμονική τότε και η άλλη θα είναι αρμονική
09. Δίνονται δύο αρμονικές σημειοσειρές $\displaystyle{{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }}$ και $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}',\Gamma ',\Delta ' }$ που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Δείξτε ότι οι ευθείες των $\displaystyle{{\rm B}{\rm B}',\Gamma \Gamma ',\Delta \Delta ' }$ περνούν από το ίδιο σημείο
10. Δύο δέσμες έχουν μια ακτίνα κοινή. Αν τα άλλα τρία ζεύγη ακτίνων τέμνονται σε σημεία συνευθειακά, να δείξετε ότι αν η μία δέσμη είναι αρμονική τότε κι άλλη είναι επίσης αρμονική
11. Δίνονται περιφέρεια $\displaystyle{C}$ κέντρου $\displaystyle{{\rm O}}$ και σημείο $\displaystyle{{\rm A}}$ πάνω σ’ αυτήν. Η εφαπτόμενη της $\displaystyle{C}$ στο $\displaystyle{{\rm A}}$ τέμνει την ευθεία της διαμέτρου $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ , σε σημείο $\displaystyle{{\rm K}}$ . Φέρουμε την εφαπτόμενη $\displaystyle{{\rm K}\Lambda }$ της $\displaystyle{C}$ . Αν $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ τα σημεία τομής της ευθείας $\displaystyle{{\rm K}\Lambda }$ από τις προεκτάσεις των $\displaystyle{{{\rm A}\Gamma }}$ , $\displaystyle{{{\rm A}\Delta }}$ , να δείξετε ότι τα $\displaystyle{{\rm K},\Lambda ,{\rm M},{\rm N}}$ αποτελούν αρμονική σημειοσειρά.
12. Δίνονται περιφέρεια $\displaystyle{C}$ κέντρου $\displaystyle{{\rm O}}$ . Η εφαπτόμενη της $\displaystyle{C}$ σε τυχαίο σημείο $\displaystyle{\Gamma }$ αυτής τέμνει την ευθεία μιας διαμέτρου $\displaystyle{{{\rm A}{\rm B}}}$ σε σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ . Από το $\displaystyle{{\rm M}}$ φέρουμε μια ευθεία που τέμνει την $\displaystyle{C}$ στα $\displaystyle{{\rm K},\Lambda }$ και από το $\displaystyle{\Gamma }$ φέρουμε κάθετη προς την $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{{\rm K}\Lambda }$ στο $\displaystyle{{\rm N}}$ . Αν $\displaystyle{{\rm P}}$ το μέσο του $\displaystyle{{\rm K}\Lambda }$ , δείξτε ότι $\displaystyle{\left( {{\rm K}\Lambda } \right)^2 = 4 \cdot {\rm P}{\rm M} \cdot {\rm P}{\rm N}}$
13. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και η διάμεσος $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}}$ αυτού. Δείξτε ότι η αρμονική συζυγής της $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}}$ ως προς τις $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ είναι η ευθεία που περνά από το $\displaystyle{{\rm A}}$ και είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$
14. Τετράγωνο $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, $\displaystyle{{\rm M}}$ τυχαίο σημείο του περίκυκλου του τετραγώνου. Δείξτε ότι οι $\displaystyle{{\rm M}{\rm A},{\rm M}{\rm B},{\rm M}\Gamma ,{\rm M}\Delta }$ αποτελούν αρμονική δέσμη
15. Δίνονται δύο αρμονικές σημειοσειρές $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }$ και $\displaystyle{{\rm A}_1 ,{\rm B}_1 ,\Gamma _1 ,\Delta _1 }$ . Δείξτε ότι, αν οι ευθείες $\displaystyle{{\rm A}{\rm A}_1 ,{\rm B}{\rm B}_1 ,\Gamma \Gamma _1 ,\Delta \Delta _1 }$ περνούν από το ίδιο σημείο $\displaystyle{{\rm K}}$ , τότε και η $\displaystyle{\Delta \Delta _1 }$ διέρχεται από το $\displaystyle{{\rm K}}$ .
16. Δίνεται παραλ/μο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ . Από το $\displaystyle{{\rm A}}$ φέρουμε παράλληλη της $\displaystyle{\Delta {\rm B}}$ η οποία τέμνει την ευθεία $\displaystyle{\Gamma {\rm B}}$ στο $\displaystyle{{\rm E}}$ . Δείξτε ότι η δέσμη $\displaystyle{{\rm A}.{\rm E}\Gamma {\rm B}\Delta }$ είναι αρμονική
17. Τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ σημειώνουμε με $\displaystyle{{\rm P},{\rm O},G,H}$ αντίστοιχα το κέντρο του κύκλου Euler, το περίκεντρο, το βαρύκεντρο και το ορθόκεντρο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , να δείξετε ότι η δέσμη $\displaystyle{{\rm A}.{\rm P}{\rm O}GH}$ είναι αρμονική δέσμη
18. Δίνονται: $\displaystyle{\left. i \right)}$ τετράγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ , $\displaystyle{ \left. {ii} \right)}$ περιφέρεια $\displaystyle{C_{\left( {\Delta .\Delta {\rm A}} \right)} }$ , $\displaystyle{ \left. {iii} \right)}$ περιφέρεια $\displaystyle{C_1 }$ με διάμετρο $\displaystyle{\Delta {\rm A}}$ , $\displaystyle{\left.{iv} \right)}$ ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ περνά από το $\displaystyle{\Delta }$ και τέμνει τον $\displaystyle{C_{\left( {\Delta .\Delta {\rm A}} \right)} }$ στα $\displaystyle{{\rm K},{\rm K}_1 }$ και τον $\displaystyle{C}$ στα $\displaystyle{\Lambda ,\Lambda _1 }$ . Δείξτε ότι $\displaystyle{\left( {{\rm K},{\rm K}_1 ,\Lambda ,\Lambda _1 } \right) = -1 }$
19. Δίνονται τέσσερα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta ,{\rm M}}$ συνευθειακά, με $\displaystyle{\Gamma }$ μεταξύ των $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και $\displaystyle{\Gamma }$ εκτός του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Αν $\displaystyle{{\rm M}}$ μέσο του τμήματος $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ δείξτε ότι μια ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta } \right) = - 1}$ , είναι $\displaystyle{\overline {.M\Gamma } \cdot \overline {{\rm M}\Delta } + \overline {{\rmM}{\rm A}} \cdot \overline {{\rm M}{\rm B}} = 0}$
20. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } \right)}$ και το ύψος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ αυτού. Ένας κύκλος εφάπτεται στις $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ . Αν η ευθεία της διαμέτρου του $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}}$ περνά από τα $\displaystyle{{\rm A},\Delta }$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\rm N},{\rm M},\Delta } \right) = - 1}$
21. Δείξτε ότι δύο Απολλώνιοι κύκλοι ως προς τα ίδια σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ δεν είναι δυνατό να έχουν κοινά σημεία [υπόδειξη: αν τα ζεύγη σημείων $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ και $\displaystyle{{\rm E},{\rm Z}}$ είναι αρμονικά συζυγή των $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ με λόγους $\displaystyle{\mu ,\nu }$ αντίστοιχα…[κοίτα ιδιότητες 02,01]
22. Δείξτε ότι αν τέσσερα σημεία $\displaystyle{O,{\rm A},\Gamma ,\Delta }$ είναι συνευθειακά και $\displaystyle{O{\rm A}^2 = \overline {O\Gamma } \cdot \overline {O\Delta } }$ , τότε το συμμετρικό του $\displaystyle{{\rm A}}$ ως προς το $\displaystyle{O}$ συμπίπτει με το αρμονικό συζυγές του $\displaystyle{{\rm A}}$ ως προς τα $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$
23. Δίνεται παραλ/μο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ με $\displaystyle{{\rm E}}$ το μέσο της $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ . Η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος της $\displaystyle{{\rm E}\Gamma {\rm B}}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ στα $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}.}$ . Δείξτε ότι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}^2 = \overline {{\rm A}{\rm M}} \cdot \overline {{\rm A}{\rmN}} }$
24. Αν τα σημεία $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ διαιρούν αρμονικά ένα ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , του οποίου μέσο είναι το $\displaystyle{O}$ , δείξτε ότι $\displaystyle{O\Gamma ^2 + O\Delta ^2 = \Gamma \Delta ^2 + 2O{\rm A}^2 }$
25. Τέσσερα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }$ αποτελούν αρμονική σημειοσειρά. Αν $\displaystyle{{\rm M}}$ το αρμονικό συζυγές του $\displaystyle{\Delta }$ ως προς τα $\displaystyle{{\rm A},\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm N}}$ επίσης του $\displaystyle{\Delta }$ ως προς $\displaystyle{{\rm B},\Gamma }$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\left( {{\rm M},{\rm N},\Gamma ,\Delta } \right) = - 1}$
26. Τέσσερα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }$ αποτελούν αρμονική σημειοσειρά και $\displaystyle{{\rm M}}$ είναι μέσο του ευθ. τμήματο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Δείξτε ότι
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ $\displaystyle{1:\left( {\overline {\Gamma {\rm A}} \cdot \overline {\Gamma {\rm B}} } \right) + 1:\left( {\overline {\Delta {\rm A}} \cdot \overline {\Delta {\rm B}} } \right) = 1:\left( {\overline {{\rm M}{\rm A}} \cdot \overline {{\rm M}{\rm B}} } \right)}$
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ $\displaystyle{1:\overline {{\rm B}\Gamma } = 1:\overline {{\rm A}{\rm B}} + 1:\overline {{\rm A}\Delta } + 1:\overline {\Gamma \Delta } }$
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ $\displaystyle{\overline {\Delta {\rm A}} \cdot \overline {\Delta {\rm B}} = \overline {\Delta \Gamma } \cdot \overline {\Delta {\rm M}} }$
27. Τέσσερα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }$ δίνονται με τη διάταξη αυτή. Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $\displaystyle{{\rm M}}$ απ’ το οποίο τα ευθ. τμήματα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},\Gamma \Delta }$ φαίνονται με τις ίδιες γωνίες, είναι ένας κύκλος που έχει άκρα μιας διαμέτρου του το ζεύγος των σημείων που διαιρούν αρμονικά καθένα από τα ζεύγη σημείων $\displaystyle{{\rm A},\Delta }$ και $\displaystyle{{\rm B},\Gamma }$
28. Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ η δέσμη Α.ΟΗΙΙα είναι αρμονική [όπου $\displaystyle{{\rm O},{\rm H},{\rm I},{\rm I}_\beta }$ είναι το περίκεντρο, το ορθόκεντρο, το έγκεντρο και το παράκεντρο στη $\displaystyle{{\rm A}}$ , του τριγώνου αναφοράς]
29. Μιας αρμονικής δέσμης, γνωρίζουμε τις ακτίνες της $\displaystyle{O{\rm A},O{\rm B},O\Gamma }$ . Να κατασκευάσετε την τέταρτη ακτίνα $\displaystyle{O\Delta }$ αυτής της δέσμης
30. Δείξτε ότι:
α) οι παράλληλες που άγονται από δοσμένο σημείο προς τις τέσσερες ακτίνες μιας αρμονικής δέσμης, σχηματίζουν αρμονική δέσμη
β) οι κάθετες που άγονται από δοσμένο σημείο προς τις τέσσερες ακτίνες μιας αρμονικής δέσμης, σχηματίζουν αρμονική δέσμη
γ) τα συμμετρικά, ως προς δοσμένο άξονα, των τεσσάρων ακτίνων αρμονικής δέσμης, σχηματίζουν αρμονική δέσμη
31. Σε παραλληλόγραμμο $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta }$ , φέρουμε την $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}\parallel {\rm B}\Delta }$ δείξτε ότι η δέσμη $\displaystyle{{\rm E}.{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ είναι αρμονική
32. Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ φέρουμε το ύψος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ , τη διάμεσο $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}}$ και τις παράλληλες από το $\displaystyle{{\rm M}}$ προς τις $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ οι οποίες τέμνουν την ευθεία του $\displaystyle{{{\rm A}\Delta }}$ στα $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}}$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι $\displaystyle{\left( {{\rm A},\Delta ,{\rm E},{\rm Z}} \right) = - 1}$
33. Δείξτε ότι ο διπλός λόγος μιας τετράδας σημείων μιας ευθείας, διατηρείται όταν εναλλάξουμε δύο απ’ αυτά και αμέσως μετά εναλλάξουμε και τα άλλα δύο.
34. Από την κορυφή $\displaystyle{{\rm A}}$ παραλ/μου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ φέρουμε ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}\parallel {\rm B}\Delta }$ . Δείξτε ότι η δέσμη $\displaystyle{{\rm A}.{\rm E}\Gamma {\rm B}\Delta }$ είναι αρμονική
35. Σε σημείο $\displaystyle{\Gamma }$ , ενός κύκλου με διάμετρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , φέρουμε εφαπτόμενη η οποία τέμνει την ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ στο Μ. Από το $\displaystyle{{\rm M}}$ φέρουμε τη δεύτερη εφαπτόμενη του δοσμένου κύκλου κι ας είναι $\displaystyle{\Delta }$ το σημείο επαφής. Οι ευθείες $\displaystyle{\Gamma {\rm A},\Gamma {\rm B}}$ τέμνουν τη δεύτερη εφαπτόμενη στα $\displaystyle{{{\rm E},{\rm Z}}}$ . Δείξτε ότι τα $\displaystyle{{\rm M},{\rm E},\Delta ,{\rm Z}}$ αποτελούν μια αρμονική τετράδα
36. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm K},\Lambda }$ τα αρμονικά συζυγή των $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ . Αν τα σημεία $\displaystyle{{\rm K},\Lambda }$ μεταβάλλονται, να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος του περίκεντρου του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm K}\Lambda }$ είναι μια ευθεία γραμμή
37. Δίνονται]: η διάμεσος $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}}$ τυχαίου τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , το ύψος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ αυτού και ότι ο κύκλος με διάμετρο την $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}}$ τέμνει τον περίκυκλο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ στο $\displaystyle{{\rm E}}$ . Δείξτε ότι η δέσμη Α.ΒΔΓΕ είναι αρμονική

ykerasar · #17

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 10ο

ΓΙΑ ΤΙΣ "10 ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΤΟΥ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ"

ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ
Με την ευκαιρία της αναφοράς μας στον γ.τ. του κύκλου του Απολλώνιου, θα ήταν σοβαρή παράλειψη το να μη αναφέρουμε τις περίφημες δέκα (10) κατασκευές του. Επειδή πιστεύουμε πως το έργο του Απολλώνιου είναι ύψιστης σημασίας, θεωρούμε σκόπιμο να παραθέσουμε ένα μικρό ιστορικό σημείωμα.
Εδώ σημειώνουμε πως θα ακολουθήσουν άλλα δύο σημειώματα και μετά απ’ αυτά κλείνει η παράθεση τέτοιων σημειωμάτων. Το 11ο σημείωμα θα είναι μια αναφορά στους γεωμετρικούς τόπους και το 12ο μια ενδεικτική αναφορά στην τομή στερεού με επίπεδο.

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
Γύρω στα 224 π.Χ. στην Αλεξάνδρεια εργαζόταν πάνω στα Μαθηματικά, και ιδιαίτερα πάνω στη Γεωμετρία, ο Απολλώνιος ο Περγαίος ο δεύτερος σε σπουδαιότητα μαθηματικός της αρχαιότητας μετά τον Αρχιμήδη. Οι εργασίες του Απολλώνιου πάνω στις κωνικές τομές αποτέλεσαν τη βάση για τη δημιουργία της Αναλυτικής Γεωμετρίας από τον Ντεκάρτ (René Descartes) και το Φερμά (Pierre de Fermat), της Προβολικής Γεωμετρίας από τον Πασκάλ (Blaise Pascal) και τον Ντεζάργκ (Gérard Desargues), αλλά χρησίμεψαν και σαν μαθηματικό όργανο στις έρευνες του Κέπλερ (Johannes Kepler), του Γαλιλαίου (Galileo Galilei) και του Νεύτωνα (Isaac Newton) πάνω στη Μηχανική και την Αστρονομία.
Ο μεγαλοφυής αυτός γεωμέτρης είναι ο πρώτος που διατύπωσε την άποψη πως, τελικά, από τρία είδη καμπυλών (Έλλειψη, Παραβολή, Υπερβολή), παίρνουμε όλες τις άλλες καμπύλες

ΜΕΡΟΣ Α΄: ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΤΟΥ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ
Ένα είναι το κεντρικό πρόβλημα σ’ αυτές τις κατασκευές:
η κατασκευή κύκλου που να είναι εφαπτόμενος σε τρείς δοσμένους κύκλους.
Απ’ αυτό το κεντρικό πρόβλημα προκύπτουν τα υπόλοιπα εννέα (09), αρκεί να λάβουμε υπ’ όψη μας πως:
α) ένα σημείο μπορεί να θεωρηθεί κύκλος μηδενικής ακτίνας. Αυτό σημαίνει πως όταν λέμε πως ένας κύκλος "εφάπτεται" σε σημείο, αρκεί να δείξουμε ότι ο κύκλος αυτός περνά απ’ αυτό το σημείο.
β) η ευθεία μπορεί να θεωρηθεί κύκλος με ακτίνα άπειρου μήκους. Λαμβάνοντας υπόψη μας πως η διάκεντρος δύο κύκλων θεωρείται κάθετος σ’ αυτά τα σχήματα, και ότι το σημείο επαφής τους είναι κοινό των δύο σχημάτων και της διακέντρου, οδηγούμαστε στη γνωστή κατασκευή.
Αντικείμενο αυτών των δέκα προβλημάτων είναι η κατασκευή κύκλου που να εφάπτεται σε τρία, πάντα, στοιχεία. Τα στοιχεία αυτά είναι: σημείο, ευθεία, κύκλος.

ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ
ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
Επειδή το θέμα των κατασκευών έχει σχεδόν αποβληθεί από τις σχολικές αίθουσες, εμείς θα παραθέσουμε αρχικά τις δέκα κατασκευές με τη μορφή εκφωνήσεων και υποδείξεων και μετά απ’ αυτό θα παραθέσουμε λεπτομερώς όλη τη διαδικασία των κατασκευών για μια απ’ αυτές.
Σκοπός μας είναι να δείξουμε στους νέους συναδέλφους πως γινόταν η πλήρης διαπραγμάτευση ενός θέματος κατασκευής.
Η διαπραγμάτευση πραγματοποιείται σε τέσσερα βήματα:
α΄ βήμα. Το πρώτο βήμα φέρει τον τίτλο «ανάλυση». Σ’ αυτό το βήμα δουλεύουμε με την «αναλυτική μέθοδο»
[ i. αναλυτική: είναι ο τρόπος με βάσει τον οποίο ανεβαίνουμε από το συμπέρασμα στην υπόθεση, με μια σειρά από αναγκαίες και ικανές συνθήκες.
ii. συνθήκη "αναγκαία": λέμε "αναγκαία συνθήκη" μιας ιδιότητας κάθε συμπέρασμα που έπεται από την ιδιότητα αυτή.
iii. συνθήκη "ικανή": λέμε "ικανή συνθήκη" μιας ιδιότητας κάθε υπόθεση απ’ την οποία έπεται η ιδιότητα αυτή
iv. συνθήκη "αναγκαία και ικανή": μια ιδιότητα Β θα λέμε ότι είναι συνθήκη "αναγκαία και ικανή" της ιδιότητας Α, όταν οι δύο αυτές ιδιότητες έπονται αμοιβαία. Δηλ. αν: (από Α έπεται Β) και (από Β έπεται Α)]
Σύμφωνα με την «αναλυτική μέθοδο», ξεκινάμε τη διαπραγμάτευση θεωρώντας ότι κατασκευάσαμε το γεωμετρικό αντικείμενο που μας ζήτησαν. Στη συνέχεια με μια σειρά αναγκαίων και ικανών συνθηκών φτάνουμε στην υπόθεση. Εδώ σταματά η ανάλυση. Η ανάλυση έχει σαν σκοπό να μας δείξει ότι υπάρχει δρόμος που αν τον ακολουθήσουμε μπορούμε να φτάσουμε στο συμπέρασμα (λύση).

β΄ βήμα. Το δεύτερο βήμα φέρει τον τίτλο «σύνθεση». Η σύνθεση είναι μια σειρά αναγκαίων συνθηκών με βάση το δρόμο που μας αποκάλυψε η ανάλυση.

γ΄ βήμα. Το τρίτο βήμα φέρει τον τίτλο «απόδειξη». Σκοπός αυτού του βήματος είναι να αποδείξουμε ότι το κατασκεύασμά μας πληροί τις προϋποθέσεις που τέθηκαν από το πρόβλημα.

δ΄ βήμα. Το τέταρτο βήμα φέρει τον τίτλο «διερεύνηση». Σκοπός αυτού του βήματος είναι να απαντήσει στο ερώτημα: «κάτω από ποιες προϋποθέσεις το πρόβλημα έχει μηδέν ή μία ή δύο ή…ή ν λύσεις;». Η διερεύνηση θεωρείται το σημαντικότερο βήμα στο πρόβλημα των κατασκευών.

ΣΑΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΙΑ ΠΛΗΡΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ
Να κατασκευαστεί κύκλος που να περνά από δύο δοσμένα σημεία και να εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία [κοίτα συνημμένο σχήμα]

απόδειξη

ΑΝΑΛΥΣΗ Ας είναι $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ τα δοσμένα σημεία και $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ η δοσμένη ευθεία. Έστω $\displaystyle{{\rm M}}$ η τομή των γνωστών ευθειών $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ και $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ . Αυτό σημαίνει πως το σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ είναι γνωστό. Ας δεχτούμε ότι κατασκευάσαμε τον ζητούμενο κύκλο $\displaystyle{C_{\rm K} }$ που περνά από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και εφάπτεται στην ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ στο σημείο $\displaystyle{\Gamma }$ αυτής. Τότε έχουμε:
$\displaystyle{\Delta _{C_{\rm K} }^{\rm M} }$ $\displaystyle{\[= {\rm M}\Gamma ^2 = {\rm M}{\rm B} \cdot {\rm M}{\rm A} = \lambda ^2 = \sigma \tau \alpha \theta .}$ $\displaystyle{ \left( 1 \right)}$
Αφού τα τμήματα $\displaystyle{{\rm M}{\rm A},{\rm M}{\rm B}}$ είναι γνωστά, από την $\displaystyle{ \left( 1 \right)}$ συμπεραίνουμε πως το τμήμα $\displaystyle{{\rm M}\Gamma }$ είναι γνωστό, άρα γνωστή η θέση του $\displaystyle{\Gamma }$ , άρα και ο κύκλος $\displaystyle{C_{\rm K} }$ είναι γνωστός, άρα το πρόβλημά μας ανάγεται ισοδύναμα στο: να κατασκευαστεί κύκλος που να διέρχεται από τρία γνωστά σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ .

ΣΥΝΘΕΣΗ (ή ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ) Κατά τα γνωστά, κατασκευάζω τον κύκλο $\displaystyle{C_{\rm K} }$ που να περνά από τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ (περίκυκλος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ )

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Το σημείο $\displaystyle{\Gamma }$ το κατασκευάσαμε ώστε να ικανοποιείται η ισότητα
$\displaystyle{{\rm M}\Gamma ^2 = {\rm M}{\rm B} \cdot {\rm M}{\rm A}}$
Αυτή η σχέση σημαίνει πως ο κύκλος $\displaystyle{C_{\rm K} }$ περνά από τα δοσμένα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και εφάπτεται της δοσμένης ευθείας $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Άρα ο $\displaystyle{C_{\rm K} }$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του προβλήματος, άρα είναι ο ζητούμενος.

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Παρατηρούμε πως η δυνατότητα κατασκευής του $\displaystyle{C_{\rm K} }$ εξαρτάται άμεσα από τη δυνατότητα κατασκευής του σημείου $\displaystyle{\Gamma }$ , με την ιδιότητα που περιγράφεται από τη σχέση $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ , δηλ. με τη δυνατότητα να μπορούμε να φέρουμε εφαπτόμενη από το $\displaystyle{{\rm M}}$ , δηλ. το $\displaystyle{{\rm M}}$ να βρίσκεται στην προέκταση του ευθ. τμήματος $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Μετά απ’ αυτά διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ και η ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ δεν είναι παράλληλη της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Τότε $\displaystyle{\left( {\sigma \chi \mu \alpha 1} \right)}$ γράφουμε έναν ημίκυκλο $\displaystyle{C_1 }$ με διάμετρο $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}}$ . Φέρουμε ευθεία κάθετη στη $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}}$ , που τέμνει τον $\displaystyle{C_1 }$ στο $\displaystyle{\Delta }$ . Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm M}\Delta {\rm A}}$ έχουμε ότι $\displaystyle{{\rm M}\Delta ^2 = {\rm M}{\rm B} \cdot {\rm M}{\rm A}}$ . Με αρχή το $\displaystyle{{\rm M}}$ παίρνω πάνω στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm M}\Gamma = {\rm M}\Delta }$ . Αλλά, σ’ αυτή την περίπτωση, υπάρχει κι άλλο ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm M}\Gamma _1 = {\rm M}\Delta }$ . Άρα σ’ αυτή την περίπτωση μπορούμε να κατασκευάσουμε δύο κύκλους που να περνούν από τις τριάδες σημείων $\displaystyle{{\rm M},{\rm A},\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm M},{\rm A},\Gamma _1 }$ . Δηλ. έχουμε δύο λύσεις.
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ και η ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ είναι παράλληλη της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Το $\displaystyle{{\rm M}}$ βρίσκεται σε άπειρη απόσταση από τα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και το σημείο $\displaystyle{\Gamma }$ βρίσκεται με ως εξής: Φέρουμε τη μεσοκάθετη του ευθ. τμήματος $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ στο $\displaystyle{\Gamma }$ και το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ στο $\displaystyle{{\rm O}}$ . Ο κύκλος $\displaystyle{\left( {{\rm O},{\rm O}\Gamma } \right)}$ είναι ο ζητούμενος, δηλ. το πρόβλημα έχει μοναδική λύση.
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ Τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ βρίσκονται πάνω στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ , άρα οποιοσδήποτε κύκλος περάσει από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ δεν μπορεί να εφάπτεται της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Σ’ αυτή την περίπτωση το πρόβλημα είναι αδύνατο.
$\displaystyle{\left. \delta \right)}$ Τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Άρα οποιοσδήποτε κύκλος περνά από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ θα έχει στο εσωτερικό του το $\displaystyle{{\rm M}}$ , δηλ. αδυνατούμε να φέρουμε εφαπτόμενη, δηλ. σ’ αυτή την περίπτωση το πρόβλημα είναι αδύνατο.

ΜΕΡΟΣ Β΄: ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ

Ι. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ – ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΔΕΚΑ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ

πρόβλημα 01 [τρία σημεία]
να κατασκευαστεί κύκλος που να περνά από τρία δοσμένα σημεία
υπόδειξη. αρκεί να κατασκευάσουμε τον περίκυκλο του τριγώνου που ορίζουν τα τρία σημεία.

πρόβλημα 02
να κατασκευαστεί κύκλος που να περνά από δύο δοσμένα σημεία και να εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία

πρόβλημα 03
να κατασκευαστεί κύκλος που να περνά από δοσμένο σημείο και να εφάπτεται σε δύο δοσμένες ευθείες
υπόδειξη. Αν είναι $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right),{\rm A}}$ οι δοσμένες ευθείες και το δοσμένο σημείο, βρίσκομε το συμμετρικό $\displaystyle{A_1 }$ του $\displaystyle{{\rm A}}$ ως προς τη διχοτόμο της γωνίας των $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right)}$ . Έτσι αναγόμαστε στην προηγούμενη κατασκευή.

πρόβλημα 04
να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται σε τρείς δοσμένες ευθείες
υπόδειξη. Αρκεί να κατασκευάσουμε τον έγκυκλο και τους τρεις παράκυκλους του τριγώνου που ορίζουν οι τρεις δοσμένες ευθείες.

πρόβλημα 05
να κατασκευαστεί κύκλος που περνά από δύο δοσμένα σημεία και εφάπτεται σε δοσμένο κύκλο
υπόδειξη. Ας $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ τα δοσμένα σημεία και $\displaystyle{\left( {{\rm K},\rho } \right)}$ ο δοσμένος κύκλος και $\displaystyle{\left( {\Lambda ,r} \right)}$ ο ζητούμενος. Γράφουμε ένα κύκλο $\displaystyle{\left( {{\rm O},R} \right)}$ που να περνά από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και να τέμνει τον $\displaystyle{\left( {{\rm K},\rho } \right)}$ στα $\displaystyle{\Delta ,{\rm E}}$ . Ονομάζουμε $\displaystyle{{\rm M}}$ το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$ . Από το $\displaystyle{{\rm M}}$ φέρουμε την εφαπτόμενη $\displaystyle{{\rm M}\Gamma }$ του $\displaystyle{\left( {{\rm K},\rho } \right)}$ . Ο ζητούμενος κύκλος $\displaystyle{\left( {\Lambda ,r} \right)}$ είναι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ .

πρόβλημα 06
να κατασκευαστεί κύκλος που περνά από δοσμένο σημείο και εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία και δοσμένο κύκλο
υπόδειξη. Ας είναι $\displaystyle{{\rm A}}$ το δοσμένο σημείο, $\displaystyle{\left( {{\rm K},\rho } \right)}$ ο δοσμένος κύκλος και $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ η δοσμένη ευθεία. Από το $\displaystyle{{\rm A}}$ φέρουμε μια ευθεία κάθετη στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ που την τέμνει στο $\displaystyle{{\rm E}}$ και τον κύκλο $\displaystyle{\left( {{\rm K},\rho } \right)}$ στα $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ . Γράφουμε έναν κύκλο $\displaystyle{\left( {\Lambda ,\rho _1 } \right)}$ που περνά από τα $\displaystyle{{\rm A},\Delta ,{\rm E}}$ και ξανατέμνει την ευθεία $\displaystyle{\Gamma {\rm A}}$ στο $\displaystyle{{\rm B}}$ . Μετά γράφουμε τον κύκλο $\displaystyle{\left( {\Theta ,R} \right)}$ που να περνά από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ και να εφάπτεται στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ στο $\displaystyle{{\rm H}}$ . Ο κύκλος $\displaystyle{\left( {\Theta ,R} \right)}$ είναι ο ζητούμενος.

πρόβλημα 07
να κατασκευαστεί κύκλος που εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία και σε δύο δοσμένους κύκλους
υπόδειξη. Ας είναι $\displaystyle{\left( {{\rm A},\alpha } \right),\left( {{\rm B},\beta } \right)}$ οι δοσμένοι κύκλοι $\displaystyle{\left( {\alpha < \beta } \right)}$ , $\displaystyle{\left( \varepsilon \right}$ η δοσμένη ευθεία και $\displaystyle{\left( {{\rm O},r} \right)}$ ο ζητούμενος κύκλος. Ο κύκλος $\displaystyle{\left( {{\rm O},r + \alpha } \right)}$ περνά από το $\displaystyle{{\rm A}}$ , εφάπτεται του κύκλου $\displaystyle{\left( {{\rm B},\beta - \alpha } \right)}$ και εφάπτεται στην ευθεία $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right)}$ που είναι παράλληλη της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ σε μια απόσταση $\displaystyle{\alpha }$ . Μ’ αυτό τον τρόπο το πρόβλημα της κατασκευής του κύκλου $\displaystyle{\left( {{\rm O},r + \alpha } \right)}$ ανάγεται στην περίπτωση του προβλήματος (06) και το κέντρο $\displaystyle{{\rm O}}$ του $\displaystyle{\left( {{\rm O},r} \right)}$ είναι προσδιορισμένο.

πρόβλημα 08
να κατασκευαστεί κύκλος που περνά από δοσμένο σημείο και εφάπτεται σε δύο δοσμένους κύκλους
υπόδειξη. Τα σημεία επαφής $\displaystyle{{\rm M}N}$ του ζητούμενου κύκλου $\displaystyle{\left( {{\rm O},r} \right)}$ με τους δοσμένους κύκλους $\displaystyle{\left( {{\rm K},R_1 } \right),\left( {\Lambda ,R_2 } \right)}$ είναι συνευθειακά με το κέντρο ομοιοθεσίας $\displaystyle{\Sigma }$ των δοσμένων κύκλων. Από ‘δω προκύπτει ότι η ευθεία $\displaystyle{\Sigma {\rm A}}$ που συνδέει το $\displaystyle{\Sigma }$ με το δοσμένο σημείο $\displaystyle{{\rm A}}$ του $\displaystyle{\left( {{\rm O},r} \right)}$ ξανατέμνει τον $\displaystyle{\left( {{\rm O},r} \right)}$ σε σημείο $\displaystyle{{\rm B}}$ . Έχουμε
$\displaystyle{\Sigma {\rm A} \cdot \Sigma {\rm B} = \Sigma {\rm M} \cdot \Sigma {\rm N}}$
Τώρα, η τιμή της δεξιάς πλευράς αυτής της ισότητας είναι γνωστή. Άρα το $\displaystyle{{\rm B}}$ μπορεί να προσδιοριστεί πάνω στη δοσμένη ευθεία $\displaystyle{\Sigma {\rm A}}$ , και το πρόβλημα ανάγεται στο πρόβλημα $\displaystyle{\left( {05} \right)}$ .

πρόβλημα 09
να κατασκευαστεί κύκλος που εφάπτεται σε δύο δοσμένες ευθείες και σε δοσμένο κύκλο
υπόδειξη. Έστω $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right)}$ οι δοσμένες ευθείες, $\displaystyle{\left( {{\rm K},R} \right)}$ ο δοσμένος κύκλος και $\displaystyle{\left( {{\rm O},r} \right)}$ ο ζητούμενος. Ο κύκλος $\displaystyle{\left( {{\rm O},r + R} \right)}$ θα περνά από το κέντρο $\displaystyle{{\rm K}}$ και από το $\displaystyle{{\rm K}_1 }$ που είναι συμμετρικό του $\displaystyle{{\rm K}}$ ως προς τη διχοτόμο $\displaystyle{\left( \delta \right)}$ των ευθειών $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right)}$ [το $\displaystyle{{\rm O}}$ ανήκει στη $\displaystyle{\left( \delta \right)}$ ]. Επιπλέον ο $\displaystyle{\left( {{\rm O},r + R} \right)}$ θα εφάπτεται στην ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ που είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{\left( {\varepsilon _2 } \right)}$ και σε απόσταση $\displaystyle{R}$ απ’ αυτήν. Μ’ αυτό τον τρόπο η κατασκευή του $\displaystyle{\left( {{\rm O},r + R} \right)}$ ανάγεται στο πρόβλημα $\displaystyle{\left( {02} \right)}$ .

πρόβλημα 10
να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται τριών δοσμένων κύκλων
υπόδειξη. Ας είναι $\displaystyle{\left( {\Lambda ,R_1 } \right),\left( {{\rm K},R_2 } \right),\left( {{\rm N},R_3} \right)}$ [ή $\displaystyle{C_\Lambda ,C_{\rm K} ,C_{\rm N} }$ αντίστοιχα] οι δοσμένοι κύκλοι, με $\displaystyle{R_1 < R_2 < R_3 }$ . Ας υποθέσουμε πως κατασκευάσαμε τον ζητούμενο κύκλο $\displaystyle{C_{\rm M} }$ ο οποίος εφάπτεται στους δοσμένους κύκλους στα σημεία $\displaystyle{\Gamma ,{\rm A},{\rm E}}$ αντίστοιχα. Γράφουμε τον κύκλο $\displaystyle{\left( {{\rm M},{\rm M}\Lambda } \right)}$ [ή $\displaystyle{C_{\rm K} }$ ] που περνά από το $\displaystyle{\Lambda }$ και τέμνει τις ευθείες αν μάλιστα είναι και τα τρία μαζί στα $\displaystyle{{\rm B},\Delta }$ αντίστοιχα. Είναι
$\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\rm E}\Delta = \Gamma \Lambda = R_1 }$
Άρα είναι και
$\displaystyle{{\rm K}{\rm B} = R_2 - R_1 }$ , $\displaystyle{{\rm N}\Delta = R_3 - R_1 }$
Οι κύκλοι $\displaystyle{\left( {{\rm K},R_2 - R_1 } \right),\left( {{\rm N},R_3 - R_1 } \right)}$ [ή $\displaystyle{C_{{\rm K}_1 } ,C_{{\rm N}_1 } }$ ] είναι γνωστοί και εφάπτονται στον $\displaystyle{C_{{\rm M}_1 } }$ .
Μ’ αυτό τον τρόπο η κατασκευή του $\displaystyle{C_{\rm M} }$ ανάγεται στην κατασκευή του $\displaystyle{C_{{\rm M}_1 } }$ . Η κατασκευή του $\displaystyle{C_{{\rm M}_1 } }$ ανάγεται στο πρόβλημα $\displaystyle{\left( {08} \right)}$ .

ΙΙ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΓΙΑ ΛΥΣΗ

01. Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν γνωρίζουμε i) τη βάση του, ii) το άθροισμα (ή τη διαφορά) των άλλων δύο πλευρών και iii) και τη γωνία που σχηματίζει η διάμεσος στη βάση, με τη βάση αυτή.
02. Πάνω σε δοσμένη ευθεία να βρεθεί σημείο σε τρόπο ώστε το άθροισμα των εφαπτομένων απ’ αυτό το σημείο προς δύο δοσμένους κύκλους να είναι ίσο προς δοσμένο μήκος.
03. Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται σε δυο άνισους κύκλους και το κέντρο τους να βρίσκεται πάνω σε δοσμένο κύκλο.
04. Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν γνωρίζουμε i) τη βάση του, ii) το αντίστοιχο σ’ αυτήν ύψος και iii) και το άθροισμα των διαμέσων που αντιστοιχούνται στις άλλες δύο πλευρές.
05. Δίνονται τρεις κύκλοι $\displaystyle{C_1 ,C_2 ,C_3 }$ . Να κατασκευαστεί κύκλος που να αποκόπτει στους δοσμένους κύκλους χορδές με δοσμένα μήκη.
06. Δίνεται ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ και δυο σημεία που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος αυτής. Να βρεθεί πάνω στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)\ σημείο \[{\rm M}}$ , ώστε: $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}{\rm B} = max}$ .
07. Δίνονται οι κύκλοι $\displaystyle{\left( {{\rm K},R} \right),\left( {\Lambda ,\rho } \right)}$ και ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Να γραφεί κύκλος που να εφάπτεται του $\displaystyle{\left( {{\rm K},R} \right)}$ και της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ και να αποκόπτει από τον $\displaystyle{\left( {\Lambda ,\rho } \right)}$ χορδή δοσμένης διεύθυνσης.
08. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{\left( {{\rm O},R} \right)}$ και σημεία $\displaystyle{A}$ εκτός αυτού. Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται στο $\displaystyle{OA}$ και στον δοσμένο κύκλο και να έχει το κέντρο του πάνω στην εφαπτόμενη του κύκλου $\displaystyle{\left( {{\rm O},R} \right)}$ από το σημείο $\displaystyle{A}$ .
09. Δίνονται δύο ευθείες $\displaystyle{\left( \varepsilon \right),\left( \tau \right)}$ αι ένα σημείο $\displaystyle{A}$ . Να βρεθεί πάνω στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ που να ισαπέχει από την $\displaystyle{\left( \tau \right)}$ και το $\displaystyle{A}$ .
10. Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν γνωρίζουμε i) μια πλευρά του, ii) το αντίστοιχο σ’ αυτήν ύψος και iii) το άθροισμα (ή τη διαφορά) των άλλων δύο πλευρών.
11. Δίνονται κύκλος $\displaystyle{\left( {{\rm K},R} \right)}$ και ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται στα δοσμένα στοιχεία και το ευθ. τμήμα που έχει άκρα τα δύο σημεία επαφής, να έχει δοσμένο μήκος.
12. Δίνεται ένα σημείο $\displaystyle{{\rm P}}$ πάνω στην πλευρά $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Να βρεθεί ένα σημείο $\displaystyle{{\rm K}}$ πάνω στην $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ ώστε το μήκος $\displaystyle{{\rm P}{\rm K}}$ να είναι ίσο με το άθροισμα των αποστάσεων των σημείων $\displaystyle{{\rm P},{\rm K}}$ από τη $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .

ykerasar · #18

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 11ο

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

ΜΕΡΟΣ Α΄

προλεγόμενα Οι γεωμετρικοί τόποι αποτελούν την ψυχή της δυναμικής Γεωμετρίας και ένα απαραίτητο εργαλείο για τη σπουδή των γεωμετρικών κατασκευών. Ανάμεσα στους γεωμετρικούς τόπους και τις γεωμετρικές κατασκευές υπάρχει διαλεκτική σχέση. Δεν υπάρχουν οι μεν χωρίς τις δε.
Το σημείωμα αυτό είναι εμπνευσμένο από μια πολύ παλιά εργασία μας, αφιέρωμα σ’ αυτό το θέμα.

Σημείωση Υπενθυμίζουμε πως τα σημειώματα αυτά αφιερώνονται στους νέους μαθηματικούς με σκοπό να γνωρίσουν πως, τη χρυσή εποχή της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, δαπραγματευόμασταν τα θέματα χωρίς τη χρήση της Τριγωνομετρίας και της Ανάλυσης. Η διαπραγμάτευση των παραδειγμάτων είναι λεπτομερέστατη, σκόπιμα.

επισημάνσεις – ορισμοί – παρατηρήσεις
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ : η Ευκλείδεια Γεωμετρία, είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που μελετά τον τρισδιάστατο χώρο.
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ : χώρος, είναι μια φιλοσοφική έννοια και βασική μορφή του «Είναι». Για τις ανάγκες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, ο χώρος είναι το σύνολο όλων των σημείων.
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ :σχήμα, είναι κάθε υποσύνολο του χώρου. Από το άπειρο πλήθος σχημάτων, αντικείμενα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι μόνο εκείνα που μπορούμε να τα σχεδιάσουμε με κανόνα και διαβήτη.
$\displaystyle{\left. \delta \right)}$ :γνωστό σχήμα λέγεται κάθε σχήμα του οποίου γνωρίζουμε όλα τα στοιχεία.
$\displaystyle{\left. \varepsilon \right)}$ :γεωμετρικός τόπος, είναι ένα σημειοσύνολο του οποίου όλα τα στοιχεία (και μόνο αυτά), έχουν μια κοινή ιδιότητα. Αυτό το σημειοσύνολο μπορεί να είναι ένα γνωστό σχήμα (ολόκληρο ή μέρος αυτού) ή σύμπλεγμα γνωστών σχημάτων.
Είναι φανερό πως αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι οι γεωμετρικοί τόποι των οποίων τα σχήματα κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη.
$\displaystyle{\left. {\sigma \tau } \right)}$ :τα "άλλα" σχήματα. Τα σχήματα που δεν κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη, είναι αντικείμενα μελέτης άλλων γεωμετριών πέραν της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
$\displaystyle{\left. \zeta \right)}$ :ορισμός τριγώνου. Δίνονται τρία σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma }$ . Ανά δύο ορίζουν τρία ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ . Το σχήμα που αποτελούν αυτά τα ευθ. τμήματα ονομάζεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$
$\displaystyle{\left. \eta \right)}$ Λήμμα $\displaystyle{1}$ : Δίνεται ένα τόξο $\displaystyle{{\rm T}}$ , χορδής $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , του οποίου όλα τα σημεία "βλέπουν" την $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ με γωνία μέτρου $\displaystyle{\omega }$ . Αν ένα σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ του επιπέδου (που βρίσκεται προς το μέρος της $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ προς το οποίο βρίσκεται το τόξο του), "βλέπει" τη χορδή $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ με γωνία $\displaystyle{\omega }$ , τότε το $\displaystyle{{\rm M}}$ ανήκει στο τόξο $\displaystyle{{\rm T}}$ .
υπόδειξη.
Αν (σχήμα $\displaystyle{1}$ ) το $\displaystyle{{\rm M}}$ δεν ανήκει στο $\displaystyle{{\rm T}}$ , τότε η $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}}$ τέμνει το τόξο αυτό, σε σημείο $\displaystyle{\Delta }$ . Έχουμε διαδοχικά, $\displaystyle{\omega = \gamma \omega \nu .{\rm A}{\rm M}{\rm B} < \gamma \omega \nu .{\rm A}\Delta {\rm B} = \gamma \omega \nu .{\rm A}\Gamma {\rm B} = \omega }$ . Δηλ., $\displaystyle{\omega < \omega }$ , άτοπο. Άρα το $\displaystyle{{\rm M}}$ ανήκει στο τόξο $\displaystyle{{\rm T}}$ .

παρατηρήσεις στον ορισμό του τριγώνου
1. από τον ορισμό που δώσαμε προηγούμενα παρατηρούμε πως δεν απαγορεύουμε στα $\displaystyle{A,B,\Gamma }$ : $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ να είναι συνευθειακά και $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ ανά δύο ή ανά τρία να συμπίπτουν. Έτσι έχουμε την εικόνα:
● του "συμβατικού" τριγώνου [σχήμα $\displaystyle{2}$ ],
● του "ευθειοτριγώνου 1ης τάξης" [σχήμα $\displaystyle{3}$ ],
● του "ευθειοτριγώνου 2ης τάξης" [σχήμα $\displaystyle{4}$ ],
● του "ευθειοτριγώνου 3ης τάξης" [ή "σημειοτριγώνου"] [σχήμα $\displaystyle{5}$ ]
2. εδώ πρέπει να σημειώσουμε πως οι φορείς των πλευρών του τριγώνου (δηλ. οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται οι πλευρές), εξακολουθούν να υπάρχουν ακόμα και όταν μηδενίζεται το μήκος των πλευρών. Έτσι, αν ένα τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και συμβεί οι κορυφές $\displaystyle{A,B}$ να συμπέσουν, τότε ο φορέας της πλευράς $\displaystyle{AB}$ γίνεται ευθεία εφαπτόμενη του περίκυκλου στο σημείο σύμπτωσης των $\displaystyle{A,B}$ .
3. όλες οι ιδιότητες του "συμβατικού" τριγώνου ισχύουν και για τα "ευθειοτρίγωνα".
$\displaystyle{i)}$ "ευθειοτρίγωνο 1ης τάξης" (σχ. $\displaystyle{3}$ ): $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ το άθροισμα των γωνιών του είναι $\displaystyle{180^o} [\displaystyle{\gamma \omega \nu .{\rm B}{\rm A}\Gamma = 180^o }$ , $\displaystyle{\gamma \omega \nu .{\rm A}{\rm B}\Gamma = 0^o }$ , $\displaystyle{\gamma \omega \nu .{\rm B}\Gamma {\rm A} = 0^o }$ ]
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ το περίκεντρό του βρίσκεται σε άπειρη απόσταση από την ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ (μεσοκάθετοι των $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}}$ ),
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ το ορθόκεντρο βρίσκεται σε άπειρη απόσταση από την ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ (κάθετοι από τα $\displaystyle{A,B,\Gamma }$ προς τις $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B}}$ ).
$\displaystyle{ii)}$ "ευθειοτρίγωνο 2ης τάξης" (σχ.3):
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ είναι $\displaystyle{\gamma \omega \nu .{\rm A}{\rm B}\Gamma + \gamma \omega \nu .{\rm B}{\rm A}\Gamma = 180^o }$ , $\displaystyle{\gamma \omega \nu .{\rm A}\Gamma {\rm B} = 0^o }$ ,
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ το περίκεντρο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι το μέσο του $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ (ή $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ ),
$\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ ορθόκεντρο είναι το διπλό σημείο $\displaystyle{{\rm A}}$ (ή $\displaystyle{{\rm B}}$ ).
$\displaystyle{iii)}$ "ευθειοτρίγωνο 3ης τάξης" [ή "σημειοτρίγωνο"] (σχ. 4):
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ το άθροισμα των γωνιών του είναι $\displaystyle{180^o }$ , αφού όλοι οι φορείς των πλευρών συμπίπτουν σε έναν,
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ όλα τα υπόλοιπα στοιχεία (ορθόκεντρο, βαρύκεντρο, περίκεντρο,…), συμπίπτουν με το τριπλό σημείο $\displaystyle{{\rm A} - {\rm B} - \Gamma }$ .

σύμβαση. Στο εξής, για λόγους συντομίας. τις φράσεις "Ευκλείδεια Γεωμετρία", "γεωμετρικός τόπος", θα τις σημειώνουμε με $\displaystyle{{\rm E}\Gamma }$ , $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ .

ΜΕΡΟΣ Β΄

ομαδοποίηση των $\displaystyle{\gamma .\tau .}$

Ι. βασικά χαρακτηριστικά
καθοριστικό ρόλο παίζουν δύο βασικά χαρακτηριστικά:
$\displaystyle{\alpha .}$ περιγραφικά χαρακτηριστικά: οι συνθήκες που περιγράφουν την ύπαρξη του στοιχείου του οποίου τον $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ αναζητούμε.
$\displaystyle{\beta .}$ δυναμικά χαρακτηριστικά: οι συνθήκες που περιγράφουν την κίνηση του στοιχείου του οποίου τον $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ αναζητούμε.

παραδείγματα
παράδειγμα $\displaystyle{1}$ . Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma}$ $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } \right)}$ , στο οποίο η πλευρά $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ μένει σταθερή σε θέση και μέγεθος, ενώ η $\displaystyle{A\Gamma }$ μεταβάλλεται. Να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ του βαρυκέντρου $\displaystyle{{\rm M}}$ του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ .
Στο παράδειγμά μας:
● περιγραφικά χαρακτηριστικά είναι:
― $\displaystyle{i)}$ το σχήμα είναι τρίγωνο,
― $\displaystyle{ii)}$ το τρίγωνο είναι ισοσκελές,
― $\displaystyle{iii)}$ ίσες πλευρές είναι οι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ ,
― $\displaystyle{iv)}$ το $\displaystyle{{\rm M}}$ είναι σημείο τομής των διαμέσων του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ,
― $\displaystyle{v)}$ η πλευρά $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ έχει σταθερό μέγεθος
● δυναμικά χαρακτηριστικά είναι: η πλευρά $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ στρέφεται γύρω από τη σταθερή κορυφή $\displaystyle{{\rm A}}$ . Έτσι, η κίνηση της $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ θέτει σε κίνηση την κορυφή $\displaystyle{\Gamma }$ , η οποία θέτει σε κίνηση τη διάμεσο $\displaystyle{\Gamma {\rm Z}}$ , εξ αιτίας αυτού κινείται το βαρύκεντρο $\displaystyle{{\rm M}}$ . Άρα η κίνηση του $\displaystyle{{\rm M}}$ προσδιορίζεται από την κίνηση ενός άλλου σημείου, του $\displaystyle{\Gamma }$ .
παράδειγμα $\displaystyle{2}$ . Δίνονται δύο σημεία $\displaystyle{A,B}$ και ένα σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ εκτός της ευθείας $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ των σημείων $\displaystyle{{\rm M}}$ που ικανοποιούν τη συνθήκη
$\displaystyle{\mu \cdot {\rm M}{\rm A}^2 + \nu \cdot {\rm M}{\rm B}^2 = k^2 }$ $\displaystyle{\left( {\mu ,\nu ,k \in \Re } \right)}$
● περιγραφικά χαρακτηριστικά $\displaystyle{i)}$ τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},{\rm M}}$ δεν είναι συνευθειακά, $\displaystyle{ii)}$ τα $\displaystyle{{\mu ,\nu ,k \in \Re }}$
● δυναμικά χαρακτηριστικά η ειδική μορφή της μετρικής σχέσης που ικανοποιεί το $\displaystyle{{\rm M}}$ , "δίνει" κίνηση σ’ αυτό.

ΙΙ. μια πρώτη ομαδοποίηση
Τους $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ μπορούμε να τους κατατάξουμε σε δύο είδη, με τα παρακάτω χαρακτηριστικά γνωρίσματα:
● $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ α΄ είδους
είναι εκείνοι που, η κίνηση του σημείου του οποίου τον $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ αναζητούμε, προσδιορίζεται από την κίνηση κάποιου άλλου σημείου (όπως στο παράδειγμα 1)
● $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ β΄ είδους
είναι εκείνοι που, η κίνηση του σημείου του οποίου τον $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ αναζητούμε, προσδιορίζεται από κάποια μετρική σχέση (όπως στο παράδειγμα 2)

ΙΙΙ. τα βήματα για εντοπισμό του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ , στην $\displaystyle{{\rm E}\Gamma }$
σύμβαση. Τη γνωστή γραμμή (ευθεία, ευθ. τμήμα, κύκλος, τόξο κύκλου, ημιευθεία ή συμπλέγματα αυτών) ή την γνωστή επιφάνεια (επίπεδο, ημιεπίπεδο, παντού κλειστό χωρίο ή μερικά κλειστό) πάνω στην οποία βρίσκεται το σημείο του οποίου τον $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ αναζητούμε, θα την ονομάζουμε φορέα του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$
τα βήματα
$\displaystyle{1o }$ . προσδιορισμός φορέα (στην $\displaystyle{{\rm E}\Gamma }$ )
Βρίσκουμε ένα γνωστό σχήμα πάνω στο οποίο βρίσκεται το σημείο του οποίου αναζητούμε τον $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ . Αυτό το, γνωστό σχήμα, που εντοπίσαμε, ονομάζεται φορέας του γ.τ.
Για να είναι, μια γραμμή ή επιφάνεια, φορέας του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ (στην $\displaystyle{{\rm E}\Gamma }$ ) θα πρέπει να είναι γνωστό σχήμα. Δηλ.:
α) να είναι σχήμα κατασκευάσιμο με χάρακα και διαβήτη
β) να έχει ορισμένη θέση
γ) να έχει ορισμένο μέγεθος (όταν εκτείνεται περιορισμένα)
$\displaystyle{2o }$ . πρώτος προσδιορισμός του γ.τ. (στην $\displaystyle{{\rm E}\Gamma }$ )
Εξετάζουμε ποια σημεία του φορέα έχουν την ιδιότητα του γ.τ.. Για το σκοπό αυτό εξετάζουμε αν το πρόβλημα της κατασκευής του σημείου του οποίου τον γ.τ. αναζητούμε:
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ αν έχει λύση υπό προϋποθέσεις. Αυτό σημαίνει πως μέρος μόνο του φορέα είναι γ.τ.
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ αν έχει πάντα λύση. Αυτό σημαίνει πως ολόκληρος ο φορέας είναι
γ.τ.
$\displaystyle{3o }$ . αναζήτηση άλλων φορέων (στην $\displaystyle{{\rm E}\Gamma }$ )
Εξετάζουμε αν υπάρχουν σημεία έξω από τν αρχικό φορέα που να έχουν την ιδιότητα του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$
Στο ερώτημα αυτό απαντάμε εξετάζοντας πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα της κατασκευής του σημείου του οποίου το $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ αναζητούμε.
$\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ αν το πρόβλημα έχει πάντα μοναδική λύση τότε μόνο ο φορέας που εντοπίσαμε είναι $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ . Αν το πρόβλημα έχει μοναδική λύση υπό συνθήκες, τότε {\gamma .\tau .}[/tex], είναι μέρος του φορέα.
$\displaystyle{\left. \beta \right)}$ αν το πρόβλημα έχει περισσότερες της μιας λύσεις, τότε εκτός από τον φορέα που εντοπίσαμε υπάρχουν και άλλοι φορείς, ισάριθμοι του πλήθους των λύσεων. Στο ερώτημα ποιοι είναι αυτοί οι φορείς απαντά η διερεύνηση του προβλήματος της αντίστοιχης κατασκευής.

ΜΕΡΟΣ Γ΄

παραδείγματα
Παρακάτω θα δούμε, ενδεικτικά, τρεις $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ , τους οποίους θα αναπτύξουμε, όπως τον παλιό καλό καιρό.
παράδειγμα $\displaystyle{1^o }$
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } \right)}$ , στο οποίο η πλευρά $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ μένει σταθερή σε θέση και μέγεθος, ενώ η $\displaystyle{{{\rm A}\Gamma }}$ μεταβάλλεται. Να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ του βαρυκέντρου $\displaystyle{{\rm M}}$ του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ (σχήμα $\displaystyle{6}$ ).
απάντηση
$\displaystyle{1^o }$ βήμα: προσδιορισμός φορέα
$\displaystyle{i}$ είδος. $\displaystyle{\gamma .\tau .}$
Δεδομένου ότι η $\displaystyle{{{\rm A}\Gamma }}$ : $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ μένει σταθερή σε μέγεθος (ίση προς την $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ ), $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ το άκρο $\displaystyle{A}$ αυτής σταθερό σε θέση, σημαίνει πως αυτό που κινείται είναι η κορυφή $\displaystyle{\Gamma }$ . Κινούμενη η κορυφή $\displaystyle{\Gamma }$ , κινεί τη διάμεσος $\displaystyle{{\rm E}\Gamma }$ , η οποία, με τη σειρά της κινεί το βαρύκεντρο $\displaystyle{{\rm M}}$ . Άρα η κίνηση του $\displaystyle{{\rm M}}$ προσδιορίζεται από την κίνηση ενός άλλου σημείου, του $\displaystyle{\Gamma }$ . Άρα έχουμε $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ "πρώτου είδους".
$\displaystyle{ii}$ προσδιορισμός φορέα.
Το $\displaystyle{\Gamma }$ κινείται σε κύκλο $\displaystyle{C_{\rm A} }$ με κέντρο $\displaystyle{{\rm A}}$ και ακτίνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Αρκεί να διαπιστώσουμε ποια σχέση συνδέει τα $\displaystyle{{\rm M},\Gamma }$ . Αφού το $\displaystyle{{\rm M}}$ είναι βαρύκεντρο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , θα έχουμε $\displaystyle{\frac{{{\rm E}\Gamma }}{{{\rm E}{\rm M}}} = \frac{3}{1}}$ . Άρα το σημείο $\displaystyle{\rm M}}$ είναι ομοιόθετο του $\displaystyle{\Gamma }$ , κατά την ομοιοθεσία με κέντρο $\displaystyle{{\rm E}}$ και λόγο $\displaystyle{\frac{3}{1}}$ . Αυτό σημαίνει πως το σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ βρίσκεται πάνω σε κύκλο ομοιόθετο του $\displaystyle{C_{\rm A} }$ . Ας είναι $\displaystyle{{\rm O}}$ το ομοιόθετο του $\displaystyle{{\rm A}}$ κατά την προηγούμενη ομοιοθεσία. Άρα το $\displaystyle{{\rm M}}$ βρίσκεται πάνω στον κύκλο $\displaystyle{C_{\rm ο} }$ με $\displaystyle{\left( {{\rm O},\frac{1}{3}{\rm A}{\rm B}} \right)}$ . Ο $\displaystyle{C_{\rm ο} }$ είναι φορέας του τόπου.

$\displaystyle{2^o }$ βήμα. πρώτος προσδιορισμός του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ Δεδομένου ότι η κατασκευή του $\displaystyle{{\rm M}}$ είναι πάντα δυνατή, συμπεραίνουμε πως ολόκληρος ο φορές $\displaystyle{C_{\rm ο} }$ είναι $\displaystyle{\gamma .\tau .}$

$\displaystyle{3^o }$ βήμα. αναζήτηση άλλων φορέων
Επειδή η κατασκευή του $\displaystyle{{\rm M}}$ έχει μοναδική λύση, σημαίνει πως ο φορέας $\displaystyle{C_{\rm ο} }$ είναι μοναδικός.
συμπέρασμα Ο ζητούμενος $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ είναι ο $\displaystyle{C_{\rm O} }$ .

παράδειγμα $\displaystyle{2^o }$
Δίνονται δύο σημεία $\displaystyle{A,B}$ , $\displaystyle{\left( {\mu \varepsilon ,{\rm A}{\rm B} = \alpha } \right)}$ και ένα σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ εκτός της ευθείας $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ των σημείων $\displaystyle{{\rm M}}$ που ικανοποιούν τη συνθήκη
$\displaystyle{\mu \cdot {\rm M}{\rm A}^2 + \nu \cdot {\rm M}{\rm B}^2 = k^2}$ $\displaystyle{\left( {\mu ,\nu ,k \in R} \right)}$ $\displaystyle{\left( 1 \right)}$

απάντηση

$\displaystyle{1^0 }$ βήμα: προσδιορισμός φορέα
$\displaystyle{i}$ είδος $\displaystyle{\gamma .\tau .}$
είναι $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ "δευτέρου είδους", αφού η κίνηση του σημείου του οποίου τον $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ ζητάμε, ορίζεται από μια μετρική σχέση
$\displaystyle{\left. {ii} \right)}$ προσδιορισμός φορέα.
με ένα σημείο $\displaystyle{{\rm Z}}$ χωρίζω το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ σε λόγο $\displaystyle{\frac{\nu }{\mu }}$ και έχουμε διαδοχικά: $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z} = \frac{{\alpha \cdot \nu }}{{\mu + \nu }}}$ , $\displaystyle{{\rm B}{\rm Z} = \frac{{\alpha \cdot \mu }}{{\mu + \nu }}}$ $\displaystyle{\left( 2 \right)}$
εφαρμόζοντας το θεώρημα Stewart έχουμε:
$\displaystyle{{\rm M}{\rm A}^2 \cdot {\rm B}{\rm Z} + {\rm M}{\rm B}^2 \cdot {\rm A}{\rm Z} = {\rm M}{\rm Z}^2 \cdot {\rm A}{\rm B} + {\rm A}{\rm B}\cdot {\rm A}{\rm Z} \cdot {\rm B}{\rm Z}}$ $\displaystyle{\left( 3 \right)}$
οπότε από $\displaystyle{\left( 2 \right)}$ , $\displaystyle{\left( 3 \right)}$ έχουμε $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}^2 \cdot \frac{{\alpha \cdot \mu }}{{\mu + \nu }} + {\rm M}{\rm B}^2 \cdot \frac{{\alpha \cdot \nu }}{{\mu + \nu }} = {\rm M}{\rm Z}^2 \cdot \alpha + \alpha \cdot \frac{{\alpha \cdot \nu }}{{\mu + \nu }} \cdot \frac{{\alpha \cdot \mu }}{{\mu + \nu }}}$ , απ’ την οποία με διαίρεση κατά μέλη, με $\displaystyle{\frac{\alpha }{{\mu + \nu }}}$ , θα έχουμε $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}^2 \cdot \mu + {\rm M}{\rm B}^2\cdot \nu = {\rm M}{\rm Z}^2 \cdot \left( {\mu + \nu } \right) + \alpha ^2 \cdot \frac{{\nu \cdot \mu }}{{\mu + \nu }}}$ $\displaystyle{\left( 4 \right)}$
Από $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ , $\displaystyle{\left( 4 \right)}$ έχουμε:
$\displaystyle{{\rm M}{\rm Z} = \frac{1}{{\mu + \nu }} \cdot \sqrt {\left( {\mu + \nu } \right)k^2 - \mu \nu \alpha ^2 } = \sigma \tau \alpha \theta .}$ $\displaystyle{\left( 5 \right)}$
Η $\displaystyle{\left( 5 \right)}$ σημαίνει πως ο κύκλος $\displaystyle{C_{\rm Z} }$ $\displaystyle{\left( {{\rm Z},{\rm Z}{\rm M}} \right)}$ θα είναι φορέας του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$

$\displaystyle{2^o }$ βήμα. πρώτος προσδιορισμός του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$
Από την $\displaystyle{\left( 5 \right)}$ συμπεραίνουμε πως για να έχει λύση το πρόβλημα θα πρέπει
$\displaystyle{\left( {\mu + \nu } \right)k^2 - \mu \nu \alpha ^2 > 0}$ $\displaystyle{\left( 6\right)}$
Αν ικανοποιείται η $\displaystyle{\left( 6\right)}$ τότε ολόκληρος ο κύκλος $\displaystyle{\left( {{\rm Z},{\rm Z}{\rm M}} \right)}$ είναι $\displaystyle{\gamma .\tau .}$
$\displaystyle{3^o }$ βήμα. αναζήτηση άλλων φορέων
Από την $\displaystyle{\left( 6\right)}$ παίρνουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{k^2 > \frac{{\nu \cdot \mu }}{{\mu + \nu }} \cdot \alpha ^2 = \frac{{\mu \nu \alpha ^2 \left( {\mu + \nu } \right)}}{{\left( {\mu + \nu } \right)^2 }} = \frac{{\mu \nu ^2 \alpha ^2 }}{{\left( {\mu + \nu } \right)^2 }} + \frac{{\mu ^2 \alpha ^2 \nu }}{{\left( {\mu + \nu } \right)^2 }} = \mu \cdot {\rm A}{\rm Z}^2 + \nu \cdot {\rm B}{\rm Z}^2 }$ $\displaystyle{\left( 7 \right)}$
Δηλ. κάτω από την προϋπόθεση $\displaystyle{\left( 7 \right)}$ , η $\displaystyle{\left( 5 \right)}$ έχει μοναδική λύση, δηλ. δεν υπάρχουν άλλοι φορείς
Πρέπει
$\displaystyle{k^2 > \mu \cdot {\rm A}{\rm Z}^2 + \nu \cdot {\rm B}{\rm Z}^2 }$ , $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm B}{\rm Z}}} = \frac{\mu }{\nu }}$

συμπέρασμα Ο ζητούμενος $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ είναι ο κύκλος $\displaystyle{C_{\rm Z} }$ $\displaystyle{\left( {{\rm Z},{\rm Z}{\rm M}} \right)}$ .

παράδειγμα $\displaystyle{3^o }$
Πάνω σε ένα επίπεδο δίνονται δύο σημεία $\displaystyle{A,B}$ και μια σταθερή γωνία μέτρου $\displaystyle{\omega }$ . Να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ των σημείων $\displaystyle{{\rm M}}$ , αυτού του επιπέδου, τα οποία έχουν την ιδιότητα να "βλέπουν" το ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ υπό γωνία μέτρου $\displaystyle{\omega }$ (σχ. 1)

απάντηση
$\displaystyle{1^o }$ βήμα: προσδιορισμός φορέα
είδος είναι $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ "δευτέρου είδους", αφού η κίνηση του σημείου Μ, του οποίου τον $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ ζητάμε, ορίζεται από μετρική σχέση $\displaystyle{\left[ {\gamma \omega \nu .{\rm A}{\rm M}{\rm B} = \omega } \right]}$ (σχήμα $\displaystyle{8}$ )
προσδιορισμός φορέα.
Έστω $\displaystyle{\Lambda }$ το μέσο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Προς το μέρος της $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ προς το οποίο δεν βρίσκεται το σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ , κατασκευάζουμε μια $\displaystyle{\gamma \omega \nu .{\rm B}Ax_1 = \omega }$ . Στη συνέχεια φέρουμε την $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ κάθετη στην $\displaystyle{Ax_1 }$ και την μεσοκάθετη $\displaystyle{\left( {\varepsilon _1 } \right)}$ του ευθ. τμήματος $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Αυτές οι δύο κάθετες τέμνονται στο $\displaystyle{{\rm O}_1 }$ . Γράφουμε τον κύκλο $\displaystyle{C_1 }$ $\displaystyle{\left( {{\rm O}_1 ,{\rm O}_1 {\rm A}} \right)}$ . Ο κύκλος αυτός περνά από το $\displaystyle{{\rm M}}$ [λήμμα 1]. Δεδομένου ότι ο $\displaystyle{C_1 }$ : $\displaystyle{\left. \alpha \right)}$ είναι σχήμα κατασκευάσιμο με χάρακα και διαβήτη, $\displaystyle{\left. \beta \right)}$ έχει ορισμένη θέση, $\displaystyle{\left. \gamma \right)}$ έχει σταθερό μέγεθος, άρα ο $\displaystyle{C_1 }$ είναι ένας φορέας του ζητούμενου $\displaystyle{\gamma .\tau .}$

$\displaystyle{2^o }$ βήμα. πρώτος προσδιορισμός του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:
$\displaystyle{1. \gamma \omega \nu .{\rm B}Ax_1 < 90^o }$ .
Σ’ αυτή την περίπτωση το ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ δεν είναι διάμετρος του $\displaystyle{C_1 }$ , οπότε την συνθήκη του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ ικανοποιούν τα σημεία του τόξου $\displaystyle{{\rm T}_1 }$ (του $\displaystyle{C_1 }$ ), που βρίσκονται προς το μέρος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ προς το οποίο βρίσκεται το $\displaystyle{{\rm O}_1 }$ .
$\displaystyle{2. \gamma \omega \nu .{\rm B}Ax_1 = 90^o }$ .
Σ’ αυτή την περίπτωση το ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ είναι διάμετρος του $\displaystyle{C_1 }$ , οπότε την συνθήκη του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ ικανοποιούν όλα τα σημεία του $\displaystyle{C_1 }$ .
$\displaystyle{3. \gamma \omega \nu .{\rm B}Ax_1 > 90^o }$ .
Σ’ αυτή την περίπτωση το ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ δεν είναι διάμετρος του $\displaystyle{C_1 }$ , οπότε την συνθήκη του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ ικανοποιούν τα σημεία του τόξου $\displaystyle{\tau _1 }$ (του $\displaystyle{C_1 }$ ), που βρίσκονται προς το μέρος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ προς το οποίο δεν βρίσκεται το $\displaystyle{{\rm O}_1 }$ .

$\displaystyle{3^o }$ βήμα. αναζήτηση άλλων φορέων
Παρατηρούμε ότι το όλο "στήσιμο" του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ εξαρτάται από το ημιεπίπεδο, ως προς την ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , προς το οποίο κατασκευάζουμε τη $\displaystyle{{\rm B}{\rm A}x_1 }$ . Δεδομένου ότι τα ημιεπίπεδα είναι δύο, άρα φορέας του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ είναι και το συμμετρικό του $\displaystyle{C_1 }$ ως προς την ευθεία $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ [το κύκλο τον ονομάζουμε $\displaystyle{C_2 }$ και τα τόξα, τα αντίστοιχα των $\displaystyle{{\rm T}_1 ,\tau _1 }$ θα τα σημειώνουμε με $\displaystyle{{\rm T}_2 ,\tau _2 }$ αντίστοιχα]
Συμπέρασμα.
$\displaystyle{1. \gamma \omega \nu .{\rm B}Ax_1 < 90^o }$
$\displaystyle {\gamma .\tau .}$ είναι το σύμπλεγμα των τόξων $\displaystyle{{\rm T}_1 ,{\rm T}_2 }$
$\displaystyle{2. \gamma \omega \nu .{\rm B}Ax_1 = 90^o }$
$\displaystyle{\gamma .\tau .}$ είναι ο μοναδικός κύκλος $\displaystyle{C}$ που έχει διάμετρο το ευθ. τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$
$\displaystyle{3. \gamma \omega \nu .{\rm B}Ax_1 > 90^o }$
$\displaystyle{\gamma .\tau .}$ είναι το σύμπλεγμα των τόξων $\displaystyle{\tau _1 ,\tau _2 }$
παρατήρηση
τα σημεία $\displaystyle{A,B}$ είναι κι αυτά σημεία του $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ , γιατί, σύμφωνα με τις "παρατηρήσεις στον ορισμό του τριγώνου", αυτά τα σημεία "βλέπουν" τη χορδή $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ με $\displaystyle{\omega }$ .

ΜΕΡΟΣ Δ΄

σημείωση υπάρχει ολόκληρος ωκεανός ασκήσεων πάνω στους γ.τ. και τις κατασκευές [π.χ. κοίτα: Γιάννη Πανάκη, Γιάννη Ντάνη, Αριστ. Πάλλα, Σπ. Κανέλου, Νικ. Κισκύρα,…….]. Αν λάβουμε υπ’ όψη μας το μακροσκελές των αποδείξεων που σας παρουσιάσαμε, δικαιολογούμαστε που σας προτείνουμε μόνο λίγες ασκήσεις
προτεινόμενες ασκήσεις
01. Δίνονται γνωστή γωνία $\displaystyle{xAy}$ , μια ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ που τέμνει τις $\displaystyle{Ax,Ay}$ στα $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ αντίστοιχα. Φέρουμε ευθείες κάθετες επί τις επί τις $\displaystyle{Ax,Ay}$ στα σημεία $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ αντίστοιχα, οι οποίες τέμνουν τις $\displaystyle{Ay,Ax}$ στα $\displaystyle{\Gamma ,{\rm B}}$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{{\rm I}}$ είναι η τομή των $\displaystyle{{\rm M}\Gamma ,{\rm N}{\rm B}}$ , να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ της τομής $\displaystyle{{\rm K}}$ των $\displaystyle{{\rm A}{\rm I},{\rm B}\Gamma }$ .
02. Να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ των κέντρων των περιφερειών, με γνωστή ακτίνα $\displaystyle{R}$ , που τέμνουν άλλη δοσμένη περιφέρεια υπό σταθερή γωνία
03. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{\left( {{\rm O},R} \right)}$ και μια χορδή $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ αυτού. Μια μεταβλητή περιφέρεια $\displaystyle{C}$ εφάπτεται στη χορδή $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , το δε κέντρο της κινείται πάνω στο τόξο αυτής της χορδής. Να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ του σημείου τομής των εφαπτομένων της $\displaystyle{C}$ που άγονται από τα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ .
04. Δίνονται: γνωστή περιφέρεια $\displaystyle{\left( {{\rm O},R} \right)}$ , μεταβλητό σημείο $\displaystyle{{\rm M}}$ πάνω σ’ αυτήν και σταθερή χορδή $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ αυτής. Από το μέσο $\displaystyle{\Gamma }$ της $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ φέρουμε ευθείες που τέμνουν τις ευθείες $\displaystyle{{\rm M}{\rm A},{\rm M}{\rm B}.}$ στα $\displaystyle{{\rm P},\Theta }$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{{\rm N}}$ το μέσο του $\displaystyle{{\rm P}\Theta }$ να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ των σημείων $\displaystyle{{\rm N},{\rm P},\Theta }$ .
05. Δίνονται: $\displaystyle{x{\rm O}y}$ και πάνω στις $\displaystyle{{\rm O}x,{\rm O}y}$ δύο σταθερά σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ αντίστοιχα. Δύο μεταβλητές περιφέρειες εφάπτονται μεταξύ τους στο $\displaystyle{{\rm M}}$ και στις $\displaystyle{{\rm O}x,{\rm O}y}$ στα $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ των σημείων $\displaystyle{{\rm M}}$ .
06. Δίνονται: σταθερή ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ , μεταβλητή περιφέρεια $\displaystyle{C}$ με δοσμένη ακτίνα $\displaystyle{R}$ και μια γνωστή γωνία μέτρου $\displaystyle{\phi }$ . Να βρεθεί ο $\displaystyle{\gamma .\tau .}$ των κέντρων των περιφερειών $\displaystyle{C}$ που τέμνουν την $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ υπό $\displaystyle{\phi }$ .

ΠΡΟΑΓΓΕΛΙΑ
Στο επόμενο “12ο ΣΗΜΕΙΩΜΑ” (για το μήνα Γενάρη) ολοκληρώνουμε αυτή μας την παρέμβαση. Θα είναι αφιερωμένο στην κορυφή της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, που δεν είναι άλλη από τη Γεωμετρία του Χώρου, την τόσο γοητευτική και τόσο καταδιωγμένη από την επίσημη πολιτεία. Γιατί, άραγε, οι βαθυστόχαστοι εγκέφαλοι του …….., τη "βλέπουν" και την ξορκίζουν;
Το σημείωμά μας αυτό θα το αφιερώσουμε στις επίπεδες τομές στερεών (ένα από τα θεαματικότερα κομμάτια της Στερεομετρίας) ή στη γενεαλογία των επιφανειών στον τρισδιάστατο χώρο

propaid · #19

Το

φαντάζει πολύ λίγο μπροστά σε μια τέτοια προσπάθεια. Συγχαρητήρια κι από μένα.
Γιάννης Στάμου

ykerasar · #20

ΣΗΜΕΙΩΜΑ 12ο [Τελευταίο της σειράς]

ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΤΟΜΕΣ ΣΤΕΡΕΩΝ

Προλεγόμενα
Η Στερεομετρία ("επίσημα" Γεωμετρία του Χώρου):
● στην κυριολεξία, συγκεντρώνει την ουσία των αγαθών που προσφέρει, συνολικά, η Ευκλείδεια Γεωμετρία στους σπουδαστές της.
● το άκρον άωτον της ομορφιάς, της φαντασίας, της αισθητικής απόλαυσης, της παρατήρησης, της λογικότητας.
● Ποιοι την εξόρισαν από την άσκηση του νου των παιδιών;
● Ποιοι "σοφοί" εγκέφαλοι την κρατούν φυλακισμένη στις μεσαιωνικές τους εμμονές;
● Ποιοι και γιατί τη φοβούνται;
● Η Γεωμετρία του χώρου διώκεται γι’ αυτά που φέρει στα παιδιά, όπως διώχθηκε κι ο Προμηθέας.

ΜΕΡΟΣ Α΄

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Επειδή, αυτά τα σημειώματά μας απευθύνονται, κύρια στους νέους μαθηματικούς που δεν διδάχθηκαν τη Στερεομετρία, για το λόγο αυτό προτάσσουμε κάποιες σημειώσεις με θέματα θεωρίας .

1. Παραδοχές Poncelet
α. φανταστικό σημείο Τελικά δύο παράλληλες ευθείες έχουν "κοινό" σημείο, που ονομάζεται «φανταστικό σημείο» ή «επ’ άπειρο σημείο» ή «κατ’ εκδοχή σημείο»
β. φανταστική ευθεία Τελικά δύο παράλληλα επίπεδα έχουν "κοινή" ευθεία, που ονομάζεται «φανταστική ευθεία» ή «επ’ άπειρο ευθεία» ή «κατ’ εκδοχή ευθεία»

2. Ημιεπίπεδο – ημιχώρος
α. ημιεπίπεδο Δίνονται ένα επίπεδο $\left( \pi \right)$ και πάνω σ’ αυτό μια ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ και ένα σημείο ${\rm A}$ που δεν ανήκει στην $\left( \varepsilon \right)$ . Ονομάζεται ημιεπίπεδο οριζόμενο από την $\left( \varepsilon \right)$ και το ${\rm A}$ το σύνολο των σημείων του $\left( \pi \right)$ τα οποία βρίσκονται προς το μέρος της προς το οποίο βρίσκεται το ${\rm A}$ .
● το επίπεδο $\left( \pi \right)$ λέγεται φορέας του ημιεπιπέδου και η ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ αρχική ευθεία του ημιεπιπέδου.
● το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ και το σημείο ${\rm A}$ θα το συμβολίζουμε με $\left( {\varepsilon ,{\rm A}} \right)$ .
● αν σε ένα ημιεπίπεδο $\left( {\varepsilon ,{\rm A}} \right)$ θεωρήσουμε ότι δεν ανήκουν τα σημεία της ακμής $\left( \varepsilon \right)$ , τότε το ημιεπίπεδο αυτό θα λέμε ότι είναι ανοιχτό. Αν όμως περιλαμβάνονται και τα σημεία της $\left( \varepsilon \right)$ τότε το ημιεπίπεδο αυτό θα λέμε ότι είναι κλειστό.
● δίνονται ένα επίπεδο $\left( \pi \right)$ και πάνω σ’ αυτό μια ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ και δύο σημεία ${\rm A}, {\rm B}$ εκατέρωθεν της $\left( \varepsilon \right)$ [δεν ανήκουν στην $\left( \varepsilon \right)$ ]. Μ’ αυτό τον τρόπο ορίζονται δύο ημιεπίπεδα τα $\left( {\varepsilon ,{\rm A}} \right),\left( {\varepsilon ,{\rm B}} \right)$ , τα οποία λέγονται αντίθετα ημιεπίπεδα.
β. ημιχώρος Δίνεται επίπεδο $\left( \pi \right)$ και σημείο ${\rm A}$ , εκτός αυτού. Ονομάζουμε ημιχώρο οριζόμενο από το επίπεδο $\left( \pi \right)$ και το σημείο ${\rm A}$ , το σύνολο των σημείων του χώρου τα οποία βρίσκονται προς το μέρος του $\left( \pi \right)$ προς το οποίο βρίσκεται το ${\rm A}$ .
● τον ημιχώρο αυτό θα συμβολίζουμε με $\left( {\pi ,{\rm A}} \right)$
● κατ’ αντιστοιχία προς το ημιεπίπεδο έχουμε το $\left( \pi \right)$ αρχικό επίπεδο, τους αντίθετους ημιχώρους $\left( {\pi ,{\rm A}} \right),\left( {\pi ,{\rm B}} \right)$ , τους ανοιχτούς ή κλειστούς ημιχώρους, το $\left( \pi \right)$ που λέγεται φορέας του ημιχώρου.

3. Σχετικές θέσεις ευθειών
α. ευθείες τεμνόμενες Θα λέμε ότι δύο ευθείες $\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right)$ τέμνονται αν έχουν μοναδικό κοινό σημείο [πραγματικό, όχι φανταστικό]
παρατήρηση 01. Κάθε μια από τις $\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right)$ έχει σημεία και στα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η άλλη
παρατήρηση 02. Δύο τεμνόμενες ευθείες ορίζουν τη θέση μοναδικού επιπέδου
β. παράλληλες ευθείες Δύο ευθείες θα λέμε ότι είναι παράλληλες αν είναι συνεπίπεδες και δεν έχουν πραγματικό κοινό σημείο
παρατήρηση 03. Οι παράλληλες ευθείες έχουν "κοινό" σημείο, το «φανταστικό σημείο»
γ. συμπίπτουσες ευθείες Δύο ευθείες θα λέμε ότι είναι συμπίπτουσες αν έχουν όλα τα σημεία τους κοινά
δ. ασύμβατες ευθείες Δύο ευθείες $\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right)$ θα λέμε ότι είναι ασύμβατες αν $\left. i \right)$ δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, $i\left. i \right)$ δεν είναι συνεπίπεδες $\gamma \omega \nu .\omega = 90^o$
παρατήρηση 04. Αν από ένα σημείο της $\left( {\varepsilon _1 } \right)$ φέρουμε ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ παράλληλη προς την $\left( {\varepsilon _2 } \right)$ , τότε η γωνία ω των $\left( {\varepsilon _1 } \right),\left( {\varepsilon _2 } \right)$ λέγεται γωνία των δύο ασυμβάτων.
παρατήρηση 05. Αν συμβεί $\gamma \omega \nu .\omega = 90^o$ τότε οι δύο ασύμβατες θα λέμε ότι είναι «ορθογώνιες ευθείες».
παρατήρηση 06. Ο όρος «κάθετες ευθείες» αναφέρεται σε τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν γωνία 90^o

.

4. Σχετικές θέσεις ευθείας – επιπέδου
α. Ευθεία ανήκει σε επίπεδο Θα λέμε ότι μια ευθεία ανήκει σε ένα επίπεδο αν όλα τα σημεία της ευθείας είναι σημεία του επιπέδου αυτού
παρατήρηση 07. Κατά σύμβαση, ένα επίπεδο $\left( \pi \right)$ το παριστάνουμε με ένα παραλληλόγραμμο πχ. ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ (σχ.01-συνημμένα). Πάνω σ’ αυτό, σχεδιάζουμε μια ευθεία ${\rm K}\Lambda$ της οποίας τα τμήματα πχ. ${\rm K}{\rm E},{\rm Z}\Lambda$ εξέχουν (σχεδιαστικά), από το παραλ/μο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ . Εδώ, πρέπει να σημειώσουμε, πως μερικά παιδιά νομίζουν πως τα τμήματα ${\rm K}{\rm E},{\rm Z}\Lambda$ δεν ανήκουν στο $\left( \pi \right)$ . Ο καλός δάσκαλος θα πρέπει, αυτό, να το τονίζει στα παιδιά, γιατί τα παιδιά δεν γνωρίζουν τις συμβάσεις που γνωρίζουμε εμείς.
β. Ευθεία παράλληλη προς επίπεδο Θα λέμε ότι μια ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ είναι παράλληλη προς επίπεδο $\left( \pi \right)$ , αν η $\left( \varepsilon \right)$ δεν έχει κανένα κοινό σημείο με το $\left( \pi \right)$ .
παρατήρηση 08. Η $\left( \varepsilon \right)$ έχει με το $\left( \pi \right)$ "κοινό" ένα φανταστικό σημείο [κοίτα παραδοχές Poncelet]
γ. Ευθεία και επίπεδο τέμνονται Θα λέμε ότι μια ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ και ένα επίπεδο $\left( \pi \right)$ τέμνονται αν έχουν μοναδικό κοινό σημείο [πραγματικό, όχι φανταστικό]
παρατήρηση 09. Η $\left( \varepsilon \right)$ έχει σημεία και στους δύο ημιχώρους που ορίζονται από το $\left( \pi \right)$ .

5. Σχετικές θέσεις επιπέδων
α. επίπεδα τεμνόμενα Θα λέμε ότι δύο επίπεδα $\left( {\pi _1 } \right),\left( {\pi _2 } \right)$ τέμνονται αν έχουν μοναδικά κοινά σημεία όλα τα σημεία μιας ευθείας $\left( \varepsilon \right)$ .
παρατήρηση 10. Κάθε ένα απ’ αυτά έχει σημεία και στους δύο ημιχώρους που ορίζει το άλλο
παρατήρηση 11. Δύο τεμνόμενα επίπεδα ορίζουν τη θέση μοναδικής ευθείας
β. παράλληλα επίπεδα Δύο επίπεδα θα λέμε ότι είναι παράλληλα αν δεν έχουν κοινό κανένα πραγματικό σημείο.
παρατήρηση 12. Τα παράλληλα επίπεδα έχουν "κοινά" σημεία, τα σημεία της «φανταστικής ευθείας»
γ. συμπίπτοντα επίπεδα Δύο επίπεδα θα λέμε ότι είναι συμπίπτοντα, αν έχουν όλα τα σημεία τους κοινά
παρατήρηση 13. ο όρος «ασύμβατα επίπεδα» δεν έχει έννοια

6. Στερεές γωνίες
α. Δίεδρη γωνία Δίνονται δύο ημιεπίπεδα $\left( {\pi _1 } \right),\left( {\pi _2 } \right)$ με κοινή αρχική ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ . Ονομάζουμε δίεδρη γωνία οριζόμενη από τα δοσμένα στοιχεία ένα σημειοσύνολο που σαν στοιχεία έχει τα σημεία των δοσμένων ημιεπιπέδων και της δοσμένης ευθείας
παρατήρηση 14. Τα ημιεπίπεδα $\left( {\pi _1 } \right),\left( {\pi _2 } \right)$ λέγονται έδρες της δίεδρης. Η ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ λέγεται ακμή της δίεδρης. Τη δίεδρη αυτή θα συμβολίζουμε με $\left( {\pi _1 ,\varepsilon ,\pi _2 } \right)$
β. Αντίστοιχη επίπεδη δίεδρης Θεωρούμε την δίεδρη $\left( {\pi _1 ,\varepsilon ,\pi _2 } \right)$ και σημείο ${\rm A}$ της ακμής $\left( \varepsilon \right)$ . Παίρνουμε την ημιευθεία ${\rm A}x \bot \varepsilon$ που να ανήκει στην έδρα $\left( {\pi _1 } \right)$ και την ${\rm A}y \bot \varepsilon$ που να ανήκει στην έδρα $\left( {\pi _2 } \right)$ . Η γωνία θα ονομάζεται αντίστοιχη επίπεδη της δίεδρης $\left( {\pi _1 ,\varepsilon ,\pi _2 } \right)$ .
παρατήρηση 15. Μια δίεδρη θα λέγεται οξεία, ορθή, αμβλεία ανάλογα αν η αντίστοιχή της επίπεδη είναι οξεία, ορθή, αμβλεία αντίστοιχα
παρατήρηση 16. Το μέτρο της δίεδρης είναι το μέτρο της αντίστοιχης επίπεδης.
παρατήρηση 17. [ισότητα δίεδρων] Θα λέμε ότι δύο δίεδρες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους αν οι αντίστοιχες επίπεδες γωνίες τους είναι ίσες και αντίστροφα.
γ. Τρίεδρη γωνία Δίνονται τρεις ημιευθείες με κοινό αρχικό σημείο. Τρίεδρη, οριζόμενη από τα δοσμένα στοιχεία, θα ονομάζουμε το σημειοσύνολο που σαν στοιχεία έχει τα σημεία των δοσμένων ημιευθειών καθώς και τα σημεία που είναι εσωτερικά των γωνιών που ορίζουν ανά δύο οι δοσμένες ημιευθείες.
παρατήρηση 18. $\left. I \right)$ το κοινό αρχικό σημείο των δοσμένων ημιευθειών ονομάζεται κορυφή της τρίεδρης, $\left. {{\rm I}{\rm I}} \right)$ οι δοσμένες ημιευθείες λέγονται ακμές της τρίεδρης, $\left. {{\rm I}{\rm I}{\rm I}} \right)$ τα εσωτερικά των κυρτών γωνιών που ορίζουν οι τρεις ακμές (μαζί και οι ακμές), λέγονται έδρες της τρίεδρης, $\left. {IV} \right)$ τα επίπεδα πάνω στα οποία βρίσκονται οι έδρες της τρίεδρης λέγονται φορείς των εδρών, $\left. V \right)$ οι κυρτές γωνίες που ορίζουν ανά δύο οι ακμές λέγονται εδρικές γωνίες της τρίεδρης, $\left. {VI} \right)$ όπως δόθηκε ο ορισμός της τρίεδρης, συμπεραίνουμε πως κάθε τρίεδρη διαθέτει τρεις δίεδρες γωνίες, $\left. {VII} \right)$ την τρίεδρη με ακμές Ox,Oy,Oz

θα τη συμβολίζουμε με O.xyz

ή

.
παρατήρηση 19. Με τον ορισμό που δώσαμε, οι ακμές της τρίεδρης μπορούν να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή δύο απ’ αυτές να συμπίπτουν ή να συμπίπτουν και οι τρεις.

7. Χρήσιμες προτάσεις
α. Δίνεται επίπεδο $\left( \pi \right)$ και ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ εκτός αυτού και παράλληλη προς αυτό. Ένα επίπεδο $\left( \rho \right)$ περιέχει την $\left( \varepsilon \right)$ και τέμνει το $\left( \pi \right)$ κατά την $\left( \zeta \right)$ . Είναι $\left( \zeta \right)\parallel \left( \varepsilon \right)$ .
β. Δύο επίπεδα $\left( \pi \right)$ , $\left( \rho \right)$ είναι παράλληλα μεταξύ τους. Ένα τρίτο επίπεδο $\left( \sigma \right)$ τα τέμνει κατά τις ευθείες $\left( \varepsilon \right)$ , $\left( \zeta \right)$ . Είναι $\left( \zeta \right)\parallel \left( \varepsilon \right)$ .
γ. Δίνεται επίπεδο $\left( \pi \right)$ και ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ εκτός αυτού και παράλληλη προς αυτό. Αν από σημείο ${\rm A}$ του $\left( \pi \right)$ φέρουμε ευθεία $\left( \zeta \right)\parallel \left( \varepsilon \right)$ , τότε η $\left( \zeta \right)$ θα ανήκει στο επίπεδο $\left( \pi \right)$ .

ΜΕΡΟΣ Β΄

Η ΓΕΝΕΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ

8. Πυραμίδες – Κώνοι – Πρίσματα [η παράγραφος αυτή είναι εράνισμα από μια εκτεταμένη εργασία μας με τίτλο «ΓΕΝΕΑΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ»]

α. Δίχωνη επιφάνεια
Δίχωνη επιφάνεια λέγεται η επιφάνεια που έχει σαν οδηγό καμπύλη μια επίπεδη κλειστή κυρτή γραμμή και σαν κορυφή ένα σημείο σε πεπερασμένη απόσταση από το επίπεδο της οδηγού καμπύλης.
● Η ευθεία που ορίζεται από την κορυφή και το γεωμετρικό κέντρο της οδηγού, λέγεται άξονας της δίχωνης.
● Οι ευθείες που συνδέουν την κορυφή της δίχωνης με κάθε σημείο της οδηγού, λέγονται γενέτειρες της δίχωνης.

β. Πυραμίδα – Κώνος
Αν μια δίχωνη επιφάνεια την τμήσουμε με ένα επίπεδο παράλληλο προς την οδηγό καμπύλη, τότε το τμήμα της δίχωνης που περιλαμβάνεται μεταξύ της οδηγού καμπύλης και της τομής, θα ονομάζεται:
― πυραμίδα αν η οδηγός καμπύλη είναι πολυγωνική γραμμή [τριγωνική, τετραγωνική,…]
― κώνος αν η οδηγός καμπύλη είναι κύκλος [κυκλικός κώνος,…], έλλειψη [ελλειπτικός κώνος,…] κλπ.
Είδη.
i. Αν το τέμνον επίπεδο της δίχωνης διέρχεται από την κορυφή της τότε το στερεό που προκύπτει είναι πυραμίδα ή κώνος, ανάλογα αν η οδηγός καμπύλη είναι πολυγωνική ή κύκλος κλπ.
ii. Αν το τέμνον επίπεδο της δίχωνης βρίσκεται μεταξύ της οδηγού καμπύλης και την κορυφή της δίχωνης, τότε το στερεό που προκύπτει είναι κόλουρη πυραμίδα ή κόλουρος κώνος, ανάλογα αν η οδηγός καμπύλη είναι πολυγωνική ή κύκλος κλπ.
iii. Αν το τέμνον επίπεδο της δίχωνης βρίσκεται προς το μέρος της κορυφής προς το οποίο δεν βρίσκεται η οδηγός καμπύλη τότε το στερεό που προκύπτει είναι δίχωνη πυραμίδα ή δίχωνος κώνος, ανάλογα αν η οδηγός καμπύλη είναι πολυγωνική ή κύκλος κλπ.
iv. Αν το τέμνον επίπεδο δεν είναι παράλληλο προς την οδηγό καμπύλη, τότε το στερεό που προκύπτει είναι κολοβή πυραμίδα (μονόχωνη ή δίχωνη) ή κολοβός κώνος (μονόχωνος ή δίχωνος)
v. θεωρούμε μια κόλουρη πυραμίδα με μεγάλη βάση ${\rm A}_1 {\rm A}_2 {\rm A}_3 ...{\rm A}_\kappa {\rm A}_{\kappa + 1} ...{\rm A}_\nu$ και μικρή βάση $\alpha _1 \alpha _2 \alpha _3 \ldots \alpha _\kappa \alpha _{\kappa + 1} \ldots \alpha _\nu$ . Αν από τη μικρή βάση αφαιρέσουμε μια πλευρά πχ., την $\alpha _\kappa \alpha _{\kappa + 1}$ , απομένει ένα στερεό με μεγάλη βάση ${\rm A}_1 {\rm A}_2 {\rm A}_3 ...{\rm A}_\kappa {\rm A}_{\kappa + 1} ...{\rm A}_\nu$ και μικρή $\alpha _1 \alpha _2 \alpha _3 \ldots \alpha _{\kappa - 1} \alpha _{\kappa + 2} \ldots \alpha _\nu$ ν. Αυτό το στερεό ονομάζεται πρισματοειδές

γ. Πρισματική επιφάνεια – Πρίσμα
● Αν η απόσταση της κορυφής της δίχωνης από την οδηγό καμπύλη αποκτήσει άπειρο μήκος, τότε οι γενέτειρες της δίχωνης γίνονται όλες παράλληλες προς τον άξονά της. Η επιφάνεια που προκύπτει λέγεται πρισματική επιφάνεια.
● Η τομή μιας πρισματικής επιφάνειας με δύο επίπεδα παράλληλα προς το επίπεδο της οδηγού καμπύλης, ορίζει ένα στερεό που περιλαμβάνει τις δύο τομές και το μέρος της πρισματικής επιφάνειας, που βρίσκεται μεταξύ των δύο τομών. Αυτό το στερεό είναι το γνωστό πρίσμα
Παρατήρηση 20 Είδαμε ότι το πρίσμα είναι εξέλιξη της πυραμίδας. Οι διαδικασίες που ακολουθούμε για την επίπεδη τομή της πυραμίδας και του πρίσματος είναι οι ίδιες, αρκεί να ‘χουμε στο νου μας τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η δίχωνη επιφάνεια μετεξελίχθηκε σε πρισματική.
Παρακάτω θα γνωρίσουμε τέσσερες χαρακτηριστικές ομάδες τομών, επιπέδου και πυραμίδας και ισάριθμες για επίπεδο και πρίσμα

ΜΕΡΟΣ Γ΄

ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΤΟΜΕΣ ΣΤΕΡΕΩΝ

9. Τομή επιπέδου με επίπεδο
α. τομή δύο επιπέδων Η τομή δύο επιπέδων $\left( \pi \right)$ , $\left( \rho \right)$ είναι πάντα μια ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ της οποίας όλα τα σημεία και μόνο αυτά είναι κοινά και των δύο επιπέδων.
β. εύρεση της τομής δύο επιπέδων Για να βρούμε την τομή $\left( \varepsilon \right)$ δύο επιπέδων $\left( \pi \right)$ , $\left( \rho \right)$ αρκεί να βρούμε δύο κοινά σημεία αυτών. Η ευθεία που ορίζουν αυτά τα σημεία είναι η τομή $\left( \varepsilon \right)$ των δύο επιπέδων.

10. Τομή πυραμίδας με επίπεδο

α. Γενικό πρόβλημα «Δίνεται πυραμίδα και τρία σημεία πάνω στην επιφάνειά της. Να βρεθεί η τομή της πυραμίδας με το επίπεδο που ορίζουν τα δοσμένα σημεία»
Παρατήρηση 21 Αυτό είναι ένα γενικό πρόβλημα τομής πυραμίδας με επίπεδο. Διακρίνουμε τέσσερες κύριες περιπτώσεις, αναφορικά με τη θέση των δοσμένων σημείων πάνω στην επιφάνεια της πυραμίδας.

$\left. i \right)$ Πρώτη περίπτωση τα δοσμένα σημεία βρίσκονται πάνω σε τρεις διαδοχικές ακμές (που όλες τους δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο)
παράδειγμα Δίνεται πυραμίδα ${\rm O}.{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και σημεία ${\rm K},\Lambda ,{\rm M}$ πάνω στις ακμές ${\rm O}{\rm A},{\rm O}{\rm B},{\rm O}\Gamma$ αντίστοιχα. Να βρεθεί η τομή της πυραμίδας με το επίπεδο που ορίζουν τα δοσμένα σημεία.
απάντηση (σχήμα 02-συνημμένα)
● Στα πλαίσια της έδρας ${\rm O}{\rm A}{\rm B}$ , η ευθεία ${\rm K}\Lambda$ τέμνει την ευθεία ${\rm A}{\rm B}$ στο ${\rm H}$
● Στο πλαίσιο της έδρας ${\rm O}{\rm B}\Gamma$ , η ευθεία ${\rm M}\Lambda$ τέμνει την ευθεία $\Gamma {\rm B}$ στο ${\rm Z}$
● Στο πλαίσιο της βάσης ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ , η ευθεία ${\rm Z}{\rm H}$ τέμνει τις ευθείες $\Delta {\rm A},\Delta \Gamma$ στα ${\rm E},\Theta$ αντίστοιχα
● Το επίπεδο που ορίζεται από τις ευθείες ${\rm K}{\rm H},{\rm M}{\rm Z},{\rm E}\Theta$ τέμνει την ${\rm O}\Delta$ σε σημείο ${\rm N}$
● Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε πως το επίπεδο που ορίζεται από τα δοσμένα σημεία ${\rm K}\Lambda {\rm M}$ τέμνει την δοσμένη πυραμίδα κατά το τετράπλευρο ${\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}$ .

$i\left. i \right)$ Δεύτερη περίπτωση τα δοσμένα σημεία βρίσκονται πάνω σε τρεις ακμές που ανά δύο είναι ασύμβατες
παρατήρηση 22 Το σενάριο αυτό δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί σε όχι κόλουρη πυραμίδα, γιατί το μοναδικό ζεύγος ασυμβάτων ακμών είναι αυτό που περιέχει μία παράπλευρη ακμή και μία της βάσης.

α. για την κόλουρη πυραμίδα
παράδειγμα (σχήμα 03-συνημμένα)
Δίνεται κόλουρη πυραμίδα ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}.{\rm Z}{\rm H}\Theta \Pi {\rm T}$ . Πάνω στις ακμές ${\rm Z}{\rm A},{\rm B}\Gamma ,\Theta \Pi$ δίνονται τα σημεία ${\rm K},\Lambda ,{\rm M}$ . Να βρεθεί η τομή της δοσμένης πυραμίδας με το επίπεδο που ορίζουν τα δοσμένα σημεία
απάντηση
Οι παράπλευρες ακμές της κόλουρης πυραμίδας διέρχονται από ένα υποθετικό σημείο ${\rm O}$ . Η ευθεία ${\rm O}{\rm M}$ τέμνει την $\Delta \Gamma$ σε σημείο $\Sigma$ , στα πλαίσια της έδρας ${\rm O}\Delta \Gamma$ .
● Οι ευθείες ${\rm O}\Sigma ,{\rm O}{\rm A}$ ορίζουν ένα επίπεδο. Στα πλαίσια αυτού του επιπέδου η ${\rm M}{\rm K}$ τέμνει το επίπεδο της βάσης στο ${\rm A}_1$
● Τα σημεία ${\rm A}_1 ,\Lambda$ ορίζουν μια ευθεία η οποία τέμνει τις ακμές (ή τις προεκτάσεις τους) $\Delta {\rm E},{\rm E}{\rm A},{\rm A}{\rm B},\Delta \Gamma$ στα ${\rm E}_1 ,\Upsilon ,\Psi ,\Gamma _1$ αντίστοιχα.
● Στα πλαίσια της έδρας ${\rm B}\Gamma \Theta {\rm H}$ , η ευθεία ${\rm B}_1 \Lambda$ τέμνει την ακμή $\Gamma \Theta$ στο

και την προέκταση της ${\rm H}\Theta$ στο $\Theta {}_1$ .
● Στα πλαίσια της μικρής βάσης ${\rm Z}{\rm H}\Theta \Pi {\rm T}$ η ευθεία $\Theta _1 {\rm M}$ τέμνει την ακμή $\Pi {\rm T}$ στο ${\rm P}$ και τις προεκτάσεις των ${\rm T}{\rm Z},{\rm H}{\rm Z}$ στα ${\rm T}_1 ,\Phi _1$ αντίστοιχα.
● Στα πλαίσια του επιπέδου της έδρας ${\rm E}\Delta \Pi {\rm T}$ , η ${\rm P}{\rm E}_1$ τέμνει την ακμή ${\rm E}{\rm T}$ στο $\Phi$ .
● Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε πως το επίπεδο που ορίζεται από τα δοσμένα σημεία ${\rm K},\Lambda ,{\rm M}$ τέμνει την δοσμένη πυραμίδα κατά το εφτάγωνο ${\rm K}\Psi \Lambda {\rm X}{\rm M}{\rm P}\Phi$ .

iii. Τρίτη περίπτωση τα δοσμένα σημεία βρίσκονται στο εσωτερικό τριών εδρών της πυραμίδας
παράδειγμα (σχήμα 04-συνημμένα)
Δίνεται πυραμίδα ${\rm O}.{\rm A}{\rm B}\Gamma$ και σημεία ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ στο εσωτερικό των εδρών ${\rm O}{\rm A}\Gamma ,{\rm O}{\rm B}\Gamma ,{\rm O}{\rm A}{\rm B}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί η τομή της πυραμίδας με το επίπεδο που ορίζουν τα δοσμένα σημεία.
απάντηση
Οι ευθείες που ορίζονται από τα ζεύγη σημείων $\left( {{\rm O},{\rm K}} \right),\left( {{\rm O},\Lambda } \right),\left( {{\rm O},{\rm M}} \right)$ τέμνουν τις ${\rm A}\Gamma ,\Gamma {\rm B},{\rm B}{\rm A}$ στα $\Delta ,{\rm Z},{\rm E}$ αντίστοιχα.
● Στα πλαίσια του επιπέδου που ορίζουν οι ${\rm M}{\rm E},{\rm M}{\rm K}$ , οι ευθείες ${\rm E}\Delta , {\rm M}{\rm K}$ τέμνονται σε σημείο $\Theta$ .
● Στα πλαίσια του επιπέδου που ορίζουν οι ${\rm M}{\rm E},{\rm M}\Lambda$ , οι ευθείες ${\rm E}{\rm Z},{\rm M}\Lambda$ τέμνονται σε σημείο $\Pi$ .
● Στα πλαίσια του επιπέδου της βάσης ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ , η ευθεία που ορίζουν τα σημεία $\Pi \Theta$ τέμνουν την ευθεία ${\rm B}{\rm A}$ σε σημείο ${\rm H}$ . Το ${\rm H}$ είναι το νέο κοινό σημείο του επιπέδου $\left( {{\rm K},\Lambda ,{\rm M}} \right)$ με το επίπεδο της έδρας ${\rm O}{\rm A}{\rm B}$ .
● Στα πλαίσια του επιπέδου της έδρας ${\rm O}{\rm A}{\rm B}$ , το τέμνον επίπεδο έχει μ’ αυτήν δύο κοινά σημεία ${\rm H},{\rm M}$ . Η ευθεία ${\rm H}{\rm M}$ τέμνει τις ακμές ${\rm O}{\rm A},{\rm O}{\rm B}$ στα ${\rm T},{\rm P}$ αντίστοιχα.
● Στα πλαίσια του επιπέδου της έδρας ${\rm O}{\rm B}\Gamma$ , το τέμνον επίπεδο έχει μ’ αυτήν δύο κοινά σημεία ${\rm P},\Lambda$ . Η ευθεία ${\rm P}\Lambda$ τέμνει την ακμή ${\rm O}\Gamma$ στο ${\rm N}$ .
● Άρα το επίπεδο που ορίζουν τα ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ τέμνουν την πυραμίδα κατά το τρίγωνο ${\rm N}{\rm T}{\rm P}$ .

iv. Τέταρτη περίπτωση τα δοσμένα σημεία βρίσκονται σε ακμές και στο εσωτερικό εδρών της πυραμίδας
παράδειγμα (σχήμα 05-συνημμένα)
Δίνεται πυραμίδα ${\rm O}.{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και τρία σημεία ${\rm K},\Lambda ,{\rm M}$ απ’ τα οποία τα δύο πρώτα ανήκουν στις ακμές ${\rm O}\Delta ,{\rm O}{\rm B}$ αντίστοιχα και το τρίτο στο εσωτερικό της βάσης ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ . Να βρεθεί η τομή της πυραμίδας με το επίπεδο που ορίζουν τα δοσμένα σημεία.
απάντηση
● Στα πλαίσια του επιπέδου που ορίζουν οι ακμές ${\rm O}\Delta ,{\rm O}{\rm B}$ , η ευθεία ${\rm K}\Lambda$ τέμνει την προέκταση της ευθείας $\Delta {\rm B}$ στο ${\rm E}$ .
● Στα πλαίσια του επιπέδου της βάσης ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ η ευθεία ${\rm E}{\rm M}$ τέμνει την προέκταση της $\Gamma \Delta$ στο ${\rm H}$ , την ακμή ${\rm A}\Delta$ στο $\Xi$ και την ακμή ${\rm A}{\rm B}$ στο ${\rm Z}$ .
● Στα πλαίσια του επιπέδου της έδρας ${\rm O}\Delta \Gamma$ , η ευθεία ${\rm K}{\rm H}$ τέμνει την ${\rm O}\Gamma$ στο $\Sigma$
● Άρα το επίπεδο που ορίζουν τα ${\rm K},\Lambda ,{\rm M}$ τέμνουν την πυραμίδα κατά το πεντάγωνο $\Xi {\rm Z}\Lambda \Sigma {\rm K}$ .

11. Τομή πρίσματος με επίπεδο
α. Γενικό πρόβλημα «Δίνεται πρίσμα και τρία σημεία πάνω στην επιφάνειά του. Να βρεθεί η τομή του πρίσματος με το επίπεδο που ορίζουν τα δοσμένα σημεία»
Παρατήρηση 23 Αυτό είναι ένα γενικό πρόβλημα τομής πρίσματος με επίπεδο. Διακρίνουμε τέσσερες κύριες περιπτώσεις, αναφορικά με τη θέση των δοσμένων σημείων πάνω στην επιφάνεια του πρίσματος.

i. Πρώτη περίπτωση τα δοσμένα σημεία βρίσκονται πάνω σε τρεις διαδοχικές ακμές (που όλες τους δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο)
παράδειγμα (σχήμα 06-συνημμένα)
Δίνεται παραλ/δο με βάσεις ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ,{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ με $[{\rm A}{\rm E}\parallel {\rm B}{\rm Z}\parallel \Gamma {\rm H}\parallel \Delta \Theta ]$ και πάνω στις ακμές του ${\rm A}{\rm B}, {\rm A}{\rm E}, {\rm E}\Theta$ τα σημεία ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί η τομή του παραλλ/δου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ,{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ από το επίπεδο $\left( \pi \right)$ που ορίζεται από τα δοσμένα σημεία ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ .
απάντηση
● Από τα δοσμένα του προβλήματος έχουμε ότι το $\left( \pi \right)$ διαθέτει δύο κοινά σημεία ${\rm K},\Lambda$ με το επίπεδο της έδρας ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}{\rm E}$ και τα $\Lambda ,{\rm M}$ με το επίπεδο της έδρας ${\rm A}{\rm E}\Theta \Delta$ . Άρα το $\left( \pi \right)$ τέμνει την έδρα ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}{\rm E}$ κατά την ευθεία ${\rm E}_1 \Lambda {\rm K}{\rm B}_1$ [ ${\rm E}_1 ,{\rm B}_1$ στην προέκταση των ${\rm E}{\rm Z},{\rm B}{\rm Z}$ αντίστοιχα] και την έδρα ${\rm A}{\rm E}\Theta \Delta$ κατά την ευθεία ${\rm A}_1 \Lambda {\rm M}\Theta _1$ [ ${\rm A}_1 ,\Theta _1$ στην προέκταση των ${\rm A}\Delta ,\Delta \Theta$ αντίστοιχα]. Άρα το $\left( \pi \right)$ τέμνει αυτές τις δύο έδρες κατά τα ευθ. τμήματα ${\rm K}\Lambda$ και $\Lambda {\rm M}$ αντίστοιχα.
● Στα πλαίσια του επιπέδου της έδρας ${\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ , η ${\rm E}_1 {\rm M}$ τέμνει την ${\rm H}\Theta$ στο ${\rm N}$ και την προέκταση της ${\rm Z}{\rm H}$ στο ${\rm H}_1$ [άρα το ${\rm N}$ είναι από τα ζητούμενα σημεία τομής].
● Στα πλαίσια του επιπέδου της έδρας ${\rm B}\Gamma {\rm H}{\rm Z}$ η ευθεία ${\rm H}_1 {\rm B}_1$ τέμνει τις ακμές ${\rm B}\Gamma$ , $\Gamma {\rm H}$ στα $\Pi ,\Xi$ αντίστοιχα [άρα τα $\Pi ,\Xi$ είναι από τα ζητούμενα σημεία τομής]
● Η ${\rm A}_1 {\rm K}\Pi$ τέμνει την προέκταση της $\Delta \Gamma$ στο $\Gamma _1$
● Άρα η ζητούμενη τομή του δοσμένου παραλ/δου και του δοσμένου επιπέδου είναι το εξάγωνο ${\rm K}\Pi \Xi {\rm N}{\rm M}\Lambda$ .
Παρατήρηση 24 είναι άξιο σημείωσης το γεγονός ότι σε κάθε έδρα έχοντας δύο κοινά σημεία πχ. ${\rm K},\Lambda$ , θεωρήσαμε την ευθεία πάνω στην οποία βρίσκονται και με όχημα αυτήν πήγαμε στις ακμές ${\rm E}{\rm Z}, {\rm E}\Theta$ αντίστοιχα και, μέσω αυτών, στις έδρες ${\rm E}\Theta {\rm H}{\rm Z}, {\rm B}\Gamma {\rm H}{\rm Z}$ αντίστοιχα, για να συνεχίσουμε όμοια για τις ακμές αυτών των εδρών.

ii. Δεύτερη περίπτωση τα δοσμένα σημεία βρίσκονται πάνω σε τρεις ακμές που ανά δύο είναι ασύμβατες
παράδειγμα (σχήμα 07-συνημμένα)
Δίνεται παραλληλεπίπεδο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ,{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ με $[{\rm A}{\rm E}\parallel {\rm B}{\rm Z}\parallel \Gamma {\rm H}\parallel \Delta \Theta ]$ και τρία σημεία ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ πάνω στις ακμές ${\rm B}\Gamma ,{\rm A}{\rm E},\Theta {\rm H}$ αντίστοιχα. Να σχεδιαστεί η τομή του δοσμένου παραλ/δου με το επίπεδο $\left( {{\rm K},\Lambda ,{\rm M}} \right)$
απάντηση
● Αν φέρουμε την ${\rm K}{\rm K}_1 \parallel {\rm A}{\rm E} [{\rm K}_1 {\rm Z}{\rm H}]$ , τότε οι ${\rm K}\Lambda ,{\rm K}_1 {\rm E}$ είναι συνεπίπεδες άρα τέμνονται σε σημείο ${\rm K}_2$ .
● Επειδή η ${\rm K}\Lambda \in \left( \pi \right)$ , σημαίνει πως τα επίπεδα $\left( \pi \right)$ , ${\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ έχουν κοινό σημείο το ${\rm K}_2$ , άρα η ευθεία ${\rm K}_2 {\rm M}$ του $\left( \pi \right)$ βρίσκεται πάνω στην έδρα ${\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ και τέμνει την ευθεία ${\rm Z}{\rm E}$ στο ${\rm E}_1$ , την ακμή ${\rm E}\Theta$ στο $\Xi$ και την ευθεία ${\rm Z}{\rm H}$ στο ${\rm H}_1$ .
● Η ευθεία ${\rm H}_1 {\rm K}$ του $\left( \pi \right)$ ανήκει στην έδρα ${\rm B}\Gamma {\rm Z}{\rm H}$ και τέμνει την ακμή $\Gamma {\rm H}$ στο ${\rm P}$ και την ευθεία ${\rm B}{\rm Z}$ στο ${\rm B}_1$ .
● Η ευθεία ${\rm B}_1 \Lambda {\rm E}_1$ του $\left( \pi \right)$ ανήκει στην έδρα ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}{\rm E}$ και τέμνει την ακμή ${\rm A}{\rm B}$ στο ${\rm N}$ .
● Η ευθεία ${\rm K}{\rm N}$ του $\left( \pi \right)$ ανήκει στην έδρα ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και τέμνει τις ευθείες ${\rm A}\Delta , \Gamma \Delta$ , στα ${\rm A}_1 ,\Gamma _1$ αντίστοιχα.
● Η ευθεία $\Gamma _1 {\rm P}{\rm M}$ του $\left( \pi \right)$ ανήκει στην έδρα $\Delta \Gamma {\rm H}\Theta$ και τέμνει την ευθεία $\Delta \Theta$ στο $\Theta _1$ .
● Άρα η ζητούμενη τομή του δοσμένου παραλ/δου και του δοσμένου επιπέδου είναι το εξάγωνο ${\rm K}{\rm P}{\rm M}\Xi \Lambda {\rm N}$ .
Παρατήρηση 25 στο παράδειγμα 1, τα δοσμένα σημεία ανά δύο βρίσκονταν στην ίδια έδρα και, επομένως, είχαμε την ευχέρεια [με όχημα τις ευθείες που αυτά ορίζουν], να μεταβούμε σε άλλη έδρα. Αυτή την ευχέρεια δεν την είχαμε στην περίπτωση του παραδείγματος 2, αφού ανά δύο τα δοσμένα σημεία δεν ανήκουν στην ίδια έδρα. Θα πρέπει, λοιπόν, να τα εντάξουμε (ανά δύο), σε ένα επίπεδο που να έχει κοινό σημείο με μια έδρα.
Όπως στο παράδειγμα 1, το επίπεδο πάνω στο οποίο βρίσκονταν δύο δοσμένα σημεία έτεμνε μια έδρα, έτσι και τώρα, φέρνοντας την ${\rm K}{\rm K}_1 \parallel {\rm A}{\rm E}$ δημιουργήσαμε επίπεδο (το $\Lambda {\rm K}{\rm K}_1 {\rm E}$ ) που περιέχει δύο από τα δοσμένα σημεία και έχει κοινό σημείο με την έδρα ${\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ . Μ’ αυτό τον τρόπο εντασσόμαστε στη διαδικασία του παραδείγματος 1.

iii. Τρίτη περίπτωση τα δοσμένα σημεία βρίσκονται στο εσωτερικό τριών εδρών του πρίσματος
παράδειγμα (σχήμα 08-συνημμένα)
Δίνεται παραλληλεπίπεδο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta .{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta ...[{\rm A}{\rm E}\parallel {\rm B}{\rm Z}\parallel \Gamma {\rm H}\parallel \Delta \Theta ]$ και τρία σημεία ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ στα εσωτερικά των εδρών ${\rm B}\Gamma {\rm H}{\rm Z}$ , ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}{\rm E}$ , ${\rm A}\Delta \Theta {\rm E}$ αντίστοιχα. Να σχεδιαστεί η τομή του δοσμένου παραλ/δου με το επίπεδο $\left( {{\rm K},\Lambda ,{\rm M}} \right)$
απάντηση 43
● Από τα ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ φέρουμε ευθείες παράλληλες προς την ακμή ${\rm A}{\rm E}$ , οι οποίες τέμνουν τις ακμές ${\rm Z}{\rm H}, {\rm Z}{\rm E}, {\rm E}\Theta$ στα ${\rm K}_1 ,\Lambda _1 ,{\rm M}_1$ αντίστοιχα.
● Οι ευθείες ${\rm M}{\rm K}, {\rm M}_1 {\rm K}_1$ τέμνονται στο ${\rm K}_2$ και οι ευθείες ${\rm M}\Lambda ,\Lambda _1 {\rm M}_1$ τέμνονται στο ${\rm M}_2$ . Αυτά τα σημεία ${\rm K}_2 ,{\rm M}_2$ είναι τα κοινά σημεία του (π) και της έδρας ${\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ .
● Η ευθεία ${\rm K}_2 ,{\rm M}_2$ του $\left( \pi \right)$ ανήκει στο επίπεδο της έδρας ${\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ και τέμνει τις ευθείες ${\rm H}\Theta ,{\rm Z}{\rm E},\Theta {\rm E}$ στα $\Theta _1 ,\Lambda _2 ,{\rm E}_1$ αντίστοιχα.
● Η ευθεία ${\rm E}_1 {\rm M}$ του $\left( \pi \right)$ βρίσκεται πάνω στην έδρα ${\rm A}\Delta \Theta {\rm E}$ και τέμνει την ακμή ${\rm A}{\rm E}$ στο ${\rm P}$ και τη $\Delta \Theta$ στο $\Sigma$ .
● Η ευθεία $\Lambda ,{\rm P},\Lambda _2$ του $\left( \pi \right)$ βρίσκεται πάνω στην έδρα ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}{\rm E}$ και τέμνει την ακμή ${\rm B}{\rm Z}$ στο ${\rm N}$ και την ευθεία ${\rm A}{\rm B}$ στο ${\rm B}_1$ .
● Τέλος, η ευθεία ${\rm N}{\rm K}$ του $\left( \pi \right)$ βρίσκεται πάνω στην έδρα ${\rm B}\Gamma {\rm H}{\rm Z}$ και τέμνει την ακμή $\Gamma {\rm H}$ στο ${\rm T}$ και την ευθεία ${\rm B}\Gamma$ στο $\Gamma _1$
● Άρα η ζητούμενη τομή του δοσμένου παραλ/δου και του δοσμένου επιπέδου είναι το τετράπλευρο ${\rm N}{\rm T}\Sigma {\rm P}$ .
Παρατήρηση 26 παρατηρούμε ότι και στο πρόβλημα 3 δεν έχουμε τις ευνοϊκές προϋποθέσεις του προβλήματος 1. Γι αυτό το λόγο εφαρμόσαμε την τεχνική που περιγράφεται στο πρόβλημα 1.

iv. Τέταρτη περίπτωση τα δοσμένα σημεία βρίσκονται σε ακμές και στο εσωτερικό εδρών του πρίσματος
παράδειγμα Δίνεται παραλληλεπίπεδο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta .{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ με $[{\rm A}{\rm E}\parallel {\rm B}{\rm Z}\parallel \Gamma {\rm H}\parallel \Delta \Theta ]$ και τρία σημεία ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ απ’ τα οποία το ${\rm K}$ είναι σημείο της ακμής ${\rm A}{\rm E}$ και τα $\Lambda ,{\rm M}$ στα εσωτερικά των εδρών ${\rm B}\Gamma {\rm H}{\rm Z}, \Delta \Gamma {\rm H}\Theta$ αντίστοιχα. Να σχεδιαστεί η τομή του δοσμένου παραλ/δου με το επίπεδο $\left( \pi \right)$
απάντηση Από τα δοσμένα του προβλήματος, συμπεραίνουμε ότι αναγόμαστε στην τρίτη περίπτωση, θεωρώντας ότι το σημείο ${\rm K}$ είναι εσωτερικό της έδρας ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}{\rm E}$ . Αρκεί, από τα ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ να φέρουμε παράλληλες προς την ${\rm A}{\rm E}$ . Αυτές οι παράλληλες συναντούν τις ακμές ${\rm Z}{\rm E}, {\rm Z}{\rm H},\Theta {\rm H}$ στα ${\rm E},\Lambda _1 ,{\rm M}_1$ αντίστοιχα κλπ, κλπ….

ΜΕΡΟΣ Δ΄

12. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

01. Δίνεται πυραμίδα ${\rm O}.{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και σημεία ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ πάνω στις ακμές ${\rm O}{\rm A},{\rm O}\Gamma ,{\rm B}\Gamma$ αντίστοιχα. Να βρεθεί η τομή της δοσμένης πυραμίδας και του επιπέδου που ορίζεται από τα δοσμένα συμεία.
02. Δίνεται πυραμίδα ${\rm O}.{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ . Να κατασκευαστεί μια επίπεδη τομή αυτής που να ‘ναι παραλληλόγραμμο.
03. Δοσμένο τριγωνικό πρίσμα, να τμηθεί από επίπεδο σε τρόπο ώστε η τομή να είναι ισόπλευρο τρίγωνο.
04. Δίνονται, παραλληλεπίπεδο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta .{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 \Delta _1$ με ${\rm A}{\rm A}_1 \parallel {\rm B}{\rm B}_1 \parallel \Gamma \Gamma _1 \parallel \Delta \Delta _1$ και ${\rm M}$ το μέσο της ακμής ${\rm B}\Gamma$ . Να σχεδιαστεί η τομή του παραλληλεπιπέδου από επίπεδο που διέρχεται από το ${\rm M}$ και είναι παράλληλο προς το επίπεδο των σημείων ${\rm B},\Delta ,{\rm A}_1$
05. Δίνονται, παραλληλεπίπεδο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta .{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 \Delta _1$ με ${\rm A}{\rm A}_1 \parallel {\rm B}{\rm B}_1 \parallel \Gamma \Gamma _1 \parallel \Delta \Delta _1$ και πάνω στις ακμές ${\rm A}{\rm A}_1 ,{\rm B}{\rm B}_1 ,\Gamma \Gamma _1$ τα σημεία ${{\rm K},\Lambda ,{\rm M}}$ αντίστοιχα σε τρόπο ώστε $\Lambda {\rm K}\parallel {\rm A}{\rm B}$ και $\Lambda {\rm M}$ όχι παράλληλη της ${\rm B}\Gamma$ . Να σχεδιαστεί η τομή του παραλληλεπιπέδου από το επίπεδο που ορίζουν το επίπεδο $\left( {{\rm K},\Lambda ,{\rm M}} \right)$ .
06. Δίνεται η κόλουρη πυραμίδα ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta .{\rm A}_1 {\rm B}_1 \Gamma _1 \Delta _1$ και τα σημεία $\left( {{\rm K},\Lambda ,{\rm M}} \right)$ . πάνω στις ακμές ${\rm A}{\rm A}_1 ,{\rm B}{\rm B}_1 ,\Delta {\rm E}_1$ αντίστοιχα. Να βρεθεί η τομή της δοσμένης πυραμίδας και του επιπέδου που ορίζουν τα δοσμένα σημεία.

ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Re: ΑΡΧΕΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΕΧΕΙΕΣ

Μέλη σε σύνδεση