Ταυτότητα στο τραπέζι(ο)

sakis1963 · #1

Σε ισοσκελές τραπέζιο βάσεων a, b

, ίσων σκελών

και διαγωνίων

,
ισχύει ταυτότητα : (2c)^2+(a+b)^2=(2d)^2+(a-b)^2

ή αλλιώς

#2

Ένας τρόπος είναι με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος:

$\displaystyle{d^2=\upsilon ^2+\Big(a+\frac{b-a}{2}\Big)^2=\upsilon ^2+\Big(\frac{a+b}{2}\Big)^2=c^2-\Big(\frac{b-a}{2}\Big)^2+\Big(\frac{a+b}{2}\Big)^2=c^2+ab.}$

Διαφορετικά, από τον νόμο των συνημιτόνων είναι

$\displaystyle{d^2=b^2+c^2-2bc\cos \phi=b^2+c^2-2bc\frac{\frac{b-a}{2}}{c}=c^2+ab.}$

#3

sakis1963 έγραψε:Σε ισοσκελές τραπέζιο βάσεων , ίσων σκελών και διαγωνίων , ισχύει ταυτότητα : ή αλλιώς

Άμεση συνέπεια του 2ου θεωρήματος των διαμέσων στο τρίγωνο με πλευρές
Στάθης

#4

sakis1963 έγραψε:Σε ισοσκελές τραπέζιο βάσεων , ίσων σκελών και διαγωνίων ,
ισχύει ταυτότητα :
ή αλλιώς

Καλησπέρα σε όλους

Θεώρημα Πτολεμαίου στο (εγγράψιμο) ισοσκελές τραπέζιο.

#5

sakis1963 έγραψε:Σε ισοσκελές τραπέζιο βάσεων , ίσων σκελών και διαγωνίων ,
ισχύει ταυτότητα :
ή αλλιώς

Για την καλησπέρα μου στους εκλεκτούς και για να καλωσορίσω δημόσια νέο μέλος κ. Θανάση (Sakis1963).

: Ταυτότητα στο τραπέζιο.png (18.88 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

Ας πούμε

το τραπέζιο με AB < CD

δηλαδή

.

Γράφουμε τον κύκλο (A,d)

που τέμνει την

και στο

. Επειδή $AC = AE\,\, = BD = d\,\,\,\,$ και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ ( παρά τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου ACE

)

και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ ( ιδιότητα ισοσκελούς τραπεζίου) θα είναι $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \Leftrightarrow BD//AE$ και άρα το τετράπλευρο ABDE

είναι παραλληλόγραμμο , με άμεση συνέπεια : DE = AB = a

.

Από τη δύναμη του σημείου

στον κύκλο (A,d)

έχουμε : $DC \cdot DE = A{C^2} - D{A^2} \Rightarrow \boxed{ab = {d^2} - {c^2}}$ .

Φιλικά Νίκος

sakis1963 · #6

: GEOMETRIA6.png (12.66 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

Ευχαριστώ, καλως σας βρήκα !
Ευχαριστώ και για τις όμορφες λύσεις σας
Παραθέτω και τη δικιά μου για λόγους πληρότητας
Γράφουμε κύκλο (D,c)

Δύναμη σημείου ως προς κύκλο : $BG\cdot BE=BF\cdot BA \Rightarrow (d-c)\cdot(d+c)=a\cdot b \Rightarrow d^2-c^2=a \cdot b$

Ταυτότητα στο τραπέζι(ο)

Ταυτότητα στο τραπέζι(ο)

Re: Ταυτότητα στο τραπέζι(ο)

Re: Ταυτότητα στο τραπέζι(ο)

Re: Ταυτότητα στο τραπέζι(ο)

Re: Ταυτότητα στο τραπέζι(ο)

Re: Ταυτότητα στο τραπέζι(ο)

Μέλη σε σύνδεση