Μικτοεγγεγραμμένος

KARKAR · #1

: Εγγεγραμμένος.png (16.49 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Σχεδιάστε - υπολογίζοντας την ακτίνα του - κύκλο , ο οποίος να εφάπτεται

στις κάθετες πλευρές και στον περίκυκλο , του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

με κάθετες πλευρές τις AB = 8 , AC = 6

#2

KARKAR έγραψε:Εγγεγραμμένος.pngΣχεδιάστε - υπολογίζοντας την ακτίνα του - κύκλο , ο οποίος να εφάπτεται

στις κάθετες πλευρές και στον περίκυκλο , του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

με κάθετες πλευρές τις

: Μικτοεγγεγραμμένος.png (21.12 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Έστω

το κέντρο του ζητούμενου κύκλου και

το μέσο της

που είναι και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

του τριγώνου ABC

. Η

είναι η διάκεντρος των δύο κύκλων και το σημείο

βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας $\widehat A$ .

Αν

είναι το σημείο επαφής του κύκλου (O, R)

με την

, τότε το

βρίσκεται στη μεσοκάθετο του

, έτσι ολοκληρώνεται

η κατασκευή (τομή δύο γεωμετρικών τόπων) και είναι R=4

.

#3

Στην προηγούμενη ανάρτηση, ήταν βολικά τα νούμερα και μου "έκατσε" η κατασκευή. Ας το δούμε τώρα για οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο.

: Μικτοεγγεγραμμένος.b.png (18.79 KiB) Προβλήθηκε 948 φορές

Έστω

το μέσο της

(κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου),

το μέσο της

,

ο ζητούμενος κύκλος,

το σημείο επαφής του με την

,

το σημείο επαφής των δύο κύκλων και $\displaystyle{OK \bot MN}$ . Είναι:

$\displaystyle{OH = R,MN = \frac{c}{2},OK = AH - AN = R - \frac{b}{2},MO = \frac{a}{2} - R}$ και από Π. Θ στο KMO

$\displaystyle{O{M^2} = K{M^2} + K{O^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{2} - R} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{2} - R} \right)^2} + {\left( {R - \frac{b}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{R=b+c-a}$

Αν τώρα παρατηρήσουμε ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι $\displaystyle{r = \frac{{b + c - a}}{2}}$ , προκύπτει ότι $\boxed{R=2r}$ , οπότε η κατασκευή είναι απλή.

Μικτοεγγεγραμμένος

Μικτοεγγεγραμμένος

Re: Μικτοεγγεγραμμένος

Re: Μικτοεγγεγραμμένος

Μέλη σε σύνδεση