Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Christos.N · #1

Δίνεται ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right) \bot \left( \pi \right)}$ στο $\displaystyle{{\rm O}}$ και εγγεγραμμένη γωνία $\displaystyle{\angle {\rm B}{\rm A}\Gamma = {60^o}}$ (του επιπέδου $\displaystyle{\left( \pi \right)}$ ).
Έστω $\displaystyle{\Delta \in \left( \varepsilon \right)}$ όπου $\displaystyle{\angle {\rm B}\Delta \Gamma = {90^o}}$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου $\displaystyle{\left( {{\rm B}\Delta \Gamma } \right)}$ συναρτήσει της ακτίνας του κύκλου $\displaystyle{C\left( {{\rm O},{\rm O}{\rm A}} \right)}$ .

: Καταγραφή.PNG (18.14 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές

#2

Christos.N έγραψε:Δίνεται ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right) \bot \left( \pi \right)}$ στο $\displaystyle{{\rm O}}$ και εγγεγραμμένη γωνία $\displaystyle{\angle {\rm B}{\rm A}\Gamma = {60^o}}$ (του επιπέδου $\displaystyle{\left( \pi \right)}$ ).
Έστω $\displaystyle{\Delta \in \left( \varepsilon \right)}$ όπου $\displaystyle{\angle {\rm B}\Delta \Gamma = {90^o}}$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου $\displaystyle{\left( {{\rm B}\Delta \Gamma } \right)}$ συναρτήσει της ακτίνας του κύκλου $\displaystyle{C\left( {{\rm O},{\rm O}{\rm A}} \right)}$ .

Το σχήμα που αναφέρεται το ερώτημα είναι το ακόλουθο και ζητά να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου που
αποτελείται από το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{BCD}$ και το κυκλικό τμήμα χρώματος κιτρίνου
και που αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{CD}$ του κύκλου $\displaystyle{C(M,MC)}$ .

: Εμβαδόν χωρίου 2.PNG (86.16 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

Ας εργαστούμε όμως στο ακόλουθο που μας επιτρέπει να βλέπουμε περισσότερα στοιχεία του θέματος.

: Εμβαδόν χωρίου 1.PNG (85.87 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

Είναι γνωστό ότι αφού

$\displaystyle{\hat{A}=60^o}$

θα είναι:

$\displaystyle{BC=R\sqrt{3}\ \ (1), \ \ OM=\frac{R}{2}\ \ (2)}$

Επίσης από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{DBC}$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{DM=\frac{BC}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2} \ \ (3)}$

Άρα επί του επιπέδου που ορίζεται από το σημείο $\displaystyle{M}$ και την ημιευθεία $\displaystyle{e}$ κατασκευάζεται το σημείο $\displaystyle{D}$ ως η τομή
του κύκλου με κέντρο το σημείο $\displaystyle{M}$ και ακτίνα οριζόμενη από τη σχέση (3) με την ημιευθεία $\displaystyle{(e)}$ .
(Το ανωτέρω επίπεδο προφανώς λόγω του θεωρήματος των τριών καθέτων είναι το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος $\displaystyle{BC}$ )

Ο υπολογισμός τώρα του εμβαδού είναι εύκολος:

$\displaystyle{E(DBC)=\frac{1}{2}\cdot R\sqrt{3}\cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{3R^2}{4}\ \ (4)}$

$\displaystyle{E(CD)=\frac{1}{4}\pi(\frac{R\sqrt{3}}{2})^2-\frac{1}{2}(\frac{R\sqrt{3}}{2})(\frac{R\sqrt{3}}{2})=\frac{3\pi R^2}{16}-\frac{3R^2}{8} \ \ (5)}$

όπου με το σύμβολο $\displaystyle{E(CD)}$ δηλώνεται το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος της χορδής $\displaystyle{CD}$ .

Άρα τη τελική τιμή είναι:

$\displaystyle{E=\frac{3(\pi+2)}{16}R^2}$

Κώστας Δόρτσιος

Christos.N · #3

Κύριε Κώστα σε ευχαριστώ πολύ που ασχολήθηκες ...

Να σου πω και εγώ με την σειρά μου το σκεπτικό της άσκησης αυτής.

Θα ήθελα να δει ο μαθητής την $\displaystyle{{\lambda _3}}$ , να δείξει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και στην συνέχεια να δει την $\displaystyle{{\lambda _4}}$ στον νέο κύκλο.

Με τους παραπάνω συσχετισμούς για την επίκεντρη γωνία το εμβαδόν του τριγώνου και του τμήματος.

Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Re: Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Re: Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Μέλη σε σύνδεση