Πλευρά ισοπλεύρου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας. Προσωπική διασκευή παλαιού θέματος.

: 26-6-17 Πλευρά ισοπλεύρου.PNG (5.59 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος είναι ισόπλευρο .

Αν είναι EC=2BD=2

και $A\widehat{D}E =2\cdot B\widehat{A}D$ τότε : Να υπολογιστεί η πλευρά $AB= \alpha$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος

Ιστοσελίδα · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας. Προσωπική διασκευή παλαιού θέματος.

Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο .

Αν είναι και $A\widehat{D}E =2\cdot B\widehat{A}D$ τότε : Να υπολογιστεί η πλευρά $AB= \alpha$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος

Καλημέρα Γιώργο.

: Πλευρά-ισοπλεύρου.png (27.34 KiB) Προβλήθηκε 1075 φορές

Συμπληρώνουμε τις γωνίες και τις πλευρές και από $\triangle DEC \sim \triangle ADC \Rightarrow \dfrac{2}{{a - 1}} = \dfrac{{a - 1}}{a} \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 1 = 0$ , με δεκτή λύση $a = 2 + \sqrt 3$

#3

Λίγο διαφορετικά.

: Πλευρά ισοπλέυρου.png (20.07 KiB) Προβλήθηκε 1052 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής με την

, της από το

παραλλήλου προς την

.

Έστω σε

το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BZ$ ,

επειδή $\displaystyle{\widehat {ZSA} = \widehat {EDA} = 2\widehat x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ZSA} = \widehat {SBA} + \widehat {SAB} + \widehat x}$ θα είναι $\widehat {ZBA} = \widehat x \Rightarrow \boxed{AZ = 1}$ .

Τώρα με $\boxed{BZ//DE \Rightarrow \frac{{CE}}{{CZ}} = \frac{{CD}}{{CB}} \Rightarrow \frac{2}{{a - 1}} = \frac{{a - 1}}{a} \Rightarrow a = 2 + \sqrt 3 }$

Η άσκηση έχει κι άλλα πολλά ωραία και άλλες λύσεις . Αξίζει να ενδιαφερθείτε κι άλλοι .

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας. Προσωπική διασκευή παλαιού θέματος.
26-6-17 Πλευρά ισοπλεύρου.PNG
Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο .

Αν είναι και $A\widehat{D}E =2\cdot B\widehat{A}D$ τότε : Να υπολογιστεί η πλευρά $AB= \alpha$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος

Καλησπέρα σε όλους!

: Πλευρά ισοπλεύρου...png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 1022 φορές

Έστω

η προβολή του

στη

και

η διχοτόμος του τριγώνου DAE.

Προφανώς $HC=1, HE=\sqrt 3$ και DZ||AB.

Με ν. συνημιτόνων στο ABD

και Πυθαγόρειο στο DHE

βρίσκω $\boxed{AD^2=a^2-a+1}$ και $\boxed{DE^2=a^2-4a+7}$

Θ. διχοτόμων στο DAE:

$\displaystyle{\frac{1}{{{{(a - 3)}^2}}} = \frac{{{a^2} - a + 1}}{{{a^2} - 4a + 7}} = \frac{{{a^2} - a + 1 - 1}}{{{a^2} - 4a + 7 - {{(a - 3)}^2}}} = \frac{{a(a - 1)}}{{2(a - 1)}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{a > 2} {a^2} - 6a + 9 = \frac{2}{a} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{a^3} - 6{a^2} + 9a - 2 = 0 \Leftrightarrow (a - 2)({a^2} - 4a + 7) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{a > 2} }$ $\boxed{a=2+\sqrt 3}$

ΥΓ. Αρχική μου σκέψη ήταν να αποδείξω ότι το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε άμεσα $\boxed{a=2+\sqrt 3}$

Δεν τα κατάφερα όμως

Γιώργος Μήτσιος · #5

Χαιρετώ! Μιχάλη , Νίκο και Γιώργο σας ευχαριστώ!
Μια παραλλαγή της τελευταίας λύσης , λόγω και της επιθυμίας του αγαπητού συνονόματου..

: 28-6-17 Πλευρά ισοπλεύρου.PNG (6.71 KiB) Προβλήθηκε 996 φορές

Είναι $DZ\parallel AB$ οπότε το τρίγωνο DCZ

είναι ισόπλευρο. Αν $DH=y \Rightarrow DZ=y+1..ZE=y-1 ..AB=y+2$ .

Από τα όμοια ZED,BAD

παίρνουμε $\dfrac{y+1}{y-1}=\dfrac{y+2}{1}\Rightarrow ..y=\sqrt{3}$

άρα το ορθ. DEH

είναι και ισοσκελές.. και βέβαια $\alpha =y+2=2+\sqrt{3}$ .

Φιλικά , Γιώργος

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Χαιρετώ! Μιχάλη , Νίκο και Γιώργο σας ευχαριστώ!
Μια παραλλαγή της τελευταίας λύσης , λόγω και της επιθυμίας του αγαπητού συνονόματου..
28-6-17 Πλευρά ισοπλεύρου.PNG
Είναι $DZ\parallel AB$ οπότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Αν $DH=y \Rightarrow DZ=y+1..ZE=y-1 ..AB=y+2$ .

Από τα όμοια παίρνουμε $\dfrac{y+1}{y-1}=\dfrac{y+2}{1}\Rightarrow ..y=\sqrt{3}$

άρα το ορθ. είναι και ισοσκελές.. και βέβαια $\alpha =y+2=2+\sqrt{3}$ .

Φιλικά , Γιώργος

Σ' ευχαριστώ Γιώργο!

STOPJOHN · #7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας. Προσωπική διασκευή παλαιού θέματος.
26-6-17 Πλευρά ισοπλεύρου.PNG
Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο .

Αν είναι και $A\widehat{D}E =2\cdot B\widehat{A}D$ τότε : Να υπολογιστεί η πλευρά $AB= \alpha$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος

Καλημέρα
Εστω DT//AB//IE

τότε ειναι

$AT=BD=1,DT=a-1,AE=a-2,EI=EC=IC=2,\hat{BAD}=\hat{x}=\hat{ADT}=\hat{DEI},\hat{DAT}=\hat{EDI}=60-x$
Συνεπως τα τρίγωνα ADT,DEI

είναι όμοια και
$\dfrac{AD}{DE}=\dfrac{1}{a-3}=\dfrac{a-1}{2}\Leftrightarrow a^{2}-4a+1=0\Leftrightarrow a=2+\sqrt{3}$

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας. Προσωπική διασκευή παλαιού θέματος.
26-6-17 Πλευρά ισοπλεύρου.PNG
Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο .

Αν είναι και $A\widehat{D}E =2\cdot B\widehat{A}D$ τότε : Να υπολογιστεί η πλευρά $AB= \alpha$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος

Άλλη μια λύση με εύρεση και της γωνίας $\displaystyle{x}$

Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{ADH}$ κι έστω $\displaystyle{AB \cap ED = P}$ .Τότε , $\displaystyle{APD = \angle HDC = \angle CAH = x}$

και $\displaystyle{\vartriangle ABD = \vartriangle ACH \Rightarrow HC = BD = 1}$

Ακόμη, $\displaystyle{D}$ είναι περίκεντρο του $\displaystyle{\vartriangle APH}$ ,συνεπώς $\displaystyle{\angle ZHA = \angle P = x \Rightarrow ZH//AK \Rightarrow AZHK}$ ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle{ \Rightarrow HK = AZ}$

Αλλά με $\displaystyle{M}$ μέσον του $\displaystyle{EC \Rightarrow \vartriangle MCH}$ ισόπλευρο άρα $\displaystyle{\angle EHC = {90^0}}$ και $\displaystyle{\angle HEC = {30^0}}$ και $\displaystyle{EH = \sqrt 3 }$

Επίσης, $\displaystyle{\angle HKA = \angle \frac{{ADH}}{2} = {30^0}}$ άρα $\displaystyle{ \Rightarrow AZ = HK = HE = \sqrt 3 }$

Τότε όμως $\displaystyle{Q}$ μέσον της $\displaystyle{AH}$ $\displaystyle{ \Rightarrow AE = EH = \sqrt 3 \Rightarrow \boxed{\alpha = CE + EA = 2 + \sqrt 3 }}$

Επιπλέον $\displaystyle{ \Rightarrow 2x = {30^0} \Rightarrow \boxed{x = {{15}^0}}}$

: pi.png (23.06 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #9

Kαλό μήνα σε όλους ! Να ευχαριστήσω βεβαίως , για τις νέες λύσεις και τους Γιάννη και Μιχάλη!
Μια ακόμη -ελαφρώς διαφορετική- προσέγγιση :

: Πλευρά ισοπλεύρου.PNG (7.53 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

Αν

τότε

. Είναι $D\widehat{A}E=60^{0}-x=C\widehat{D}E$ συνεπώς η

εφάπτεται στο

του περίκυκλου του τριγώνου ADE

. Ισχύει λοιπόν $CD^{2}=CE\cdot CA\Rightarrow \left ( y+1 \right )^{2}=2\left ( 2+y \right )\Rightarrow y=\sqrt{3}$

και τελικά $\boxed{\alpha =2+\sqrt{3}}$ . Με παρόμοια εκφώνηση αλλά μάλλον πιο σύνθετο το θέμα τούτο.

Φιλικά Γιώργος

Πλευρά ισοπλεύρου

Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση