Εμβαδόν και εφαπτομένη

#1

: Εμβαδόν και εφαπτομένη.png (10.99 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

$\bigstar$ Δίνεται τεταρτοκύκλιο $O\overset\frown{AB}.$ Το

είναι σημείο της ακτίνας

και το

σημείο του τόξου ώστε το τρίγωνο

MAN

να είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές MN=3, AM=4.

Οι

τέμνονται στο

α) Να δείξετε ότι

είναι το μέσο της ακτίνας

και να βρείτε το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου.

β) Αν $A\widehat SM=\theta,$ να υπολογίσετε την $\tan \theta.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 03, 2019 7:44 pm Εμβαδόν και εφαπτομένη.png
$\bigstar$ Δίνεται τεταρτοκύκλιο $O\overset\frown{AB}.$ Το είναι σημείο της ακτίνας και το σημείο του τόξου ώστε το τρίγωνο

να είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές Οι τέμνονται στο

α) Να δείξετε ότι είναι το μέσο της ακτίνας και να βρείτε το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου.

β) Αν $A\widehat SM=\theta,$ να υπολογίσετε την $\tan \theta.$

Χριστός Ανέστη,

α)
Φέρω το υπόλοιπο ημικύκλιο:

Το NMAO

είναι εγγράψιμο άρα $\widehat{ANM}=\widehat{AOM}\Leftrightarrow \tan\widehat{ANM}=\tan(2\widehat{OKM})$
Προφανώς AN=5

οπότε :
$\tan2\widehat{OKN}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow \dfrac{2\tan\widehat{OKN}}{1-\tan^2\widehat{OKN}}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow -4\tan^2\widehat{OKN}-6\tan\widehat{OKN}+4=0\overset{\widehat{OKN}<180}{\Leftrightarrow} ..\tan\widehat{OKN}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \boxed{ON=\dfrac{BO}{2}}$

Αν

η ακτίνα τότε
$r^2+\dfrac{r^2}{4}=25\Leftrightarrow r=2\sqrt{5}$
$E_{\tau \varepsilon \tau }=\dfrac{20\pi}{4}=5\pi\Leftrightarrow \boxed{E_{\tau \varepsilon \tau }=5\pi}$

β)

Με νόμο ημιτόνων στα OSA,ASM

$\left\{\begin{matrix} &\dfrac{4}{\sin\vartheta }=\dfrac{MS}{\sin\widehat{NAM}} & \\ \\ & \dfrac{2\sqrt{5}}{\sin\vartheta }=\dfrac{2\sqrt{5}-MS}{\sin\widehat{OAN}} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \dfrac{12}{5\sin\vartheta }=2\sqrt{5}-\dfrac{2}{\sin\vartheta }\Leftrightarrow \sin\vartheta =\dfrac{11\sqrt{5}}{25}$

και είναι $\cos\vartheta =\sqrt{1-\sin^2\vartheta }=\sqrt{1-\dfrac{121}{125}}=\dfrac{2}{5\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{25}$

Οπότε $\tan\vartheta =\dfrac{\sin\vartheta }{\cos\vartheta }\Leftrightarrow \boxed{\tan\vartheta =\dfrac{11}{2}}$

#3

Κατασκευή-Απόδειξη..

Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο $MNA \to (3,5,4)$ . Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου

που δεν ανήκει το

.

Η μεσοκαθετος στο

τέμνει το ημικύκλιο στο

, την

στο μέσο της

και την

στο μέσο της

.

Θα είναι : $\widehat {AON} = 90^\circ \,\,\,,\,\,\,OK = KA = \dfrac{5}{2}\,\,\,,\,\,KT// = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{3}{2}$ , συνεπώς

$OT = \dfrac{{5 + 3}}{2} = 4 = 2TA$ . Αφού όμως $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ τα ορθογώνια τρίγωνα $TOA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OAN$

θα είναι όμοια , οπότε : OA = 2ON

κι έτσι αν

το συμμετρικό του

ως προς το

θα είναι

: Εμβαδόν κι εφαπτομένη.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 914 φορές

α) Από το Π. Θ. στο $\vartriangle TOA$ έχω ${R^2} = {4^2} + {2^2} = 20$ και άρα το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου είναι :

$\boxed{{E_T} = \frac{1}{4}\pi {R^2} = 5\pi }$ .

β) Επειδή $\widehat y = \widehat {{a_2}}$ ( από το εγγράψιμο AMNO

) θα είναι :

$\boxed{\tan \theta = \tan (x + y) = \dfrac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x \cdot \tan y}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{11}}{2}}$

Ιστοσελίδα · #4

george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 03, 2019 7:44 pm
$\bigstar$ Δίνεται τεταρτοκύκλιο $O\overset\frown{AB}.$ Το είναι σημείο της ακτίνας και το σημείο του τόξου ώστε το τρίγωνο

να είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές Οι τέμνονται στο

α) Να δείξετε ότι είναι το μέσο της ακτίνας και να βρείτε το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου.

β) Αν $A\widehat SM=\theta,$ να υπολογίσετε την $\tan \theta.$

Καλημέρα.

: shape.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές

Από ισότητα γωνιών (εγγράψιμο, ισοσκελές) η

είναι, εκτός από ύψος, διχοτόμος του $\triangleleft NAC$ , άρα NC = NA = 5

Από ομοιότητα των τριγώνων CMA,AON

προκύπτει $NO = \dfrac{R}{2}$

Από Π.Θ. στο $\triangleleft AON:R = 2\sqrt 5$ και $E = 5\pi$

Ισχύει:

$\tan \varphi = \dfrac{1}{2},\,\tan (2\varphi ) = \dfrac{{2\tan \varphi }}{{1 - {{\tan }^2}\varphi }} = \dfrac{4}{3}$
$\tan \theta = \tan (3\varphi ) = \tan (2\varphi + \varphi ) = \dfrac{{\tan 2\varphi + \tan \varphi }}{{1 - \tan (2\varphi ) \cdot \tan \varphi }} = ... = \dfrac{{11}}{2}$

#5

Αλλιώς.

: Εμβαδόν και εφαπτομένη.ΙΙ.png (11.58 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

α) Πτολεμαίος στο : $\displaystyle 3R + 4x = 5R \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{R}{2}}$ και με Π. Θ $\displaystyle R = 2\sqrt 5 \Rightarrow$ $\boxed{{E_{\tau \varepsilon \tau }} = 5\pi }$

β) $\displaystyle (OAMN) = (OAN) + (MAN) \Leftrightarrow \frac{1}{2}OM \cdot AN\sin \theta = 5 + 6 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 5\sqrt 5 \sin \theta = 11 \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{{11}}{{5\sqrt 5 }},\cos \theta = \frac{2}{{5\sqrt 5 }} \Rightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{11}}{2}}$

Εμβαδόν και εφαπτομένη

Εμβαδόν και εφαπτομένη

Re: Εμβαδόν και εφαπτομένη

Re: Εμβαδόν και εφαπτομένη

Re: Εμβαδόν και εφαπτομένη

Re: Εμβαδόν και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση