Κατασκευή και λόγος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1289
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Κατασκευή και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Ιούλ 09, 2020 4:59 pm

Καλησπέρα.
9-7 κατασκευή.png
9-7 κατασκευή.png (129.07 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές
Θεωρούμε τρίγωνο ABC για το οποίο ισχύει 4\left ( BAC \right )=a^{2}\cdot tanA.


Έστω E το συμμετρικό του B ως προς τη διάμεσο AM και N σημείο της ME ώστε να είναι \widehat{ABN}=\widehat{ACB}.

Ι) Να κατασκευαστεί ένα τέτοιο τρίγωνοABC και ΙΙ) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{MN}{BC}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 09, 2020 7:11 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Ιούλ 09, 2020 4:59 pm
Καλησπέρα.
9-7 κατασκευή.png
Θεωρούμε τρίγωνο ABC για το οποίο ισχύει 4\left ( BAC \right )=a^{2}\cdot tanA.


Έστω E το συμμετρικό του B ως προς τη διάμεσο AM και N σημείο της ME ώστε να είναι \widehat{ABN}=\widehat{ACB}.

Ι) Να κατασκευαστεί ένα τέτοιο τρίγωνοABC και ΙΙ) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{MN}{BC}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλησπέρα Γιώργο!


Ι) b^2+c^2=2a^2 .......... II) E είναι το βαρύκεντρο του BNC και \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{3}{2}.

Αύριο η λύση αν δεν απαντηθεί μέχρι τότε.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 10, 2020 8:00 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Ιούλ 09, 2020 4:59 pm
Καλησπέρα.
9-7 κατασκευή.png
Θεωρούμε τρίγωνο ABC για το οποίο ισχύει 4\left ( BAC \right )=a^{2}\cdot tanA.


Έστω E το συμμετρικό του B ως προς τη διάμεσο AM και N σημείο της ME ώστε να είναι \widehat{ABN}=\widehat{ACB}.

Ι) Να κατασκευαστεί ένα τέτοιο τρίγωνοABC και ΙΙ) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{MN}{BC}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Με τα γράμματα και τους συμβολισμούς του σχήματος έχω:
Κατασκευή και λόγος.ΓΜ.png
Κατασκευή και λόγος.ΓΜ.png (18.18 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
Ι) \displaystyle 4(BAC) = {a^2}\tan A \Leftrightarrow 2bc\sin A = {a^2}\frac{{\sin A}}{{\cos A}} \Leftrightarrow {a^2} = 2bc\cos A \Leftrightarrow \boxed{b^2+c^2=2a^2}

II) Επειδή οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, τα τρίγωνα ABD, ACB είναι όμοια, οπότε \displaystyle AD = \frac{{{c^2}}}{b},

\displaystyle DC = b - \frac{{{c^2}}}{b} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{b} = \frac{{2({a^2} - {c^2})}}{b} και με θ. διαμέσων στο ABC, \boxed{AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} (1)

\displaystyle \frac{{AH}}{{KC}} = \frac{{AD}}{{DC}} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{HM}} = \frac{{{c^2}}}{{{a^2} - {c^2}}} \Leftrightarrow \frac{{AM}}{{HM}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} - {c^2}}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{KC=2HM = \frac{{\sqrt 3 }}{{a}}({a^2} - {c^2})}

Με νόμο συνημιτόνου στο ABM βρίσκω \displaystyle \cos \omega  = \frac{{2({a^2} - {c^2})\sqrt 3 }}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{{2PM}}{a} = \frac{{2({a^2} - {c^2})\sqrt 3 }}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow CE = 2PM = \frac{2}{3}CK.

Άρα το E είναι βαρύκεντρο του BNC, απ' όπου \boxed{\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{3}{2}}


Πιστεύω ότι υπάρχει ευκολότερη λύση.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1289
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κατασκευή και λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιούλ 11, 2020 11:57 am

Καλημέρα! Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την κάλυψη και του παρόντος!

Να τονίσω μόνο για την κατασκευή του ABC πως αρκεί να πάρουμε πλευρά BC=a με μέσο M

και το A ως σημείο (όχι στον φορέα των B,C) του κύκλου (M,a\sqrt{3}/2)  αφού είναι AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.

Ας κάνουμε ένα κόπο ακόμη , να δείξουμε -ίσως όχι άσκοπα- και την ομοιότητα των τριγώνων BAM και MAN

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1289
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κατασκευή και λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιούλ 18, 2020 12:47 pm

Καλημέρα.Η λύση που ακολουθεί προκύπτει από την συνεργασία δύο ..Γιώργηδων!

Από μένα βοηθητικά, και κυρίως από ... :) ποιόν άλλον... τον Γιώργο Β. όπως βλέπουμε στην #4 ανάρτηση του θέματος: Υπάρχει λόγος.
18-7 κατασκευή.png
18-7 κατασκευή.png (132.42 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές
Εύκολα προκύπτει \widehat{AHB}=\widehat{B} κι' από την παραπομπή παίρνουμε AM^{2}=BM\cdot MN.

Έχουμε εδώ AM^{2}=\dfrac{3a^{2}}{4} , συνεπώς \dfrac{a}{2}MN=\dfrac{3a^{2}}{4}\Rightarrow \dfrac{MN}{a}=\dfrac{3}{2}.

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες