Χρυσός αριθμός και καθετότητα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά σε όλους!

: 28-4 Χρυσός και καθετότητα.png (150.63 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

, την $\widehat{A}=54^o$ και

το μέσον της

Θεωρούμε το $E \in AM$ ώστε $\left ( ACE \right )=\dfrac{12}{7}\Phi$ (όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός) και το $H \in BM$ ώστε MC=7MH

Να εξεταστεί αν ισχύει η καθετότητα μεταξύ των και . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Απρ 28, 2022 9:27 am Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά σε όλους!
28-4 Χρυσός και καθετότητα.png
Το τρίγωνο έχει , την $\widehat{A}=54^o$ και το μέσον της

Θεωρούμε το $E \in AM$ ώστε $\left ( ACE \right )=\dfrac{12}{7}\Phi$ (όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός) και το $H \in BM$ ώστε

Να εξεταστεί αν ισχύει η καθετότητα μεταξύ των και . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Χρόνια Πολλά σε όλους!

Προς το παρόν αφήνω εκτός σχήματος το σημείο

Φέρνω από το

κάθετο στην

που τέμνει την

στο

την

στο

και την

στο

Θα δείξω ότι το

ταυτίζεται με το

δηλαδή ότι $\left ( ACZ \right )=\dfrac{12}{7}\Phi,$ οπότε θα ισχύει η καθετότητα.

: Χρυσός αριθμός και καθετότητα.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 836 φορές

$\displaystyle \frac{{BH}}{{HC}} = \dfrac{{\dfrac{{6MC}}{7}}}{{\dfrac{{8MC}}{7}}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = \frac{{AB}}{{AC}},$ άρα

είναι η διχοτόμος του ABC

και ως εκ τούτου AS=AC.

Με Μενέλαο στο BCS

και διατέμνουσα $\displaystyle \overline {AMZ}$ βρίσκω $\displaystyle \frac{{CZ}}{{ZS}} = \frac{{AB}}{{AS}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{CZ}}{{CS}} = \frac{3}{7}.$

$\displaystyle \frac{{(ACZ)}}{{(ACS)}} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow (ACZ) = \frac{3}{7}\left( {\frac{1}{2} \cdot 16\sin 54^\circ } \right) = \frac{{24}}{7} \cdot \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} = \frac{{12}}{7}\Phi$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Απρ 28, 2022 9:27 am Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά σε όλους!
28-4 Χρυσός και καθετότητα.png
Το τρίγωνο έχει , την $\widehat{A}=54^o$ και το μέσον της

Θεωρούμε το $E \in AM$ ώστε $\left ( ACE \right )=\dfrac{12}{7}\Phi$ (όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός) και το $H \in BM$ ώστε

Να εξεταστεί αν ισχύει η καθετότητα μεταξύ των και . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι γνωστό ότι $\Phi =2cos36^0$ κι από ν.ημιτόνου στο τρίγωνο ABC

έχουμε

$\dfrac{a}{sin54^0}= \dfrac{3}{sinC} \Rightarrow \dfrac{a}{cos36^0}= \dfrac{3}{sinC} \Rightarrow \Phi = \dfrac{2asinC}{3}= \dfrac{4asinC}{6}= \dfrac{(ABC)}{3}$

Άρα $(AEC)= \dfrac{12}{7} \dfrac{(ABC)}{3} \Rightarrow \dfrac{(AEC)}{(ABC)} = \dfrac{4}{7}$

Αλλά 2(AMC)=(ABC)

,επομένως $\dfrac{(AEC)}{(AMC)}= \dfrac{8}{7} \Rightarrow \dfrac{AM}{ME}= \dfrac{(AEC)}{(MCE)}=7$

Έχουμε λοιπόν $\dfrac{AM}{ME}= \dfrac{CM}{MH}=7 \Rightarrow HE//AC$

Είναι $\dfrac{ZH}{ZA} = \dfrac{ZE}{ZC} = \dfrac{HE}{AC} = \dfrac{HM}{MC} = \dfrac{1}{8}$ απ όπου $\dfrac{ZE}{EC} = \dfrac{1}{7}$

και $\dfrac{AH}{HZ} =7$

Αν τώρα

μέσον της

εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει ο αντίστροφος CEVA στο

$\triangle AZC$ οπότε Z,M,N

συνευθειακά και ZN//AB

$\dfrac{ZM}{AB}= \dfrac{MH}{HB}= \dfrac{1}{6} \Rightarrow ZM= \dfrac{AB}{6}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow ZN=\dfrac{1}{2}+ \dfrac{3}{2}=2= \dfrac{AC}{2} \Rightarrow AZ \bot CZ$

: Χρυσός αριθμός και καθετότητα.png (23.6 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ! Από ένα στους Γιώργο και Μιχάλη για τις υπέροχες λύσεις τους!

Προτίθεμαι να επανέλθω για μία ακόμη λύση , ή/και για ..

.. νέο χειροκρότημα!

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα. Μια προσέγγιση ακόμη.

: 5-5 Χρυσός και καθετότητα.png (116.81 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Οι

τέμνονται στο

.Είναι $\left ( MAC \right )=(BAC)/2 =\dfrac{3\cdot 4}{4}\cdot \dfrac{\Phi }{2}=3\Phi/2$

οπότε $\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{\left ( MAC \right )}{\left ( EAC \right )}=\dfrac{3\Phi/2 }{12\Phi /7}=\dfrac{7}{8}$

δηλ. $\dfrac{AM}{ME}=7=\dfrac{b+c}{b-c}$ και όπως στο θέμα ΤΟΥΤΟ προκύπτει AF=AC

Oπως έχει δειχθεί η

είναι διχοτόμος στο ισοσκελές συνεπώς $AH \perp FC$ . Φιλικά, Γιώργος

Χρυσός αριθμός και καθετότητα

Χρυσός αριθμός και καθετότητα

Re: Χρυσός αριθμός και καθετότητα

Re: Χρυσός αριθμός και καθετότητα

Re: Χρυσός αριθμός και καθετότητα

Re: Χρυσός αριθμός και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση