Κομμένο φτερό

KARKAR · #1

: Κομμένο φτερό.png (13.66 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

Το

είναι ένα από τα δύο σημεία τομής των κύκλων (O,3)

και

, με

. Η

τέμνει

τον (K)

και στο σημείο

, ενώ η

τον

και στο σημείο

. Υπολογίστε το τμήμα

.

Henri van Aubel · #2

Έχουμε $\displaystyle KT\cdot KS=KO^{2}-TO^{2}\Leftrightarrow 4\cdot KS=6^{2}-3^{2}=27\Leftrightarrow KS=\frac{27}{4}\Rightarrow ST=\frac{11}{4}$

Ομοίως $\displaystyle OT\cdot OP=OK^{2}-TK^{2}\Leftrightarrow 3OP=6^{2}-4^{2}=20\Leftrightarrow OP=\frac{20}{3}\Rightarrow TP=\frac{11}{3}$

Όμως $\displaystyle \cos \angle STP=\cos \angle OTK=\frac{3^{2}+4^{2}-6^{2}}{2\cdot 3\cdot 4}=-\frac{11}{24}$ , επομένως από νόμο

συνημιτόνων στο $\displaystyle \vartriangle STP$ , θα έχουμε $\displaystyle SP^{2}=\left ( \frac{11}{4} \right )^{2}+\left ( \frac{11}{3} \right )^{2}-2\cdot \frac{11}{4}\cdot \frac{11}{3}\cdot \left ( -\frac{11}{24} \right )=\frac{11^{2}\cdot 9+11^{2}\cdot 4^{2}+11^{2}\cdot 11}{144}.$

Συνεπώς, έχουμε $\displaystyle SP^{2}=\frac{11^{2}\cdot 36}{144}\Leftrightarrow \boxed{SP=\frac{11}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 02, 2023 8:49 am Κομμένο φτερό.pngΤο είναι ένα από τα δύο σημεία τομής των κύκλων και , με . Η τέμνει

τον και στο σημείο , ενώ η τον και στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

$\vartriangle OTS \approx \vartriangle KTP$ ( Ισοσκελή με τις κατακορυφήν γωνίες στο

ίσες )

: Κομμένο φτερό.png (21.67 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Α Θ. Πτολεμαίου στο OKPS

και έχω : $\left( {3k + 4} \right)\left( {4 + 3k} \right) = 12 + 36k \Rightarrow \boxed{k = \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow SP = \frac{{11}}{2}}$

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 02, 2023 8:49 am Κομμένο φτερό.pngΤο είναι ένα από τα δύο σημεία τομής των κύκλων και , με . Η τέμνει

τον και στο σημείο , ενώ η τον και στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

Θέτω

Με νόμο συνημιτόνου στο TOK

βρίσκω $\displaystyle \cos (O\widehat TK) = - \frac{{11}}{{24}} \Rightarrow \cos (S\widehat TO) = \frac{{11}}{{24}}$

και πάλι με νόμο συνημιτόνου στο STO,

είναι $\boxed{y = \frac{{11}}{4}}$ (1)

: Κομμένο φτερό.png (21.88 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Τώρα, εύκολα προκύπτει ότι τα ισοσκελή τρίγωνα OTS, KTP

είναι όμοια, άρα και τα TSP, TOK

οπότε, $\displaystyle \frac{6}{x} = \frac{3}{y}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{x=\frac{11}{2}}$

Πιστεύω ότι είμαι εντός φακέλου. (Απέφυγα τον αγαπημένο μου Stewart

)

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 02, 2023 8:49 am Το είναι ένα από τα δύο σημεία τομής των κύκλων και , με . Η τέμνει

τον και στο σημείο , ενώ η τον και στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

: 2023-08-02_16-17-23.jpg (52 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 02, 2023 8:49 am Κομμένο φτερό.pngΤο είναι ένα από τα δύο σημεία τομής των κύκλων και , με . Η τέμνει

τον και στο σημείο , ενώ η τον και στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

$KT.KS=KQ.KN \Rightarrow 4(4+y)=3.9=27 \Rightarrow y= \dfrac{27}{4}$ και $\dfrac{ST}{TK}= \dfrac{11}{16}$

Το SOKP

προφανώς είναι εγγράψιμμο και $\dfrac{(SPO)}{(OPK)}= \dfrac{ST}{TK} = \dfrac{SP.SOsin \angle OSP}{KO.KPsin \angle PKO} \Rightarrow \dfrac{11}{16}= \dfrac{3x}{24} \Rightarrow x= \dfrac{11}{2}$

: κομμένο φτερό.png (14.94 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

Κομμένο φτερό

Κομμένο φτερό

Re: Κομμένο φτερό

Re: Κομμένο φτερό

Re: Κομμένο φτερό

Re: Κομμένο φτερό

Re: Κομμένο φτερό

Μέλη σε σύνδεση