Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 5001.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 1128 φορές

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή
που μπορεί να πάρει το τμήμα

.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 9:34 pm 5001.png

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή
που μπορεί να πάρει το τμήμα .

Η μεγαλύτερη ακεραία τιμή του τμήματος

είναι το

.

Θα δώσω δυναμικό αρχείο αργότερα .

Henri van Aubel · #3

Φέρνουμε τη διχοτόμο της $\angle CBA$ που τέμνει την

στο

Είναι $\angle BQA=2\theta =\angle CBA$ , οπότε $BQA\sim CBA$ και άρα $\displaystyle \frac{BQ}{BA}=\frac{BC}{CA}\Leftrightarrow BQ=\frac{ac}{b}$

Όμως $\displaystyle BQ=CQ=\frac{ab}{a+c}\Rightarrow \frac{ab}{a+c}=\frac{ac}{b}\Leftrightarrow a=\frac{b^{2}-c^{2}}{c}$

Έχουμε $\displaystyle DC=\frac{ab}{b+c}\Rightarrow DC=\frac{\displaystyle \frac{b\left ( b+c \right )\left ( b-c \right )}{c}}{b+c}=\frac{b\left ( b-c \right )}{c}=\frac{b\left ( b-8 \right )}{8}$

Επιπλέον $\displaystyle a=\frac{\left ( b+c \right )\left ( b-c \right )}{c}< b+c\Leftrightarrow b-c< c\Rightarrow b< 16\left ( \ast \right )$

Σύμφωνα με την (*), έπεται πως $\displaystyle DC< 16$

Το DC=15

γίνεται για $b^{2}-8b+16=\left ( b-4 \right )^{2}=136\Leftrightarrow b-4=\sqrt{136}$

Τότε, θα είναι $b=4+\sqrt{136}> 4+\sqrt{16}=8=c$ και $\displaystyle a=\frac{\left ( b+c \right )\left ( b-c \right )}{c}< b+c\left ( b< 2c \right )$ , οπότε ισχύει και η τριγωνική ανισότητα και είμαστε οκ.

Υ.Γ Γενικά, για να φτιάξουμε τρίγωνο με πλευρές a> b> c

, μας αρκεί η προϋπόθεση a< b+c

κλπ.

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 9:34 pm 5001.png

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή
που μπορεί να πάρει το τμήμα .

$\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = 64 + 8a$ και $\displaystyle DC = \frac{{ab}}{{8 + b}}.$ Με απαλοιφή του

είναι $\boxed{DC = \frac{{b(b - 8)}}{8}}$ (1)

: ΜΑΤ.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \sin 2\theta = \frac{{FD}}{{BD}} \hfill \\ \hfill \\ \sin \theta = \frac{{DE}}{{DC}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{FD = DE} 2\cos \theta = \frac{{DC}}{{BD}} = \frac{b}{8} \Leftrightarrow b = 16\cos \theta < 16$ και από την (1)

$\displaystyle DC < \frac{{16 \cdot 8}}{8} \Leftrightarrow DC < 16.$ Άρα η μεγαλύτερη ακέραια τιμή είναι $\boxed{DC=15}$

#5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 9:34 pm 5001.png

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή
που μπορεί να πάρει το τμήμα .

Μεγαλύτερο ακέραιο μήκος τμήματος.ggb: (35.96 KiB) Μεταφορτώθηκε 32 φορές

Το δυναμικό αρχείο που υποσχέθηκα

#6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 9:34 pm 5001.png

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή
που μπορεί να πάρει το τμήμα .

Κατασκευή

: Μεγαλύτερη ακέραια τιμή_γεωμετρική Κατασκευή.png (30.82 KiB) Προβλήθηκε 1007 φορές

Γράφω ημικύκλιο κέντρου

και διαμέτρου $\overline {FZB} = 16$ . Έστω τυχαίο σημείο του

και την διχοτόμο της γωνίας $\widehat {CBA}$ .

Κατασκευάζω τόξο χορδής

, κέντρου

που δέχεται γωνία ίση με $\widehat {CBA} = 2\theta$ , που τέμνει τη διχοτόμο της $\widehat {CBA}$ στο

.

Η

τέμνει την

στο

.

Τα τρίγωνα ABC

( υπάρχουν άπειρα ) έχουν: $AB = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B = 2C$ . Υπάρχουν κι άλλοι τρόποι κατασκευής .

Υπολογισμοί .

: Μεγαλύτερη ακέραια τιμή_υπολογισμοί.png (17.87 KiB) Προβλήθηκε 1007 φορές

Έχω, $\left\{ \begin{gathered} k = \frac{{8x}}{b} \hfill \\ {b^2} - 64 = 8\left( {k + x} \right) \hfill \\ A{D^2} = 8b - kx \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \frac{{8x}}{b} \hfill \\ x = \frac{{b\left( {b - 8} \right)}}{8} \hfill \\ A{D^2} = 8b - kx > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Η δεύτερη προέκυψε με βάση και την πρώτη , ενώ λόγω της πρώτης η τρίτη μας δίδει: x < b

.

Αν όμως οριακά $b \to x$ η σχέση , $x = \dfrac{{b\left( {b - 8} \right)}}{8}$ δίδει $\boxed{{x^2} - 16x < 0 \Rightarrow x < 16}$ .

Αν θέλω τώρα x = 15

ή $x = \dfrac{{b\left( {b - 8} \right)}}{8}$ δίδει : ${b^2} - 8b - 120 = 0 \Rightarrow \boxed{b = 4 + 2\sqrt {34} }$ κ.λ.π.

: Μεγαλύτερη ακέραια τιμή_γεωμετρική Κατασκευή ok.png (30.31 KiB) Προβλήθηκε 1007 φορές

#7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 9:34 pm 5001.png

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή
που μπορεί να πάρει το τμήμα .

Ενδιαφέρον έχει να δούμε -αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους- ότι:

BD=b-8

Στη συνέχεια είναι

a<b+c

ή

, άρα

, κ.λπ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 9:34 pm 5001.png

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή
που μπορεί να πάρει το τμήμα .

Αν ο κύκλος (B,8)

τμήσει την

στο

και την

στο

θα είναι,

$\angle AEC= \angle EAB= \angle C= \theta \Rightarrow AE=b$ και $\angle AEZ=90^0$

Έτσι, $AE<AZ \Rightarrow b<16$ .Προφανώς όμως $\angle ADC> \angle DAC$ άρα CD<b<16

συνεπώς η μεγαλύτερη ακέραια τιμή του

είναι 15

: μέγιστη ακέραια τιμή τμήματος.png (51.76 KiB) Προβλήθηκε 985 φορές

Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή ευθύγραμμου τμήματος.

Μέλη σε σύνδεση