Και ημίτονο έχω

KARKAR · #1

: Και ημίτονο έχω.png (15.09 KiB) Προβλήθηκε 1187 φορές

Οι δύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες OA=5

και

. Η κάθετη της

στο

,

τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο σημείο

, ενώ η εφαπτομένη από το

προς τον μικρό κύκλο ,

τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Υπολογίστε το : $\sin \theta$ .

Henri van Aubel · #2

Οι

εφάπτονται του μικρού κύκλου. Εύκολο είναι να δούμε ότι OP=OA=5

και $\displaystyle PB=3\Longrightarrow PA=\sqrt{10}$ , επομένως $\displaystyle cos \angle POA=\frac{5^{2}+5^{2}-10}{50}=\frac{4}{5}$ και συνεπώς $\displaystyle sin \angle POA=\frac{3}{5}$ και $\displaystyle sin \angle BPS=sin \left ( 2\angle PTB \right )=sin \left ( 2\angle POB \right )=\frac{24}{25}\Longrightarrow sin \theta =\frac{7}{25}.$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 1:24 pm
Και ημίτονο έχω.pngΟι δύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες και . Η κάθετη της στο ,

τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο σημείο , ενώ η εφαπτομένη από το προς τον μικρό κύκλο ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το : $\sin \theta$ .

$\displaystyle \frac{3}{{SP}} = \sin \theta = \frac{4}{{5 + x}} \Leftrightarrow SP = \frac{{3(5 + x)}}{4}.$

: Και ημίτονο έχω.png (25.94 KiB) Προβλήθηκε 1096 φορές

Π.Θ στο

$\displaystyle \frac{9}{{16}}{(x + 5)^2} = {(x + 1)^2} + 9\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = \frac{{65}}{7} \Rightarrow SP = \frac{{75}}{7}$ και $\boxed{\sin \theta = \frac{7}{{25}}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 1:24 pm
Και ημίτονο έχω.pngΟι δύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες και . Η κάθετη της στο ,

τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο σημείο , ενώ η εφαπτομένη από το προς τον μικρό κύκλο ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το : $\sin \theta$ .

Και εκτός φακέλου λύσεις έχω .

1η λύση :

Φέρνω την εφαπτομένη του μεγάλου ημικυκλίου στο

και τέμνει την

στο

.

Ας είναι : $AF = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FS = m$ . Η τετράδα , $\left( {Z,A\backslash B,F} \right)$ είναι ως γνωστό αρμονική.

Αλλά αφού διαδοχικά : $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ ( χορδής κι εφαπτομένης) και $\widehat {{a_4}} = \widehat {BOP} = \widehat {{a_1}} \Rightarrow \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}}$ .

Συνεπώς και η τετράδα : $\left( {B,S\backslash O,F} \right)$ είναι αρμονική. Έτσι θα έχω ταυτόχρονα:

: Και ημίτονο έχω.png (41.69 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{ZF}}{{ZB}} \hfill \\ \frac{{FB}}{{FS}} = \frac{{OB}}{{OS}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{k}{1} = \frac{{10 + k}}{9} \hfill \\ \frac{{1 + k}}{m} = \frac{4}{{5 + k + m}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \frac{5}{4} \hfill \\ m = \frac{{225}}{{28}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Τώρα $\boxed{\sin \theta = \dfrac{{OT}}{{OS}} = \dfrac{4}{{5 + \dfrac{5}{4} + \dfrac{{225}}{{28}}}} = \dfrac{7}{{25}}}$

2η λύση

: Και ημίτονο έχω_ok_new.png (39.08 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

$\vartriangle BPF \approx \vartriangle BOP$ και άρα υπάρχει k > 0

για το οποίο : $BP = 4k\,\,,\,\,PF = 5k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FB = 3k$ . Κι αφού BP = 3

θα είναι , $k = \dfrac{3}{4} \Rightarrow BF = \dfrac{9}{4} \Rightarrow \tan \omega = \dfrac{{BF}}{{BP}} = \dfrac{3}{4}$ .

$\boxed{\sin \theta = \cos 2\omega = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\omega }}{{1 + {{\tan }^2}\omega }} = \dfrac{{1 - \dfrac{9}{{16}}}}{{1 + \dfrac{9}{{16}}}} = \dfrac{7}{{25}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 1:24 pm
Και ημίτονο έχω.pngΟι δύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες και . Η κάθετη της στο ,

τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο σημείο , ενώ η εφαπτομένη από το προς τον μικρό κύκλο ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το : $\sin \theta$ .

Είναι $cos \omega = \dfrac{4}{5} \Rightarrow sin \theta =cos2 \omega =2cos^2 \omega-1 = \dfrac{7}{25}$

: και ημίτονο έχω.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 1:24 pm
Οι δύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες και . Η κάθετη της στο ,

τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο σημείο , ενώ η εφαπτομένη από το προς τον μικρό κύκλο ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το : $\sin \theta$ .

: shape.png (23.88 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Και ημίτονο έχω

Και ημίτονο έχω

Re: Και ημίτονο έχω

Re: Και ημίτονο έχω

Re: Και ημίτονο έχω

Re: Και ημίτονο έχω

Re: Και ημίτονο έχω

Μέλη σε σύνδεση