Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο.png (11.72 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές

Κι όμως γίνεται ! Αρκεί βέβαια να δώσετε κατάλληλο μήκος στην κάθετη πλευρά

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 25, 2024 9:38 pm Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο.png Κι όμως γίνεται ! Αρκεί βέβαια να δώσετε κατάλληλο μήκος στην κάθετη πλευρά .

Θεωρώ

την προβολή του

στην

και προεκτείνω την

μέχρι να τμήση την

στο

.

Θέτω : $AC = y = CZ\,\,\,,\,\,ZE = x$ . Από το ορθογώνιο $\vartriangle ZDE$ έχω : $x = \sqrt {16 - 9} = \sqrt 7$ .

Πρέπει $C{E^2} = C{A^2} + A{E^2} \Rightarrow {\left( {y + \sqrt 7 } \right)^2} = {y^2} + 49 \Rightarrow \boxed{y = 3\sqrt 7 }$ .

Κατασκευή .

: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο_Ανάλυση_Κατασκευή.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με κάθετες πλευρές : $AB = 15\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 3\sqrt 7$ . Γράφω τον κύκλο $\left( {D,3} \right)$ και φέρνω

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα του ,

. Θα είναι $CD = \sqrt {9 + 63} = 6\sqrt 2 \,\,,\,\,CE = 4\sqrt 7$ .

Επειδή $CB = \sqrt {{{15}^2} + 63} = 12\sqrt 2$ θα έχω $\dfrac{{BC}}{2} = 6\sqrt 2 = CD$ . Το τετράπλευρο CDET

είναι χαρταετός , το

μέσο του

και

Η

διχοτόμος στο $\vartriangle CDB.$

S.E.Louridas · #3

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 25, 2024 9:38 pm Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο.png Κι όμως γίνεται ! Αρκεί βέβαια να δώσετε κατάλληλο μήκος στην κάθετη πλευρά .

Προφανώς και η λύση της άσκησης από τον Νίκο, όπως έχει δοθεί η εκφώνηση, είναι η Άριστη.

Προσωπικά την έλυσα (?) ως εξής:

Αν η κάθε μία από τις γωνίες ονομαστεί

παίρνουμε:

$\displaystyle{\tan t = \frac{3}{y},\;\frac{{2\tan t}}{{1 - {t^2}}} = \frac{7}{y} \Rightarrow ... \Rightarrow y = \sqrt {63} .}$

(*) Όμως επιφυλάσσομαι μήπως έχω κάνει λάθος, λόγω ταχύτητας, αφού δεν χρησιμοποίησα το άλλο δεδομένο.

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 25, 2024 9:38 pm Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο.png Κι όμως γίνεται ! Αρκεί βέβαια να δώσετε κατάλληλο μήκος στην κάθετη πλευρά .

: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο_extra.png (37.94 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Αν η κατασκευή γίνει με τους Απολλώνιους : κέντρων $K\,\,,\,\,\,L$

$AE\,\,,\,\,\lambda = \dfrac{3}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB\,\,,\,\,\lambda ' = \dfrac{1}{2}$ προκύπτει αναγκαστικά : $CA \bot AB\,$ . Επί πλέον δε, $\,{y^2} = AE \cdot AL = 7 \cdot 9 = 63$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 25, 2024 9:38 pm Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο.png Κι όμως γίνεται ! Αρκεί βέβαια να δώσετε κατάλληλο μήκος στην κάθετη πλευρά .

Με $CZ \bot CD \Rightarrow CZ$ είναι εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ACE

και $\dfrac{x}{x+7}= \dfrac{3}{4} \Rightarrow x=21$

Η

εφάπτεται του κύκλου (Z,E,C)

άρα

κι από Π.Θ $b=\sqrt{63}$

: τριχοτόμιση σε ορθογώνιο.png (28.44 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 25, 2024 9:38 pm Κι όμως γίνεται! Αρκεί βέβαια να δώσετε κατάλληλο μήκος στην κάθετη πλευρά .

: shape.png (18.96 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

S.E.Louridas · #7

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 25, 2024 9:38 pmΚι όμως γίνεται ! Αρκεί βέβαια να δώσετε κατάλληλο μήκος στην κάθετη πλευρά .

Προσωπικά την έλυσα (?) ως εξής:
Αν η κάθε μία από τις γωνίες ονομαστεί

παίρνουμε:

$\displaystyle{\tan t = \frac{3}{y},\;\frac{{2\tan t}}{{1 - {t^2}}} = \frac{7}{y} \Rightarrow ... \Rightarrow y = \sqrt {63} .}$

(*). Προφανώς και ο υπολογισμός των tant, tan2t

είναι άμεσος.

Η τεχνική επίλυσης της άσκησης τελειώνει πλήρως ακριβώς πάνω.

Όμως δεν τελειώνει εδώ η λύση της ειδικής αυτής άσκησης. Θα πρέπει επιπλέον να διαπιστώσουμε (και αυτό αποτελεί υποχρεωτική κίνηση)
την αλήθεια της ισότητας: $\displaystyle{\tan 3t = \frac{{15}}{{\sqrt {63} }} = \frac{{5\sqrt 7 }}{7}\;\;\left( 1 \right).}$
Άρα $\displaystyle{\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{\tan t + \tan 2t}}{{1 - \tan t\tan 2t}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{7} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{{10\sqrt 7 }}{{14}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{7},}$ που ισχύει.

S.E.Louridas · #8

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 25, 2024 9:38 pm Κι όμως γίνεται ! Αρκεί βέβαια να δώσετε κατάλληλο μήκος στην κάθετη πλευρά .

Ας δούμε και το εξής:

Ονομάζουμε CA = y

και με βάση το σχήμα που ακολουθεί έχουμε:

$\displaystyle{\frac{4}{x} = \frac{{CE}}{{CT}},\;\;\frac{x}{3} = \frac{{CT}}{y} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{{CE}}{y} \Rightarrow \frac{{16}}{9} = \frac{{49 + {y^2}}}{{{y^2}}} \Rightarrow ... \Rightarrow y = 3\sqrt 7 .}$

Το ότι $\angle ECB = \theta \Rightarrow EB = 8,$ πλέον απλά διαπιστώνεται.

: ΚΑΡ.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

Re: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

Re: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

Re: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

Re: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

Re: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

Re: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

Re: Τριχοτόμηση σε ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση