Ίσα τμήματα 51

KARKAR · #1

: Ίσα τμήματα 51.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

, οι γωνίες $\widehat{BAM}$ και $\widehat{MAN}$ είναι ίσες . Οι AN , BM

τέμνονται στο

, ενώ οι

στο

. Για ποια θέση του

, προκύπτει : OT=ST

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 14, 2024 2:45 pm
Ίσα τμήματα 51.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , οι γωνίες $\widehat{BAM}$ και $\widehat{MAN}$ είναι ίσες . Οι τέμνονται στο , ενώ οι στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Προφανώς το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle SAB$ (λόγω του ημικυκλίου $\angle ANB=\angle AMB={{90}^{0}}$ ) και λόγω της διχοτόμου το εν λόγω τρίγωνο είναι ισοσκελές με «κορυφή»

οπότε

άξονας συμμετρίας του τριγώνου και συνεπώς TS=TB

. Αν θέλουμε και TS=TO

τότε το

θα είναι το περίκεντρο του τριγώνου $\vartriangle SOB$ και συνεπώς η

ως κάθετη στην χορδή

του περίκυκλού του θα είναι μεσοκάθετη αυτής και ας είναι $P\equiv ST\cap OB$ το μέσο λοιπόν της

Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle SPB,\vartriangle AMB$ (κοινή γωνία η $\angle SBA$ θα έχουμε: $\dfrac{PB}{MB}=\dfrac{SB}{AB}\overset{SB=2MB}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{\dfrac{r}{2}}{MB}=\dfrac{2MB}{2r}\Rightarrow \ldots MB=\dfrac{r\sqrt{2}}{2}$ και συνεπώς προσδιορίζεται το

ως το σημείο τομής του κύκλου $\left( B,\dfrac{r\sqrt{2}}{2} \right)$ με το ημικύκλιο

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 14, 2024 2:45 pm
Ίσα τμήματα 51.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , οι γωνίες $\widehat{BAM}$ και $\widehat{MAN}$ είναι ίσες . Οι

τέμνονται στο , ενώ οι στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

: Ίσα τμήματα 51.png (14.95 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές

Κατασκευή: Θεωρώ σημείο

του ημικυκλίου ώστε $AN=\dfrac{3r}{2}$ και προεκτείνω το

κατά τμήμα $NS=\dfrac{r}{2}.$ Η

τέμνει το ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο

Αργότερα η απόδειξη.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 14, 2024 2:45 pm
Ίσα τμήματα 51.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , οι γωνίες $\widehat{BAM}$ και $\widehat{MAN}$ είναι ίσες . Οι

τέμνονται στο , ενώ οι στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

: Ίσα τμήματα 51.β.png (17.25 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

Κατασκευή: Θεωρώ σημείο

του ημικυκλίου ώστε $AN=\dfrac{3r}{2}$ και προεκτείνω το

κατά τμήμα $NS=\dfrac{r}{2}.$ Η

τέμνει το ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο

Απόδειξη: Θα δείξω ότι $B\widehat AM=M\widehat AN$ και OT=ST.

Εκ κατασκευής είναι AS=AB=2r

κι επειδή το

είναι ύψος, θα είναι και διχοτόμος, οπότε το πρώτο

ζητούμενο αποδείχτηκε. Επίσης, θα είναι και μεσοκάθετος του BS,

άρα

Φέρνω και το τρίτο ύψος

του τριγώνου SAB.

Λόγω της διχοτόμου είναι AP=AN, NT=TP.

Άρα, $OP=\dfrac{r}{2}=PB,$

δηλαδή OT=TB=ST

που αποδεικνύει και το δεύτερο ζητούμενο.

Εξυπακούεται ότι η κατασκευή δεν έγινε με την επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος, αλλά προηγήθηκε η Ανάλυση.

KARKAR · #5

: Ίσα τμήματα 51.png (17.04 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

Αφού λύθηκε , προτείνω χωρίς περαιτέρω εξηγήσεις τον εντοπισμό του

, με την κατασκευή του $MM' \perp OB$ .

Ίσα τμήματα 51

Ίσα τμήματα 51

Re: Ίσα τμήματα 51

Re: Ίσα τμήματα 51

Re: Ίσα τμήματα 51

Re: Ίσα τμήματα 51

Μέλη σε σύνδεση