Παρά - λογος

KARKAR · #1

: Παράλογος.png (7.69 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

$\bigstar$ Φέραμε το προς την υποτείνουσα

ύψος

του ορθογωνίου τριγώνου

ABC

και παρατηρήσαμε ότι : CD=AB

. Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm $\bigstar$ Φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος του ορθογωνίου τριγώνου

και παρατηρήσαμε ότι : . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$

: shape.png (17.88 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm Παράλογος.png $\bigstar$ Φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος του ορθογωνίου τριγώνου

και παρατηρήσαμε ότι : . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$

ΜΕ $DE\bot AC$ προφανώς $\triangle BAD= \triangle DEC \Rightarrow BD=DE \Rightarrow BE$ διχοτόμος της γωνίας

$\dfrac{a}{c}= \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{c}{a-c} \Rightarrow (\dfrac{a}{c} )^2- \dfrac{a} {c}-1=0 \Rightarrow \dfrac{a}{c}= \Phi \Rightarrow a^2=c^2 \Phi ^2$

$a^2=b^2+c^2 \Rightarrow b^2=a^2-c^2=a^2- \dfrac{a^2}{ \Phi ^2}=a^2 \dfrac{1- \Phi ^2}{ \Phi ^2}= \dfrac{a^2}{ \Phi } \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \sqrt{ \Phi }$

: Παρά-λογος.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm Παράλογος.png $\bigstar$ Φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος του ορθογωνίου τριγώνου

και παρατηρήσαμε ότι : . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$

Παρόμοιο.

: Παρά-λογος.Κ.png (8.77 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

$\displaystyle (a - c)c = A{D^2} = {c^2} - {(a - c)^2} \Leftrightarrow {a^2} - ac - {c^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \Phi$

$\displaystyle \frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = {\Phi ^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{\Phi ^2}}}{{{\Phi ^2} - 1}} = \Phi \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{a}{b} = \sqrt \Phi }$

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm Παράλογος.png $\bigstar$ Φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος του ορθογωνίου τριγώνου

και παρατηρήσαμε ότι : . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$

Από Θ, Ευκλείδη στο $\vartriangle ABC$ έχω : $A{B^2} = BD \cdot BC \Rightarrow {x^2} = \left( {a - x} \right)a$ .

Δηλαδή το

χωρίζει σε μέσο κι άκρο λόγο την υποτείνουσα BC = a

κι αυτό γιατί :

Το τετράγωνο του μεγάλου τμήματος ισούται με το υπόλοιπο επί το αρχικό. Έχω λοιπόν : $\boxed{\varphi = \frac{a}{x} = \frac{x}{{a - x}}\,}\,\,\left( 1 \right)$

: Παρά_λόγος.png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

Αλλά για τις προβολές των $x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b$ στην υποτείνουσα ισχύει : $\boxed{\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} \Rightarrow \frac{{a - x}}{x} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{\varphi }}\,\,\left( 2 \right)$

Μεταξύ των $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 1 \right)$ διώχνω το

κι έχω : $\boxed{\frac{a}{b} = \sqrt \varphi }$

Εκτέλεση πράξεων :

Από την $\left( 1 \right)$ έχω , $x = \dfrac{a}{\varphi }$ το θέτω στην τελευταία ισότητα στην $\left( 2 \right)$ και προκύπτει : $\boxed{\dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{{{\varphi ^2}}}}}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{\varphi } \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}{\varphi ^2}}} = \dfrac{1}{\varphi } \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \varphi }$

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm Παράλογος.png $\bigstar$ Φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος του ορθογωνίου τριγώνου

και παρατηρήσαμε ότι : . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$

Το τετράπλευρο BDEA

είναι παραλληλόγραμμο και BD=AE=a-c

, $\Theta D//AB,\Theta D=\dfrac{c^{2}}{a}=a-c,$ , $E\Theta =c-\dfrac{c^{2}}{a}$ ,

$EC^{2}= (2c-a)^{2}+\dfrac{c^{2}b^{2}}{a^{2}}$

Από τη συνθήκη καθετότητας των τμημάτων $AC,DE, AE^{2}+DC^{2}=AD^{2}+EC^{2}\Rightarrow \dfrac{a^{2}}{b^{2}}=\dfrac{\Phi ^{2}}{\Phi ^{2}-1}, \Phi =\dfrac{\Phi ^{2}}{\Phi ^{2}-1} ,\dfrac{a}{b}=\sqrt{\Phi }$

Παρά - λογος

Παρά - λογος

Re: Παρά - λογος

Re: Παρά - λογος

Re: Παρά - λογος

Re: Παρά - λογος

Re: Παρά - λογος

Μέλη σε σύνδεση