Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση

KARKAR · #1

: Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με :

, δείξτε ότι : $ST\parallel PQ$

και - κυρίως - συγκρίνατε τα εμβαδά : (AST) , (APQ)

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 11, 2025 8:40 pm Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , δείξτε ότι : $ST\parallel PQ$

και - κυρίως - συγκρίνατε τα εμβαδά : .

$\angle \phi + \theta =90^0 \Rightarrow \angle 2 \phi +2 \theta =180^0 \Rightarrow TS//PQ$

Με AM//ST,PQ

προφανώς

είναι διάμεσος προς την υποτείνουσα,η

είναι διχοτόμος

της $\angle BAM$ και η

διχοτόμος της $\angle MAC$

Έτσι από $\dfrac{BT}{5} = \dfrac{6-BT}{6}$ παίρνουμε $BT= \dfrac{30}{11}$ άρα $TM= \dfrac{25}{11}$

κι από $\dfrac{CQ}{5} = \dfrac{8-CQ}{8}$ παίρνουμε $CQ=\dfrac{40}{13}$ άρα $QM= \dfrac{25}{13}$

Είναι (TSA)=(TSM)

και

.Επιπλέον $\angle 2 \theta +2 \phi =180^0$ .Έτσι

$\dfrac{(AST)}{(APQ)} = \dfrac{(TSM)}{(QPM)} = \dfrac{TM.TS}{MQ.QP}>1 \Rightarrow (AST)>(APQ)$

: Λογική παραλληλία....png (27.7 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 11, 2025 8:40 pm Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , δείξτε ότι : $ST\parallel PQ$

και - κυρίως - συγκρίνατε τα εμβαδά : .

Είναι προφανές ότι : $\widehat {STQ} + \widehat {PQT} = 2\left( {B + C} \right) = 180^\circ$ και έτσι ST//PQ

.

Επειδή τα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q\,\,$ ανήκουν στις μεσοκάθετες των ευθυγράμμων τμημάτων , $SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC$ θα ισχύουν με τους συμβολισμούς στο σχήμα :

: Λογική παραλληλία παράλογη σύγκριση_Κατασκευή.png (23.63 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{a}{6} = \frac{x}{{10}}\,\,\kappa \alpha \iota \,,\,\,x + 2a = 6 \hfill \\ \frac{b}{8} = \frac{y}{{10}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,,\,\,y + 2b = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{30}}{{11}}\,\,\kappa \alpha \iota \,,\,\,a = \frac{6}{{11}} \hfill \\ y = \frac{{40}}{{13}}\,\kappa \alpha \iota \,\,,\,\,b = \frac{{32}}{{13}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Τα ύψη , $\left\{ \begin{gathered} TM = \sqrt {{x^2} - {a^2}} = 2,672... \hfill \\ QN = \sqrt {{y^2} - {b^2}} = \frac{{24}}{{13}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ κι έτσι X > Y

.

Εντυπωσιακό το ότι το πιο μικρό εμβαδόν , $\boxed{Y = \frac{{480}}{{169}}}$ ( απρόσμενα ρητός!)

KARKAR · #4

: ρητά όλα.png (18.32 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Μετά τον υπολογισμό των ίσων τμημάτων ( γίνεται και με νόμο συνημιτόνων ) , για τον υπολογισμό

των εμβαδών , με χρήση του τύπου : $\dfrac{1}{2}\vdot x\cdot x\cdot \sin\phi$ , βρίσκουμε : $X=\dfrac{360}{121} , Y=\dfrac{480}{169}$ .

με τον λόγο : $\dfrac{X}{Y}=\dfrac{507}{484}\simeq 1.0475$ , ( όπως περίπου τα αντίστοιχα χρώματα

) .

Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση

Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση

Re: Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση

Re: Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση

Re: Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση

Μέλη σε σύνδεση