Συντρέχουσες ευθείες σε κυρτό πεντάγωνο.

#1

Δίνεται κυρτό πεντάγωνο με $\angle C = \angle D = 90^{o}$ και έστω το δεύτερο εκτός του κοινό σημείο των κύκλων $(O),\ (O^{\prime}),$ των περιγεγραμμένων περί τα τρίγωνα $\bigtriangleup ABC,\ \bigtriangleup ADE$ αντιστοίχως. Εάν $C^{\prime},\ D^{\prime},$ είναι οι προβολές των $C,\ D,$ επί των ευθειών $AE,\ AB$ αντιστοίχως, αποδείξτε ότι το σημείο $P\equiv CC^{\prime}\cap DD^{\prime},$ ανήκει στην ευθεία

Κώστας Βήττας.

#2

Αγαπητοί φίλοι, παραθέτω τη λύση που μου έστειλε ο αγαπητός φίλος Κώστας Ελατιώτης.

Έστω τo σημείo $E^{\prime}\equiv (O^{\prime})\cap CD,$ αντιδιαμετρικό του

από $ED\perp DE^{\prime}$ .

Ομοίως, το σημείο $B^{\prime}\equiv (O)\cap CD,$ είναι το αντιδιαμετρικό του

από $BC\perp CB^{\prime}$ .

$\bullet$ Έστω τα σημεία $P^{\prime}\equiv AF\cap CC^{\prime},\ P^{\prime}^{\prime}\equiv AF\cap DD^{\prime}$ και αρκεί να αποδειχθεί ότι $P^{\prime}\equiv P^{\prime}^{\prime}$ .

Από $AE^{\prime}\parallel CC^{\prime}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{QC}{QE^{\prime}} = \frac{QP^{\prime}}{QA}\ \ \ ,(1)$ όπου $Q\equiv AF\cap CD$ .

Από $AB^{\prime}\parallel DD^{\prime}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{QD}{QB^{\prime}} = \frac{QP^{\prime}^{\prime}}{QA}\ \ \ ,(2)$

: Συντρέχουσες ευθείες σε κυρτό πεντάγωνο.; f=22_t=1295(a).PNG (24.85 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

$\bullet$ Από τις δυνάμεις τώρα, του σημείου

ως προς τους κύκλους $(O),\ (O^{\prime}),$ έχουμε αντιστοίχως

$(QA)(QF) = (QB^{\prime})(QC)\ \ \ ,(3)$ και $(QA)(QF) = (QD)(QE^{\prime})\ \ \ ,(4)$

Από $(3),\ (4)$ $\Longrightarrow$ $(QB^{\prime})(QC) = (QD)(QE^{\prime})$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{QC}{QE^{\prime}} = \frac{QD}{QB^{\prime}}\ \ \ ,(5)$

$\bullet$ Από $(1),\ (2),\ (5)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{QP^{\prime}}{QA} = \frac{QP^{\prime}^{\prime}}{QA}$ $\Longrightarrow$ $QP^{\prime} = QP^{\prime}^{\prime}\ \ \ ,(6)$

Από (6)

$\Longrightarrow$ $P^{\prime}^{\prime}\equiv P^{\prime}$ και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Συντρέχουσες ευθείες σε κυρτό πεντάγωνο.

Συντρέχουσες ευθείες σε κυρτό πεντάγωνο.

Re: Συντρέχουσες ευθείες σε κυρτό πεντάγωνο.

Μέλη σε σύνδεση