Σχέση ακτινών

#1

Σε κάθε τρίγωνο να δείξετε ότι: $\displaystyle{ \rho _\alpha + \rho _\beta + \rho _\gamma - \rho = 4R }$ , όπου $\displaystyle{ \rho _\alpha ,\;\rho _\beta ,\;\rho _\gamma }$ είναι οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου,

ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Στάθης Κούτρας

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Σε κάθε τρίγωνο να δείξετε ότι: $\displaystyle{ \rho _{\color{red}a} + \rho _{\color{red}b} + \rho _{\color{red}c} - \rho = 4R }$ ,

άλλαξα λίγο τα γράμματα για ευκολία

ισχύουν : $\displaystyle{E=(ABC)=(\tau -a)\rho_a=(\tau -b)\rho_b=(\tau -c)\rho_c,\ E=\tau \cdot \rho,\ E=\sqrt{\tau(\tau-a)(\tau-b)(\tau-c)},\ \ E=\frac{abc}{4R},\ \tau=\frac{a+b+c}{2}}$

$\displaystyle{\rho_a+\rho_b+\rho_c-\rho=E\Big[\frac{1}{\tau -a}+\frac{1}{\tau-b}+\frac{1}{\tau-c}-\frac{1}{\tau}\Big]=\\ \frac{1}{E}\Big(\tau(\tau-b)(\tau-c)+\tau(\tau-a)(\tau-c)+\tau(\tau-a)(\tau-b)-(\tau-a)(\tau-b)(\tau-c)\Big)=}$

$\displaystyle{\frac{1}{E}\Big(\tau(\tau-c)c+(\tau-a)(\tau-b)c\Big)=\frac{abc}{E}=4R}$

#3

Φωτεινή σε ευχαριστώ πολύ που ασχολήθηκες με το θέμα μου

Θα μου επιτρέψεις να βάλω και εγώ μια διαφορετική λύση (για να τιμήσουμε και τον Euler)

Σχήμα (δικό μου)

Είναι γνωστό ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ορθικό τρίγωνο του τριγώνου $\displaystyle{ {\rm I}_\alpha \mathop {{\rm I}_\beta }\limits^\Delta {\rm I}_\gamma }$ που έχει κορυφές τα παράκεντρα του τριγώνου (θυμηθείτε ότι οι διχοτόμοι εσωτερικής και εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνονται κάθετα και ότι ορθικό τρίγωνο ενός τριγώνου ονομάζεται το τρίγωνο που έχει κορυφές τα ίχνη των υψών του τριγώνου αυτού). Άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ είναι ο κύκλος του Euler του τριγώνου $\displaystyle{ {\rm I}_\alpha \mathop {{\rm I}_\beta }\limits^\Delta {\rm I}_\gamma }$ και επομένως θα διέρχεται από τα μέσα των $\displaystyle{ {\rm I}_\alpha {\rm I}_\beta ,\;{\rm I}_\beta {\rm I}_\gamma ,\;{\rm I}_\gamma {\rm I}_\alpha }$ και τα μέσα των $\displaystyle{ {\rm I}{\rm I}_\beta ,\;{\rm I}{\rm I}_\gamma ,\;{\rm I}{\rm I}_\alpha }$ (προσέξτε το Ι είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{ {\rm I}_\alpha \mathop {{\rm I}_\beta }\limits^\Delta {\rm I}_\gamma }$ )

Από το τραπέζιο $\displaystyle{ {\rm Z}{\rm I}_\beta {\rm I}_\gamma {\rm H} }$ στο οποίο η ΝΜ’ είναι η διάμεσος (Ν είναι το μέσο της ΒΓ (άρα και της ΗΖ) θα ισχύει: $\displaystyle{ 2{\rm N}{\rm M}' = \rho _\beta + \rho _\gamma :\left( 1 \right) }$

Επίσης από το τραπέζιο $\displaystyle{ \Delta {\rm I}{\rm E}{\rm I}_\alpha \left( {{\rm I}\Delta //{\rm E}{\rm I}_\alpha } \right) }$
τα σημεία Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων του και επομένως ισχύει: $\displaystyle{ 2{\rm M}{\rm N} = \rho _\alpha - \rho :\left( 2 \right) }$
Προσθέτοντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη παίρνουμε: $\displaystyle{ \rho _\alpha + \rho _\beta + \rho _\gamma - \rho = 4R }$

Φιλικά και Γεωμετρικά

Στάθης

Σχέση ακτινών

Σχέση ακτινών

Re: Σχέση ακτινών

Re: Σχέση ακτινών

Μέλη σε σύνδεση