ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
Αναρτώ την γνωστή μας Κατασκευή Β33 και ζητώ νέες λύσεις της, αλλά και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας

Β33. Σε ευθεία , δίνεται η τετράδα των διατεταγμένων σημείων
ή .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα και μόνο ένα ζεύγος σημείων της ίδιας ευθείας τα οποία χωρίζουν αρμονικά και τα δύο τμήματα και . (Όχι με τους γνωστούς μας τρόπους των βιβλίων Χ, Κισκύα και Αρ. Πάλλα).


Δύο δικές μου λύσεις, με εφαρμογή νέας μεθόδου, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Ου περί χρημάτων τον αγώνα ποιούμεθα, αλλά περί αρετής.

[ΝΙΚΟΣ]

Λύσεις του παραπάνω Προβλήματος Β33

Αγαπητοί φίλοι,

[colorΛ=#FF0040] Δύο Νέες Λύσεις μου, με εφαρμογή νέας μου μεθόδου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Αρμονική Γεωμετρία, σελ. βιβλίου 61 και 57 σελ. ηλεκ.63 και 60 αντίστοιχα, κατασκευές 10 και 9 αντίστοιχα.
63
Ή, πιο εύκολα, την λύση μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... 3fonbUWkMQ
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
σελ. βιβλ 61 και 57, σελ. ηλεκ.63 και 60 αντίστοιχα, κατασκευές 10 και 9 αντίστοιχα.


Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Τίποτα μη πιστεύετε, προτού το αποδείξετε.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β34 και ζητώ νέες αποδείξεις της, αλλά και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

Επέκταση Γνωστή μας Πρότασης
Β34. Αν οι κύριες διαγώνιες εγγεγραμμένου εξάπλευρου σε κύκλο συντρέχουν σε ένα σημείο, τότε το σημείο αυτό συμπίπτει με το σημείο Brianchon {[6]( § 11-11)}, του αντίστοιχου περιγεγραμμένου του.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά και ταπεινά
Νίκος Κυριαζής
Ου περί χρημάτων τον αγώνα ποιούμεθα, αλλά περί αρετής.

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της Παραπάνω Πρότασης Β34.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 10, Σελίδα βιβλίου 305, ηλεκτ.313, πρόταση 10ι(133).

Ή, απόδειξη θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1Z9FNcE ... drive_link
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 305, ψηφιακή 313 , παράγραφος 10ι(133).

Παρακαλώ για τις δικές σας νέες αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Σωστός αγωνιστής είναι εκείνος που βάλλεται και πονά, αλλά συνεχίζει να αγωνίζεται.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β35 και ζητώ νέους εύκολους τρόπους καθορισμού του κέντρου βάρους της επιφάνειας κυρτού τετράπλευρου, τις αποδείξεις σας της Πρότασης αυτής , αλλά και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

Β35.Το κέντρο βάρους της επιφάνειας κυρτού τετράπλευρου συμπίπτει με το κέντρο βάρους της επιφάνειας του τριγώνου το οποίο έχει κορυφές την τομή των διαγώνιων του τετράπλευρου και τα δύο ισοτομικά σημεία της τομής αυτής, σε κάθε μια από τις δύο διαγώνιές του.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά και ταπεινά
Νίκος Κυριαζής
Ο Πλάτων, πίστευε ότι: «Τα Μαθηματικά είναι η αγωγός προς την αλήθεια».

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξή της παραπάνω Πρότασης Β35.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
Απόδειξή μου, της παραπάνω Πρότασης Β35 θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 9, Σελίδα βιβλίου 461 , pdf 468, πρόταση 9ι(168).
Ή, απόδειξη θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1lDlt67 ... oRZbu/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 461, ψηφιακή pdf 468 , παράγραφος 9ι(168).

Παρακαλώ για τις δικές σας νέες αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι ένα διδακτικό εργαλείο ευέλικτης σκέψης, από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του ανθρώπινου νου και μια τεράστια κληρονομιά για την ανθρωπότητα.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
Αναρτώ την Κατασκευή Β36 και ζητώ νέες λύσεις της, αλλά και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας

Β36. Να κατασκευασθεί τυχαίο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου τα μήκη των πλευρών, αποτελούν όρους γεωμετρικής προόδου και του οποίου δίνεται η μια από τις πλευρές του.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Ου περί χρημάτων τον αγώνα ποιούμεθα, αλλά περί αρετής.

[Mihalis_Lambrou]

Β36. Να κατασκευασθεί τυχαίο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου τα μήκη των πλευρών, αποτελούν όρους γεωμετρικής προόδου και του οποίου δίνεται η μια από τις πλευρές του.

.
Είναι άμεσο και απλό: Αν δίνεται η μικρότερη κάθετος, έστω , τότε το τρίγωνο έχει πλευρές για κάποιο . Από Πυθαγόρειο , ισοδύναμα . Άρα , δηλαδή το τρίγωνο είναι το . Όμοια οι άλλες δύο περιπτώσεις, που δίνουν τα τρίγωνα και, αντίστοιχα. Οι κατασκευές τους με κανόνα και διαβήτη, εξ ίσου άμεσες.

[ΝΙΚΟΣ]

Β36. Να κατασκευασθεί τυχαίο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου τα μήκη των πλευρών, αποτελούν όρους γεωμετρικής προόδου και του οποίου δίνεται η μια από τις πλευρές του.

.
Είναι άμεσο και απλό: Αν δίνεται η μικρότερη κάθετος, έστω , τότε το τρίγωνο έχει πλευρές για κάποιο . Από Πυθαγόρειο , ισοδύναμα . Άρα , δηλαδή το τρίγωνο είναι το . Όμοια οι άλλες δύο περιπτώσεις, που δίνουν τα τρίγωνα και, αντίστοιχα. Οι κατασκευές τους με κανόνα και διαβήτη, εξ ίσου άμεσες.

Καλό είναι οι πλευρές των τριγώνων να κατασκευαστούν. Άλλωστε αυτό ζητά και το πρόβλημα.

Νίκος Κυριαζής

[mick7]

---->Τρίγωνο του Κέπλερ

[Β36. Να κατασκευασθεί τυχαίο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου τα μήκη των πλευρών, αποτελούν όρους γεωμετρικής προόδου και του οποίου δίνεται η μια από τις πλευρές του.

[Mihalis_Lambrou]

Καλό είναι οι πλευρές των τριγώνων να κατασκευαστούν. Άλλωστε αυτό ζητά και το πρόβλημα.

.
Σωστά, το ζητάει η άσκηση, όμως στα Μαθηματικά είναι συνηθισμένο να παραλείπονται τα κοινότυπα και τετριμμένα. Άλλωστε σημείωσα
.

... Οι κατασκευές τους με κανόνα και διαβήτη, εξ ίσου άμεσες.

.
Και εξηγούμαι: Η κατασκευή του είναι απλούστατη και υπάρχει σε όλες τις Γεωμετρίες ήδη από την αρχαιότητα (στο σημείο όπου γίνεται κατασκευή κανονικού πενταγώνου). Επίσης, δεδομένου ένος τμήματος , η κατασκευή της είναι επίσης γνωστή και απλούστατη που υπάρχει σε όλες τις Γεωμετρίες ήδη από την αρχαιότητα (στο σημείο όπου γίνεται κατασκευή μέσης αναλόγου, εδώ μεταξύ του και .)

Συνοψίζοντας, αναγνωρίζω ότι παρέλειψα να εκτελέσω την κατασκευή κατά γράμμα. Επέλεξα, όμως, να σταθώ στην ουσία του ζητήματος, διότι επιδίωξή μου ήταν να καταδειχθεί ο κοινότοπος και τετριμμένος χαρακτήρας του θέματος. Ίσως η επιλογή μου αυτή να μην ήταν η πλέον ενδεδειγμένη. Θεώρησα, ωστόσο, ότι υπηρετούσα καλύτερα τα Μαθηματικά αναδεικνύοντας την ουσία, παρά επαναλαμβάνοντας επουσιώδεις και ευρέως γνωστές λεπτομέρειες.

[ΝΙΚΟΣ]

Καλό είναι οι πλευρές των τριγώνων να κατασκευαστούν. Άλλωστε αυτό ζητά και το πρόβλημα.

.
Σωστά, το ζητάει η άσκηση, όμως στα Μαθηματικά είναι συνηθισμένο να παραλείπονται τα κοινότυπα και τετριμμένα. Άλλωστε σημείωσα
.

... Οι κατασκευές τους με κανόνα και διαβήτη, εξ ίσου άμεσες.

.
Και εξηγούμαι: Η κατασκευή του είναι απλούστατη και υπάρχει σε όλες τις Γεωμετρίες ήδη από την αρχαιότητα (στο σημείο όπου γίνεται κατασκευή κανονικού πενταγώνου). Επίσης, δεδομένου ένος τμήματος , η κατασκευή της είναι επίσης γνωστή και απλούστατη που υπάρχει σε όλες τις Γεωμετρίες ήδη από την αρχαιότητα (στο σημείο όπου γίνεται κατασκευή μέσης αναλόγου, εδώ μεταξύ του και .)

Συνοψίζοντας, αναγνωρίζω ότι παρέλειψα να εκτελέσω την κατασκευή κατά γράμμα. Επέλεξα, όμως, να σταθώ στην ουσία του ζητήματος, διότι επιδίωξή μου ήταν να καταδειχθεί ο κοινότοπος και τετριμμένος χαρακτήρας του θέματος. Ίσως η επιλογή μου αυτή να μην ήταν η πλέον ενδεδειγμένη. Θεώρησα, ωστόσο, ότι υπηρετούσα καλύτερα τα Μαθηματικά αναδεικνύοντας την ουσία, παρά επαναλαμβάνοντας επουσιώδεις και ευρέως γνωστές λεπτομέρειες.

Σεβαστές όλες οι απόψεις.

Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

---->Τρίγωνο του Κέπλερ

[Β36. Να κατασκευασθεί τυχαίο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου τα μήκη των πλευρών, αποτελούν όρους γεωμετρικής προόδου και του οποίου δίνεται η μια από τις πλευρές του.

Πολύ σωστά.
Βλέπετε παρακαλώ (Στην παρένθεση δύο στίχων, στο τέλος της σελίδας 2), εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1oqtHu9 ... 0Xv3F/view

Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την γνωστή μας Πρόταση Β37 και ζητώ νέες αποδείξεις της, αλλά και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

Νέες αποδείξεις Γνωστής μας Πρότασης

Β37. Τα τρία τμήματα που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών και διαγώνιων κάθε τετράπλευρου, συντρέχουν σε σημείο το οποίο είναι και κοινό μέσον τους.

Δική μου νέα απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά και ταπεινά
Νίκος Κυριαζής
.Γεωμετρώ και γράφω για να απαλύνω τη ροή του χρόνου, που περνά και χάνεται.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Απόδειξη της Παραπάνω Πρότασης Β37.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
Νέα Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 8, Σελίδα βιβλίου 396, ηλεκτ., πρόταση 8ι(166).

Ή, πιο εύκολα, απόδειξη θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1on4mDt ... D6yc3/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 396, ψηφιακή 405 , παράγραφος 8ι(166).

Παρακαλώ για τις δικές σας νέες αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Κατά τον Kant «Στο νου εκείνου που πρώτος αποδεικνύει ή ανακαλύπτει μια ιδιότητα ενός Γεωμετρικού σχήματος, λάμπει ένα πολύ μεγάλο φως και η ικανοποίησή του είναι τεράστια». :

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β38 και ζητώ νέες αποδείξεις αλλά και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

Επέκταση Γνωστή μας Πρότασης
Β38. Ανά ένας, από τους τρεις ριζικούς άξονες των τριών κύκλων που ο καθένας περνά από τα άκρα μιάς διχοτόμου τριγώνου και εφάπτεται στην αντίστοιχη πλευρά του τριγώνου αυτού, περνά από μια κορυφή του αντίστοιχου περιγεγραμμένου τριγώνου του τριγώνου αναφοράς.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Στείλτε μου τα Θεωρήματα και εγώ θα σας βρω τις αποδείξεις.

Χρύσιππος