Δύσκολο τετράγωνο

KARKAR · #1

: Δύσκολο τετράγωνο.png (5.65 KiB) Προβλήθηκε 1205 φορές

Η χορδή

είναι παράλληλη προς τη διάμετρο

του ημικυκλίου και τριχοτομείται από τα σημεία P,Q

.

Αν θέλουμε οι κορυφές S,T

του τετραγώνου PQST

να είναι σημεία του τόξου , πως θα κατασκευάσουμε

τη χορδή

? Δεκτές και "υπολογιστικές" λύσεις !

#2

KARKAR έγραψε:
Δύσκολο τετράγωνο.png
Η χορδή είναι παράλληλη προς τη διάμετρο του ημικυκλίου και τριχοτομείται από τα σημεία .

Αν θέλουμε οι κορυφές του τετραγώνου να είναι σημεία του τόξου , πως θα κατασκευάσουμε

τη χορδή ? Δεκτές και "υπολογιστικές" λύσεις !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Στάθης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Δύσκολο τετράγωνο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η χορδή είναι παράλληλη προς τη διάμετρο του ημικυκλίου και τριχοτομείται από τα σημεία .

Αν θέλουμε οι κορυφές του τετραγώνου να είναι σημεία του τόξου , πως θα κατασκευάσουμε

τη χορδή ? Δεκτές και "υπολογιστικές" λύσεις !

Έστω $\displaystyle{x}$ η πλευρά του τετραγώνου .Τότε , $\displaystyle{PT = PC = x}$
Θεωρούμε το συμμετρικό του σχήματος ως προς $\displaystyle{AB}$ οπότε, $\displaystyle{P'T' = PT = x}$
Ισχύει $\displaystyle{CP \cdot PD = TP \cdot PT' \Rightarrow x \cdot PD = x \cdot PT' \Rightarrow PD = PT' = 2x}$ κι αφού $\displaystyle{P'T' = x \Rightarrow PP' = PQ = x \Rightarrow PQQ'P'}$ τετράγωνο που προφανώς έχει κέντρο το $\displaystyle{O}$ .
Άρα $\displaystyle{\angle OPM = {45^0} \Rightarrow OF = PF = \frac{x}{2}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow P{O^2} = \frac{{{x^2}}}{2}}$
$\displaystyle{CP \cdot PD = {R^2} - O{P^2} \Rightarrow 2{x^2} = {R^2} - \frac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow x = \frac{{R\sqrt 10}}{5} \Rightarrow \boxed{CD = \frac{{3R\sqrt 10 }}{5}}}$

Φέρνουμε την ακτίνα $\displaystyle{ON}$ κάθετη στην $\displaystyle{AB}$ και θεωρούμε σημείο $\displaystyle{F}$ ώστε $\displaystyle{OF = \frac{{R\sqrt {10} }}{{10}}}$ .Η κάθετη στην $\displaystyle{OF}$ στο $\displaystyle{F}$ προσδιορίζει τη ζητούμενη χορδή

ΠΡΟΕΣΤΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #4

ΓΕΙΑ ΣΟΥ ΜΙΧΑΛΗ

KARKAR · #5

Στο ίδιο πνεύμα , χωρίς επέκταση του σχήματος :

: Δύσκολο τετράγωνο - λύση.png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 1047 φορές

Αφενός : $QD \cdot QC=R^2-QO^2\Leftrightarrow 2s\cdot4s=R^2-(s^2+x^2)\Leftrightarrow 9s^2=R^2-x^2$ .

Αφετέρου : $s^2+(x+2s)^2=R^2\Leftrightarrow 5s^2+4sx=R^2-x^2$ . Τελικά : $9s^2= 5s^2+4sx\Leftrightarrow s=x$

και με αντικατάσταση $\displaystyle 10x^2=R^2\Leftrightarrow x=\frac{R\sqrt{10}}{10}$ . Υποθέτω ότι υπάρχει ακόμη συντομότερη λύση !

#6

Στην λύση του Θανάση (KARKAR), ο ισχυρισμός ότι ισχύει s = x

προκύπτει άμεσα από QD = QS,

αφού λόγω του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle QDS$ συμπεραίνεται ότι το

ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας $\angle DQS = 90^{o}$ και επομένως το τρίγωνο $\vartriangle LOQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Κώστας Βήττας.

#7

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Δύσκολο τετράγωνο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η χορδή είναι παράλληλη προς τη διάμετρο του ημικυκλίου και τριχοτομείται από τα σημεία .

Αν θέλουμε οι κορυφές του τετραγώνου να είναι σημεία του τόξου , πως θα κατασκευάσουμε

τη χορδή ? Δεκτές και "υπολογιστικές" λύσεις !

: Δύσκολο τετράγωνο.png (6.14 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Καλημέρα σε όλους,

Η γωνία $\displaystyle{S\widehat OC = {90^0}}$ (επίκεντρη στο ίδιο τόξο με τη γωνία $\displaystyle{{45^0}}$ )
Πυθαγόρειο στο τρίγωνο OSC

: $\displaystyle{C{S^2} = 2{R^2}}$ .
Αν

είναι η πλευρά του τετραγώνου, από το τρίγωνο SCQ

έχουμε:
$\displaystyle{C{S^2} = {x^2} + 4{x^2} = 5{x^2}}$ . Άρα $\displaystyle{x = \frac{{R\sqrt {10} }}{5}}$ .

#8

KARKAR έγραψε:Η χορδή είναι παράλληλη προς τη διάμετρο του ημικυκλίου και τριχοτομείται από τα σημεία . Αν θέλουμε οι κορυφές του τετραγώνου να είναι σημεία του τόξου , πως θα κατασκευάσουμε τη χορδή ? Δεκτές και "υπολογιστικές" λύσεις !

: 1.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 942 φορές

Έστω το αντιδιαμετρικό του . Τότε με $\left( {CP} \right) = \left( {PQ} \right) = \left( {PT} \right) = \left( {TS} \right) = \left( {SQ} \right) = \left( {QD} \right) = \frac{{\left( {CD} \right)}}{3}$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\angle TPC = \angle SDQ = {{90}^0}} \angle TCD = \angle SDC = {45^0} \Rightarrow$

$\boxed{\angle CDE = {{45}^0} - \angle TDC = \angle SDT} \Rightarrow$ $\boxed{\left( {CE} \right) = \left( {TS} \right) = \frac{{\left( {CD} \right)}}{3}}:\left( 1 \right)$ . Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο

$\vartriangle ECD\left( {\angle ECD = {{90}^0}} \right) \Rightarrow {\left( {CD} \right)^2} + {\left( {CE} \right)^2} = {\left( {ED} \right)^2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$ ${\left( {CD} \right)^2} + \dfrac{{{{\left( {CD} \right)}^2}}}{9} = 4{R^2} \Rightarrow \ldots \boxed{\left( {CD} \right) = \frac{{3R\sqrt {10} }}{5}}$ .

Ας δούμε και τη γεωμετρική κατασκευή της χορδής χωρίς πλέον λόγια...

: 1.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 923 φορές

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ETD\left( {\angle ETD = {{90}^0}} \right)$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ (κέντρου ) και έστω $S \equiv EM \cap \left( O \right)\left( {S \ne E} \right)$ ,

με το μέσο της . Η ζητούμενη χορδή είναι η $\boxed{DC\parallel TS}$
Στάθης

thanasis.a · #9

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Δύσκολο τετράγωνο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η χορδή είναι παράλληλη προς τη διάμετρο του ημικυκλίου και τριχοτομείται από τα σημεία .

Αν θέλουμε οι κορυφές του τετραγώνου να είναι σημεία του τόξου , πως θα κατασκευάσουμε

τη χορδή ? Δεκτές και "υπολογιστικές" λύσεις !

: draw1.png (31.42 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

..καλησπέρα..

επειδή $\bigtriangleup CPT:\hat{P}=90^{\circ} ,\,\,\,CP=PT\Rightarrow \hat{TCP}=\hat{CTP}=45^{\circ}$ οπότε $\hat{HTS}=180^{\circ} -90^{\circ} -45^{\circ} \Rightarrow \hat{HTS}=45^{\circ}$ . Όμοια: $\hat{HST}=45^{\circ} \Rightarrow \hat{THS}=90^{\circ}$ .

Από Πυθαγόρειο Θ. στο $\displaystyle\bigtriangleup HTS:HT=HS=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x\,\,\,(1)$ . Επίσης από Πυθαγόρειο Θ. στο $\bigtriangleup SQD:SD=\sqrt{2}\cdot x\,\,\,\,(2)$

Τέλος αφού: $\hat{TCD}=45^{\circ} \Rightarrow TD=\sqrt{2}\cdot R\,\,\,(3)$ .

Έτσι από (1),(2),(3) εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θ. στο $\displaystyle\bigtriangleup THD:TH^{2}+HD^{2}=TD^{2}\Rightarrow ....\Rightarrow x=\frac{\sqrt{10}R}{5}$ οπότε: $\displaystyle CD=\frac{3\sqrt{10}\cdot R}{5}$

Έτσι μπορεί να υπολογισθεί η

με βάση το πυθαγόρειο Θ. στο $\bigtriangleup MOC: MO=\displaystyle\frac{\sqrt{10}R}{10}$ και άρα να φτιαχτει η παράλληλη στην

σε απόσταση από αυτήν

#10

Μια λύση χωρίς υπολογισμούς στηριγμένη στην ομοιότητα:

Σε μια ευθεία παίρνουμε τα διαδοχικά και ίσα τμήματα C_1P_1=P_1Q_1=Q_1D_1

. Kατασκευάζουμε το τετράγωνο P_1T_1S_1Q_1

και γράφουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του ισοσκελούς τραπεζίου C_1T_1S_1D_1

. Αν

είναι το κέντρο του, τότε η γωνία $\hat{C_1O_1D_1}$ είναι ίση με την $\hat{COD}$ , που η κατασκευή της δίνει τη ζητούμενη χορδή CD.

mathematica.gr

Δύσκολο τετράγωνο

Δύσκολο τετράγωνο

Re: Δύσκολο τετράγωνο

Re: Δύσκολο τετράγωνο

Re: Δύσκολο τετράγωνο

Re: Δύσκολο τετράγωνο

Re: Δύσκολο τετράγωνο

Re: Δύσκολο τετράγωνο

Re: Δύσκολο τετράγωνο

Re: Δύσκολο τετράγωνο

Re: Δύσκολο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση