Της Άρτας το γεφύρι

KARKAR · #1

: Της Άρτας το γιοφύρι.png (13.55 KiB) Προβλήθηκε 981 φορές

Σε σημείο

της διαμέτρου AOB=2R

ενός ημικυκλίου υψώνω το κάθετο τμήμα

.

Οι ευθείες AT,BT

τέμνουν τη μεσοκάθετο της διαμέτρου στα σημεία M,N

αντίστοιχα .

Υπολογίστε το τμήμα

, ώστε τα τρίγωνα AMN , ATB

να είναι ισεμβαδικά .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 17, 2017 9:07 pm
Της Άρτας το γιοφύρι.pngΣε σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου υψώνω το κάθετο τμήμα .

Οι ευθείες τέμνουν τη μεσοκάθετο της διαμέτρου στα σημεία αντίστοιχα .

Υπολογίστε το τμήμα , ώστε τα τρίγωνα να είναι ισεμβαδικά .

$\displaystyle \left( {TAB} \right) = \left( {NAM} \right) = \left( {NMB} \right) \Rightarrow \left( {NMT} \right) + \left( {MTB} \right) = \left( {MAB} \right) + \left( {MTB} \right) \Rightarrow \boxed{\left( {NMT} \right) = 2\left( {MAO} \right)}$

$\displaystyle 2\left( {TAB} \right) = 2\left( {NAM} \right) \Rightarrow R \cdot MN = 2R \cdot TS \Rightarrow \boxed{MN = 2TS}$

$\displaystyle \frac{{OM}}{{TS}} = \frac{R}{{R + x}} \Rightarrow OM = \frac{R}{{R + x}} \cdot TS$

$\displaystyle \left( {NMT} \right) = 2\left( {MAO} \right) \Rightarrow \frac{{MN \cdot x}}{2} = OM \cdot R \Rightarrow TS \cdot x = \frac{{{R^2}}}{{R + x}} \cdot TS \Leftrightarrow {x^2} + Rx - {R^2} = 0$

Άρα $\displaystyle \boxed{x = R \cdot \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} = \frac{R}{\varphi }}$

: της Άρτας το γεφύρι.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 17, 2017 9:07 pm
Της Άρτας το γιοφύρι.pngΣε σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου υψώνω το κάθετο τμήμα .

Οι ευθείες τέμνουν τη μεσοκάθετο της διαμέτρου στα σημεία αντίστοιχα .

Υπολογίστε το τμήμα , ώστε τα τρίγωνα να είναι ισεμβαδικά .

: Της Άρτας το γεφύρι.png (9.57 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές

$\displaystyle \frac{{(AMN)}}{{(MNT)}} = \frac{{AM}}{{MT}} = \frac{R}{x} \Leftrightarrow \frac{{(AMN)}}{{(ANT)}} = \frac{R}{{R + x}} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ANT) = \frac{{R + x}}{R}(AMN)}$ (1)

$\displaystyle \frac{{(ANT)}}{{(ATB)}} = \frac{{NT}}{{TB}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{(AMN)}}{{(ATB)}} \cdot \frac{{R + x}}{R} = \frac{x}{{R - x}} \Leftrightarrow {x^2} + Rx - {R^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{R}{\Phi }}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Άρτα και γε $\Phi$ ύρι .. .. διπλός ο λόγος για να πω καλημέρα στους $\Phi$ ίλους !

: Της Άρτας το γεφύρι !.PNG (12.8 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Εκφράζουμε τους λόγους $\dfrac{(TAB)}{(AMO)}$ και $\dfrac{(MAN)}{(AMO)}$ σε σχέση με τα R,x

και εξισώνουμε τα β' μέλη

$\dfrac{(TAB)}{(AMO)}=\dfrac{2R\cdot TS}{R\cdot OM}=2\dfrac{R+x}{R}..(1)$ και $\dfrac{\left ( MAN \right )}{\left ( AMO \right )}=\dfrac{MN}{OM}$ . Προβάλλουμε το λόγο αυτό ,μέσω της

στην

φέροντας $OE\parallel MT...EZ\parallel TS$ , έτσι $\dfrac{MN}{OM}=\dfrac{TN}{TE}=\dfrac{x}{\left (R-x \right )/2}$ .. (2)

Προκύπτει $\dfrac{R+x}{R}=\dfrac{x}{R-x}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \dfrac{R}{x}=\Phi$

Ίσως βρείτε ενδιαφέρον ένα ακόμη ερώτημα :

Αν

το μέσον της

και η

τέμνει τις AG,OT

στα

αντίστοιχα τότε να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{FM}{MI}$

Φιλικά , Γιώργος .

makman94 · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2017 1:53 am

Ίσως βρείτε ενδιαφέρον ένα ακόμη ερώτημα :

Αν το μέσον της και η τέμνει τις στα αντίστοιχα τότε να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{FM}{MI}$

Φιλικά , Γιώργος .

$(AMN)=(ATB)\Leftrightarrow R*NM=2R*TS\Leftrightarrow R*2*GM=2R*TS\Leftrightarrow GM=TS$ .
Άρα GMST

παραλληλόγραμμο ( $GM=\parallel TS$ ) και αφού GT=GM

(

διάμεσος απο ορθή γωνία) προκύπτει GMST

ρόμβος.
Άρα οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται και συνεπώς η

είναι η μεσοκάθετος του

Όμως το

ανήκει στην

οπότε $\measuredangle GAM=\measuredangle MAB$ (1)

$\bigtriangleup AOT$ ισοσκελές (

διάμεσος απο ορθή γωνία) , άρα $\measuredangle MAB=\measuredangle ATO$ (2)

Από (1) και (2) έχουμε: $\measuredangle GAM=\measuredangle ATO$ , οπότε $AG\parallel OT$

Συνεπώς,
$\frac{FM}{MI}=\frac{GM}{MO}=\frac{TS}{MO}=\frac{AS}{AO}=\frac{R+\frac{R}{\Phi }}{R}=\Phi$

mathematica.gr

Της Άρτας το γεφύρι

Της Άρτας το γεφύρι

Re: Της Άρτας το γεφύρι

Re: Της Άρτας το γεφύρι

Re: Της Άρτας το γεφύρι

Re: Της Άρτας το γεφύρι

Μέλη σε σύνδεση