Ευτυχισμένο το νέο έτος

Ιστοσελίδα · #1

: 2024.png (36.42 KiB) Προβλήθηκε 1399 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

και έστω σημείο $D \in BC$ . Αν $A{D^2} = AB = AC = CD = a$ και BD = 2023

, να βρείτε το μήκος του

.

#2

Από Stewart έχουμε

$a^2 \cdot a + a^2 \cdot 2023= (\sqrt a )^2(2023+a)+ (2023+a) \cdot 2023 \cdot a$ , ισοδύναμα

$a^2-a-2023 \cdot 2024=0$ . Έχει ρίζες τις

και

, και αρπάζουμε την ευκαιρία να πούμε

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2023 10:25 am
2024.pngΔίνεται τρίγωνο και έστω σημείο $D \in BC$ . Αν $A{D^2} = AB = AC = CD = a$ και , να βρείτε το μήκος του .

Με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ADC

παίρνουμε $cos \theta = \dfrac{2a^2-a}{2a^2}$

Ακόμη, $cos \theta = \dfrac{a+2023}{2a}$ κι εξισώνοντας έχουμε $a^2-2024a=0\Rightarrow a=2024$

Καλή χρονιά

: ευτυχισμένο το νέο έτος.png (7.05 KiB) Προβλήθηκε 1370 φορές

#4

Διέγραψα τη λύση γιατί ήταν λάθος.

Καλή Χρονιά!

ksofsa · #5

Τροποποιώ το σχήμα του θεματοθέτη κυρίου Μιχάλη.

: 2024.png (729.95 KiB) Προβλήθηκε 1365 φορές

Τα τρίγωνα ACD,ADE

όμοια. Από αναλογίες $DE=1\Rightarrow a=BE=2024$ .

Καλή Χρονιά!

Φανης Θεοφανιδης · #6

: 607.png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 1310 φορές

Καλή Χρονιά σ΄όλους.

Αν

το συμμετρικό του

ως προς την

, τότε το εγγράψιμο PBDA

, προφανώς είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Άρα $BP=\sqrt{a}$ .
Από Πτολεμαίο έχω $PB\cdot AD+PA\cdot BD=BA\cdot PD\Rightarrow a=2024$ .

S.E.Louridas · #7

Καλημέρα με ευχές για ένα 2024 για Υγεία, Δύναμη και Προοπτική.
Ιδιαίτερες ευχές στον Μιχάλη Νάννο και τους Ανθρώπους του.

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2023 10:25 am
Δίνεται τρίγωνο και έστω σημείο $D \in BC$ . Αν $A{D^2} = AB = AC = CD = a$ και , να βρείτε το μήκος του .

Ας δούμε μία ακόμα άποψη:

Από την δύναμη σημείου ως προς τον κύκλο παίρνουμε ${a^2} - a = 2023a \Rightarrow a = 2024.$

(Εννοείται ότι μιλάμε για θετικό και ... άντε με τη συμπλήρωση: Με επαλήθευση τεκμηριώνουμε ...)

Γιώργος Μήτσιος · #8

Χρόνια πολλά, Καλή χρονιά σε όλους!
Μετά από τις υπέροχες επεμβάσεις που προηγήθηκαν, μία ακόμη με.. ήπια δόση τριγωνομετρίας.

Φέρω το ύψος - διάμεσο

. Αν γωνία DAM=x

τότε γωνίες B=C=2x

Έχουμε $AM/a=sin2x=2sinx. cosx=2DM/\sqrt{a}.AM/\sqrt{a}=2DM.AM/a$

οπότε DM=1/2

. Για να προκύπτει a=CD=2024

, ο Μιχάλης έθεσε BD=2023

!

Φιλικά, Γιώργος.

#9

Παρόμοιο.

: 2024.png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 1142 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο ADC,

$\displaystyle \frac{1}{{2\sqrt a }} = \cos \theta = \frac{{DM}}{{\sqrt a }} \Leftrightarrow DM = \frac{1}{2}$

$\displaystyle BM = MC \Leftrightarrow 2023 + \frac{1}{2} = a - \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{a=2024}$

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #10

Καλησπέρα. Χρόνια πολλά, με υγεία το 2024. Πολύ έξυπνη και εύκολη άσκηση που οδηγεί κατευθείαν στο Θ. Stewart.

mathematica.gr

Ευτυχισμένο το νέο έτος

Ευτυχισμένο το νέο έτος

Re: Ευτυχισμένο το νέο έτος

Re: Ευτυχισμένο το νέο έτος

Re: Ευτυχισμένο το νέο έτος

Re: Ευτυχισμένο το νέο έτος

Re: Ευτυχισμένο το νέο έτος

Re: Ευτυχισμένο το νέο έτος

Re: Ευτυχισμένο το νέο έτος

Re: Ευτυχισμένο το νέο έτος

Re: Ευτυχισμένο το νέο έτος

Μέλη σε σύνδεση