Κύλιση κύκλου εντός άλλου κύκλου

[KDORTSI]

Παραθέτω μια εργασία μου σχετική με την κύλιση ενός κύκλου εντός ενός άλλου

κύκλου την οποία ανάρτησα στο "εισάτοπον" του Σωκράτη Ρωμανίδη.

την οποία μπορείτε να δείτε εδώ:

https://www.eisatopon.gr/2025/06/blog-p ... .html#more

[Mihalis_Lambrou]

Κώστα, όπως πάντα μας δίνεις ένα κόσμημα.

Αξίζει να προστεθεί ότι όταν ο εσωτερικός κύκλος έχει ακτίνα το μισό του εξωτερικού κύκλου, τότε η καμπύλη που γράφει ένα σημείο της περιφέρειάς του κατά την κύλισή του είναι ευθεία. Απίστευτο αλλά αληθινό. Βλέπε κινούμενο σχέδιο εδώ.

Ακόμα πιο απίστευτο είναι ότι το αποτέλεσμα αυτό περιγράφεται από τον Βυζαντινό Αστρονόμο Γρηγόριο Χιονιάδη (~1249-1320) σε ένα αστρονομικό του έργο. Λίγα λόγια για τον Χιονιάδη εδώ και εδώ.

Κατά πάσα πιθανότητα ο Χιονιάδης το πήρε από τον σπουδαίο Άραβα αστρονόμο Al-Tusi (1201-1274), βλέπε εδώ, στον οποίο μαθήτευσε ο Χιονιάδης και του οποίου μετέφρασε τα έργα.

Το σχετικό κείμενο του Χιονιάδη έχει εκδοθεί την σύγχρονη εποχή πριν από 25 ή 30 χρόνια, από όπου το διάβασα. Είναι στα Αγγλικά αλλά υπάρχει και μικρότερη Ελληνική εκδοχή. Μεταφραστής είναι κάποιος Πάσχος αλλά δεν θυμάμαι τον εκδότη (είναι 2 μετά τα μεσάνυκτα τώρα, και άντε βρες το). Θα επανέλθω.

[KDORTSI]

Κώστα, όπως πάντα μας δίνεις ένα κόσμημα.

Αξίζει να προστεθεί ότι όταν ο εσωτερικός κύκλος έχει ακτίνα το μισό του εξωτερικού κύκλου, τότε η καμπύλη που γράφει ένα σημείο της περιφέρειάς του κατά την κύλισή του είναι ευθεία. Απίστευτο αλλά αληθινό. Βλέπε κινούμενο σχέδιο εδώ.

Ακόμα πιο απίστευτο είναι ότι το αποτέλεσμα αυτό περιγράφεται από τον Βυζαντινό Αστρονόμο Γρηγόριο Χιονιάδη (~1249-1320) σε ένα αστρονομικό του έργο. Λίγα λόγια για τον Χιονιάδη εδώ και εδώ.

Κατά πάσα πιθανότητα ο Χιονιάδης το πήρε από τον σπουδαίο Άραβα αστρονόμο Al-Tusi (1201-1274), βλέπε εδώ, στον οποίο μαθήτευσε ο Χιονιάδης και του οποίου μετέφρασε τα έργα.

Το σχετικό κείμενο του Χιονιάδη έχει εκδοθεί την σύγχρονη εποχή πριν από 25 ή 30 χρόνια, από όπου το διάβασα. Είναι στα Αγγλικά αλλά υπάρχει και μικρότερη Ελληνική εκδοχή. Μεταφραστής είναι κάποιος Πάσχος αλλά δεν θυμάμαι τον εκδότη (είναι 2 μετά τα μεσάνυκτα τώρα, και άντε βρες το). Θα επανέλθω.

Μιχάλη σ' ευχαριστώ,

και όπως πάντα φωτίζεις και διευρύνεις τον ορίζοντα και σπρώχνεις

τα θέματα παραπέρα!

Για την περίπτωση αυτή που αναφέρεις αν εργαστεί κανείς όπως

και στις προηγούμενες περιπτώσεις που περιλαμβάνω στην πρώτη μου

ανάρτηση καταλήγουμε ότι ο ζητούμενος τόπος έχει παραμετρική εξίσωση:



η οποία παριστά την οριζόντια διάμετρο του μεγάλου κύκλου.

Κύλιση κύκλου εντός άλλου διπλασίας ακτίνας 1.png (28.25 KiB) Προβλήθηκε 1350 φορές

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα:

https://www.geogebra.org/m/d9gdjppx

Υπάρχουν και άλλες περιπτώσεις όπου ο εσωτερικός κύκλος έχει μια τυχαία ακτίνα.

Ελπίζω να το γενικεύσω το θέμα...

Κώστας Δόρτσιος

[Mihalis_Lambrou]

Το σχετικό κείμενο του Χιονιάδη έχει εκδοθεί την σύγχρονη εποχή πριν από 25 ή 30 χρόνια, από όπου το διάβασα. Είναι στα Αγγλικά αλλά υπάρχει και μικρότερη Ελληνική εκδοχή. Μεταφραστής είναι κάποιος Πάσχος αλλά δεν θυμάμαι τον εκδότη (είναι 2 μετά τα μεσάνυκτα τώρα, και άντε βρες το). Θα επανέλθω.

To βιβλίο που αναφέρθηκα είναι στον Amazon, εδώ (για αγορά) με συγγραφείς την Εμμανουήλ Πάσχο και τον Παναγιώτη Σωτηρούδη.

Ελληνική εκδοχή εδώ αλλά δεν ξέρω αν κυκλοφορεί ακόμα.

Στο ResearchGate εδώ αναφέρει ότι μπορεί κανείς να ζητήσει (αναμφίβολα δωρεάν) αντίτυπο (υποθέτω της αγγλικής εκδοχής) απευθείας από τον συγγραφέα, Πάσχο. Δεν το έκανα, αλλά θα χαρώ αν το κάνει κάποιος. Από την άλλη, η ανάρτηση είναι αρκετά παλιά, του 1998, και δεν ξέρω αν ευοδώσει η προσπάθεια απόκτησης του βιβλίου.

Με αφορμή μία συνέντευξη του Πάσχου εδώ βρήκα και αντιγράφω κάποια βιογραφικά του στοιχεία. Είχε αξιόλογη ακαδημαϊκή καριέρα, ως Καθηγητής Φυσικής κυρίως το Πανεπιστήμιο του Dortmund της Γερμανίας:

Για τον κ. Εμμανουήλ Πάσχο, ομότιμο καθηγητή Θεωρητικής Φυσικής του Πανεπιστημίου του Ντόρτμουντ που γεννήθηκε στη Βέροια, σ’ ένα σύντομο βιογραφικό του, σχετικά με την επιστημονική του πορεία, διαβάζουμε ότι, μετά τις γυμνασιακές σπουδές στη Θεσσαλονίκη, πήγε στις ΗΠΑ, όπου πήρε πτυχίο το 1962 από το City College, New York και διδακτορικό Φυσικής (PhD) το 1967 από το Cornell University. Διατέλεσε επίσης Research Associate στα Πανεπιστήμια Stanford και Rockfeller, Assistant Physicist στο Fermi National Accelerator Laboratory, Adjunct Professor στο Πανεπιστήμιο του Wisconsin, Associate Physicist στο Brookhaven National Laboratory, Full Professor of Theoretical Physics στο Πανεπιστήμιο Dortmund στη Γερμανία, και επισκέπτης ερευνητής σε διάφορα σημαντικά Πανεπιστήμια και Ερευνητικά ιδρύματα όπου δίδαξε: Γενική Φυσική, Προχωρημένη Κβαντομηχανική, Ειδικά Προβλήματα της Κλασικής Θεωρίας Πεδίου, Κβαντική Ηλεκτροδυναμική και Θεωρία Πεδίου, Εισαγωγή στη Θεωρία των Στοιχειωδών Σωματίων, Ηλεκτρασθενή Θεωρία, Κβαντική Χρωμοδυναμική και Εφαρμογές των Ομάδων Lie στη Φυσική. Με τον κ. Πάσχο, που απολαμβάνει μεγάλης εκτιμήσεως από την επιστημονική κοινότητα των υψηλών ενεργειών, και όχι μόνο, αφού εξίσου γοητεύεται από τη διερεύνηση του τρόπου και των μεθόδων της επιστήμης στο Βυζάντιο, είχαμε, λοιπόν, τη μεγάλη χαρά να συζητήσουμε μαζί του το γεγονός της μεγάλης συνεισφοράς διεθνώς καταξιωμένων ελλήνων επιστημόνων, όπως και ο ίδιος, στην πρόοδο της επιστήμης της Φυσικής και των ερευνών που διεξάγονται σε διεθνή ερευνητικά ιδρύματα όπως το CERN, αλλά και επιμέρους ζητήματα όπως αυτό της διεθνούς διάστασης της επιστήμης που μόνον συνεργατικά, και διεθνικά, προάγεται, της ισχύος της μνήμης των αρχαίων θρακιωτών φιλοσόφων όπως ο Δημόκριτος και ο Λεύκιππος, τον ρόλο της «γέφυρας» που κτίζουν διαρκώς οι έλληνες επιστήμονες της αλλοδαπής με την εγχώρια πανεπιστημιακή κοινότητα, το πολιτιστικό, τέλος, πρόταγμα να αποσείσουμε τη γενικώς εσφαλμένη άποψη ότι το βυζάντιο ήταν παντελώς «σκοτεινή εποχή».

[KDORTSI]

Αναρτώ και τη γενική περίπτωση όπου ο κυλιόμενος κύκλος έχει ακτίνα:

.

Στην περίπτωση αυτή η καμπύλη που προκύπτει είναι κλειστή.

Όμως μπορεί η ακτίνα να είναι και άρρητος αριθμός, οπότε η καμπύλη που

προκύπτει δεν είναι κλειστή.

Κύλιση κύκλου εντός άλλου γενική περίπτωση 1.png (33.82 KiB) Προβλήθηκε 1179 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα η ακτίνα είναι ίση με και με τρεις περιστροφές

διαγράφεται ένα "αστέρι" εφτά κορυφών!

Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα για όσους ενδιαφέρονται για το θέμα αυτό...

https://www.geogebra.org/m/qebngggk


Κώστας Δόρτσιος

[KDORTSI]

Συμπληρώνω την προηγούμενη ανάρτηση γράφοντας την

παραμετρική εξίσωση της καμπύλης:



Η εξίσωση αυτή βρέθηκε με τη μεθοδολογία που περιγράφω στην

αρχική εργασία μου.


Κώστας Δόρτσιος

[Mihalis_Lambrou]

Όμως μπορεί η ακτίνα να είναι και άρρητος αριθμός, οπότε η καμπύλη που

προκύπτει δεν είναι κλειστή.

Κώστα, είναι ενδιαφέρον ότι, ακόμη καλύτερα, τα σημεία όπου η τροχιά τέμνει του εξωτερικό κύκλο είναι πυκνά. Αυτό, σε ισοδύναμη μορφή, όσο απίστευτο και αν ακούγεται, το είχε αποδείξει τον 14ο αιώνα ο Γάλλος Αριστοτελικός φιλόσοφος, Αστρονόμος και Μαθηματικός Nicola Oresme (~1320 - 1380) στο έργο του Proportionibus proportionum.

Είχα γράψει κάτι περί αυτού το μακρυνό 2009 στο φόρουμ μας, εδώ (βλέπε ποστ #12).