Κανονικό πεντάγωνο και χρυσή τομή.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 966 φορές

Καλησπέρα.

Δίνεται κανονικό πεντάγωνο $AB\Gamma \Delta E$ , ο περίκυκλος αυτού, και σημείο
του τόξου $E\Delta$ . Δείξτε ότι $\dfrac{PA+P\Gamma }{PB}=\phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 4:21 pm
1.png
Καλησπέρα.

Δίνεται κανονικό πεντάγωνο $AB\Gamma \Delta E$ , ο περίκυκλος αυτού, και σημείο
του τόξου $E\Delta$ . Δείξτε ότι $\dfrac{PA+P\Gamma }{PB}=\phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ .

Καλησπέρα!

: Κανονικό 5γωνο.png (16.35 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

$\displaystyle P{A^2} + P{B^2} - 2PA \cdot PB\cos {36^0} = A{B^2} = B{C^2} = P{C^2} + P{B^2} - 2PC \cdot PB\cos {36^0} \Leftrightarrow$

$\displaystyle P{A^2} - P{C^2} = 2(PA - PC)PB\cos {36^0} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{PA + PC}}{{PB}} = \Phi }$

Φανης Θεοφανιδης · #3

: 1.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 896 φορές

Φέρνω το τμήμα $A\Gamma$ .
Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο $AB\Gamma P$ έχω ότι
$AB\cdot P\Gamma +B\Gamma \cdot PA=A\Gamma \cdot PB\Rightarrow$
$\Rightarrow \dfrac{P\Gamma +PA}{PB}=\dfrac{A\Gamma }{AB}\Rightarrow$
$\Rightarrow \dfrac{P\Gamma +PA}{PB}=\phi$ .

Σημείωση.
Ότι $\dfrac{A\Gamma }{AB}=\phi$ είναι νομίζω γνωστή πρόταση για το τρίγωνο
$AB\Gamma (36^{0}, 108^{0}, 36^{0})$ . Για όσους όμως δεν την γνωρίζουν,
πολύ ευχαρίστως να γράψω την απόδειξη.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Kαλό βράδυ ! Μετά τις κομψές λύσεις του Γιώργου και του Φάνη , μια ακόμη με την ..στήριξη της Τριγωνομετρίας :

: Κανονικό πεντάγωνο 29-1-18.PNG (11.74 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

Με τον Ν. Ημιτόνων παίρνουμε:
$PA=2R \eta \mu x ...PC=2R\eta \mu \left ( 108^{^{0}}-x \right )= 2R\eta \mu \left ( 72^{0}+x \right )...PB=2R\eta \mu \left ( 144^{0}-x \right ) =2R\eta \mu \left ( 36^{0}+x \right )$

Οπότε $\dfrac{PA+PC}{PB}=\dfrac{\eta \mu x +\eta \mu \left ( 72^{0}+x \right )}{\eta \mu \left ( 36^{0}+x \right )}$ ενώ $\Phi =2\sigma \upsilon \nu 36^{0}$ αρκεί λοιπόν να δείξουμε

$\eta \mu x +\eta \mu \left ( 72^{0}+x \right )=\eta \mu \left ( 36^{0}+x \right) 2\sigma \upsilon \nu 36^{0}$ (*)

$\Leftrightarrow {\color{Blue} \eta \mu x+\eta \mu x\cdot \sigma \upsilon \nu 72^{0}}+{\color{DarkRed} \eta \mu 72^{0}\cdot \sigma \upsilon \nu x}={\color{Blue} 2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu ^{2}36^{0}}+{\color{DarkRed} 2\eta \mu 36^{0}\sigma \upsilon \nu 36^{0}\cdot \sigma \upsilon \nu x}$

που ισχύει αφού $2\sigma \upsilon \nu^{2} 36=1+\sigma \upsilon \nu 72^{0}$ και $2\eta \mu 36^{0}\sigma \upsilon \nu 36^{0}=\eta \mu 72^{0}$

(*) Προκύπτει άμεσα με χρήση του -εκτός διδακτέας ύλης- τύπου : $2\eta \mu a\sigma \upsilon \nu \beta =\eta \mu \left ( a+\beta \right )+\eta \mu \left ( a-\beta \right )$

Ο Φάνης έγραψε : << Ότι $\dfrac{A\Gamma }{AB}=\phi$ είναι νομίζω γνωστή πρόταση για το τρίγωνο $AB\Gamma (36^{0}, 108^{0}, 36^{0})$ .
Για όσους όμως δεν την γνωρίζουν, πολύ ευχαρίστως να γράψω την απόδειξη.>>

Μια απόδειξη Φάνη της πρότασης αυτής μπορούμε να δούμε στο τέλος του θέματος ΑΥΤΟΥ... $\Phi$ ιλικά Γιώργος.

Κανονικό πεντάγωνο και χρυσή τομή.

Κανονικό πεντάγωνο και χρυσή τομή.

Re: Κανονικό πεντάγωνο και χρυσή τομή.

Re: Κανονικό πεντάγωνο και χρυσή τομή.

Re: Κανονικό πεντάγωνο και χρυσή τομή.

Μέλη σε σύνδεση