Ώρα εφαπτομένης 44

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 44.png (10.82 KiB) Προβλήθηκε 1468 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι :

. Ονομάζω

την τομή

των BQ , CP

και

το σημείο στο οποίο η

τέμνει την

. Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ASB}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 11, 2020 8:57 pm
Ώρα εφαπτομένης 44.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : . Ονομάζω την τομή

των και το σημείο στο οποίο η τέμνει την . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ASB}$ .

: Ώρα εφαπτομένης.44.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 1441 φορές

Με $\displaystyle {\rm{Ceva}}$ βρίσκω $\displaystyle \frac{{CS}}{{SB}} = \frac{1}{3}$ και με νόμο ημιτόνων στα ASB, ASC

είναι

$\displaystyle \frac{{15}}{{\sin \theta }} = \frac{{3x}}{{\sin \omega }},\frac{9}{{\sin \theta }} = \frac{x}{{\cos \omega }}\mathop \Rightarrow \limits^ \div \tan \omega = \frac{9}{5}.$ Αλλά, στο τρίγωνο ASB

έχω:

$\displaystyle \tan \theta + \tan \omega + \tan B = \tan \theta \cdot \tan \omega \cdot \tan B \Leftrightarrow \tan \theta + \frac{9}{5} + \frac{3}{5} = \frac{{27}}{{25}}\tan \theta \Leftrightarrow$ $\boxed{ \tan \theta = 30}$

#3

Γράφω τον κύκλο : (S,A,B)

και τέμνει την πλευρά

στο

.

( Εδώ χρειάζεται σίγουρα να δικαιολογήσω, γιατί τέμνει την πλευρά και όχι την προέκταση ) Πράγματι :

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle ABC$ έχω $a = 3\sqrt {34}$ και από το Θ. του Ceva

έχω

και άρα αν $SC = k\,\,$ θα είναι $SB = 3k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a = 4k$ . Επειδή $\cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{15}}{{3\sqrt {34} }} = \dfrac{5}{{\sqrt {34} }}$

: Ώρα εφαπτομένης _44.png (38.63 KiB) Προβλήθηκε 1431 φορές

Αρκεί να δείξω ότι : $A{B^2} < S{A^2} + S{B^2}$ που από Θ. συνημίτονου στο SAB

έχω ισοδύναμα :

$A{B^2} < A{B^2} + S{B^2} - 2AB \cdot SB \cdot \cos B + S{B^2}$ ή τελικά : $AB \cdot \cos B < SB \Leftrightarrow 150 < 153$ αληθές.

Τώρα από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο (S,A,B)

έχω :

$AF = \dfrac{1}{2}$ και αφού $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {AEB}$ είναι : $\boxed{\tan \theta = \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{15}}{{\dfrac{1}{2}}} = 30}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 11, 2020 8:57 pm
Ώρα εφαπτομένης 44.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : . Ονομάζω την τομή

των και το σημείο στο οποίο η τέμνει την . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ASB}$ .

Από CEVA $\dfrac{BS}{SC}= 3 =\dfrac{15}{CM} \Rightarrow CM=5 \Rightarrow tan \phi = \dfrac{5}{9}$ .Ακόμη, $tanC= \dfrac{5}{3}$

$tan \theta = \dfrac{tanC+tan \phi }{1-tanC . tan \phi }=...30$

: ώρα εφαπτομένης 44.png (30.35 KiB) Προβλήθηκε 1394 φορές

Ώρα εφαπτομένης 44

Ώρα εφαπτομένης 44

Re: Ώρα εφαπτομένης 44

Re: Ώρα εφαπτομένης 44

Re: Ώρα εφαπτομένης 44

Μέλη σε σύνδεση