Ώρα εφαπτομένης 69

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 69.png (5.31 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

$\bigstar$ Στην προέκταση της διαμέτρου AB=8

, ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

, ώστε :

. Πάνω στο τόξο , βρίσκεται σημείο

, ώστε :

. Βρείτε την $\tan \theta$ .

Manolis Petrakis · #2

: 20201210_102813.jpg (27.96 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Είναι $SB\cdot SA=SP\cdot SA\Leftrightarrow SP=7$
Από νόμο συνημιτόνων στο SPB:

$b^2=7^2+6^2-2\cdot 7 \cdot 6 \cos \theta=85-84\cos \theta (1)$
Από νόμο συνημιτόνων στο SPA:

$a^2=7^2+14^2-2\cdot 7 \cdot 14 \cos \theta=245-196\cos \theta (1)$
Έτσι από ΠΘ στο ABP:

$(1)+(2)\Rightarrow a^2+b^2=330-280\cos \theta \Leftrightarrow 8^2=330-280\cos \theta \Leftrightarrow \cos \theta=\dfrac{133}{140}$
$\Rightarrow \tan \theta=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{\cos\theta}=\dfrac{\sqrt{\frac{140^2-133^2}{140^2}}}{\frac{133}{140}}=\dfrac{\sqrt{273\cdot 7}}{133}=\dfrac{\sqrt{39}}{19}$

#3

Η

τέμνει το ημικύκλιο στο

και έστω

το μέσο της χορδής PT.

: Ώρα εφαπτομένης.69.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

$\displaystyle SP \cdot ST = SB \cdot SA = 84 \Rightarrow SP = 7,PM = MT = \frac{5}{2}$

και $\displaystyle OM = \sqrt {16 - \frac{{25}}{4}} = \frac{{\sqrt {39} }}{2}.$ Οπότε, $\boxed{\tan \theta = \frac{{OM}}{{MS}} = \frac{{\sqrt {39} }}{{19}}}$

#4

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου

: Ώρα εφαπτομένης 69.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

Από το τρίγωνο OTS

και το θεώρημα συνημίτονου έχω: $\boxed{\cos \theta = \frac{{{{12}^2} + {{10}^2} - {4^2}}}{{2 \cdot 12 \cdot 10}} = \frac{{19}}{{20}} \Rightarrow \tan \theta = \frac{{\sqrt {39} }}{{19}}}$

Ώρα εφαπτομένης 69

Ώρα εφαπτομένης 69

Re: Ώρα εφαπτομένης 69

Re: Ώρα εφαπτομένης 69

Re: Ώρα εφαπτομένης 69

Μέλη σε σύνδεση