Ενδιαφέρουσα επαφή

#1

: Μια ενδιαφέρουσα επαφή.png (27.3 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

Έστω το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ τριγώνου $\vartriangle ABC$ με τον περίκυκλό του $\left( O \right)$ . Να αποδείξετε ότι ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle EOI$ εφάπτεται της στο , όπου το συμμετρικό του ως προς την και το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 13, 2021 11:18 am
Μια ενδιαφέρουσα επαφή.png
Έστω το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ τριγώνου $\vartriangle ABC$ με τον περίκυκλό του $\left( O \right)$ . Να αποδείξετε ότι ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle EOI$ εφάπτεται της στο , όπου το συμμετρικό του ως προς την και το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$

Έστω

η διάμετρος.

: Ενδιαφέρουσα επαφή.png (20.84 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

$\displaystyle D{I^2} = D{C^2} = DM \cdot 2R = DO \cdot DE$ και το ζητούμενο έπεται.

#3

Είναι γνωστό ότι DI = DB

. Ας είναι

το μέσο του

και

ο βόρειος πόλος του $\left( O \right)$ .

Θέτω : $OM = m\,\,,\,\,MD = k\,\,,\,\,EO = u\,\,$ ,και

την ακτίνα του $\left( O \right)$ .

Αρκεί τώρα να δείξω ότι $D{I^2} = DO \cdot DE$ και αφού DI = DB

αρκεί να δείξω :

: Ενδιαφέρουσα επαφή.png (25.95 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

$D{B^2} = \left( {k + m} \right)2k \Leftrightarrow {k^2} + M{C^2} = \left( {k + m} \right)2k \Leftrightarrow {k^2} + M{C^2} = 2{k^2} + 2km \Leftrightarrow \boxed{M{C^2} = k\left( {k + 2m} \right)}\,\,\left( 1 \right)$
Αλλά από τη δύναμη του σημείου

στο $\left( O \right)$ έχω:

$M{C^2} = MD \cdot MT \Leftrightarrow M{C^2} = k\left( {R + m} \right)$ , οπότε λόγω της $\left( 1 \right)$ αρκεί να δείξω :

$k\left( {R + m} \right) = k\left( {k + 2m} \right) \Leftrightarrow R + m = k + 2m \Leftrightarrow R = k + m$ που ισχύει .

Ενδιαφέρουσα επαφή

Ενδιαφέρουσα επαφή

Re: Ενδιαφέρουσα επαφή

Re: Ενδιαφέρουσα επαφή

Μέλη σε σύνδεση