Απαιτητική άσκηση

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #1

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\left( {\widehat B = {{90}^0}} \right)$ με $\displaystyle AB = 2,{\rm{ }}BC = 6$ και κύκλος $\left( {O,\sqrt {50} } \right)$ ο οποίος διέρχεται από τις κορυφές A,C

του τριγώνου.
α) Να γίνει αναλυτικά η κατασκευή του σχήματος
β) Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος OB = x

.

#2

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2024 11:04 am
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\left( {\widehat B = {{90}^0}} \right)$ με $\displaystyle AB = 2,{\rm{ }}BC = 6$ και κύκλος $\left( {O,\sqrt {50} } \right)$ ο οποίος διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου.
α) Να γίνει αναλυτικά η κατασκευή του σχήματος
β) Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος .

Για την κατασκευή

Θεωρώ δύο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο

. Γράφω τους κύκλους $\left( {B,2} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {B,6} \right)$ και τέμνουν τις ευθείες αυτές στα A,C

.

Γράφω τώρα τους ίσους κύκλους $\left( {A,5\sqrt 2 } \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,5\sqrt 2 } \right)\,\,$ που τέμνονται στα $O\,\,,\,O'$ με τα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ προς το ίδιο μέρος της $BC\,\,.$

Έχω λοιπόν δύο λύσεις . Υπολογισμός του

. Φέρνω τις προβολές, $S\,\,,\,\,T$ , του

στις $BA\,\,,\,\,BC$ . Είναι :

$AC = \sqrt {36 + 4} = 2\sqrt {10} \,\,,\,\,\tan \widehat {BCA} = \dfrac{1}{3}\,\,.$ Ας είναι

το μέσο της $BC\,\,.$

$O{M^2} = O{A^2} - M{A^2} = 50 - 10 = 40 \Rightarrow OM = AC = 2\sqrt {10} \,\,.$

: Απαιτηιτική άσκηση.png (17.37 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές

Επειδή το τετράπλευρο , CTMO

είναι εγγράψιμο θα είναι , $\tan \widehat {TOM} = \dfrac{1}{3}\,\,,\,\,\tan \widehat {MOA} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {TOA} = 45^\circ \,\,.$

Μετά απ’ αυτά : το $\vartriangle SOA$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο πλευράς $5\,\,.$ $BS = 2 + 5 = 7\,\,,\,\,CT = 6 - 5 = 1\,\,.$ $\boxed{x = \sqrt {49 + 25} = \sqrt {74} }$

Με όμοιους συλλογισμούς , $\boxed{O'B = \sqrt {26} }$

: Απαιτηιτική άσκηση_ok.png (37.47 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Για το πιο πάνω (δεύτερο αποτέλεσμα) υπάρχει κι άλλος τρόπος , Θα τον γράψω αν δεν απαντηθεί .

#3

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2024 11:04 am
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\left( {\widehat B = {{90}^0}} \right)$ με $\displaystyle AB = 2,{\rm{ }}BC = 6$ και κύκλος $\left( {O,\sqrt {50} } \right)$ ο οποίος διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου.
α) Να γίνει αναλυτικά η κατασκευή του σχήματος
β) Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος .

Κατασκευή: Κατασκευάζω το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με $AB=2, BC=6, \widehat B=90^\circ.$ Ο κύκλος $(A, 5\sqrt 2)$

τέμνει την μεσοκάθετη της

στα

με το

πλησιέστερα στο

Οι κύκλοι $(O, 5\sqrt 2),(O', 5\sqrt 2)$

ολοκληρώνουν την κατασκευή.

: Απαιτητική.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Υπολογισμοί: Έστω

η προβολή του

στην

και $OB=x, O'B=y, B\widehat AC=\omega, C\widehat AO=\theta.$

Με Πυθαγόρειο βρίσκω $AC=2\sqrt{10}$ και στη συνέχεια $\displaystyle OM = 2\sqrt {10} \Leftrightarrow OO' = 4\sqrt {10}.$ Είναι ακόμα,

$\displaystyle O\widehat AK = 180^\circ - (\omega + \theta ) \Rightarrow \tan (O\widehat AK) = - tan(\omega + \theta ) = - \frac{{3 + 2}}{{1 - 3 \cdot 2}} = 1 \Leftrightarrow O\widehat AK = 45^\circ$

Άρα, AK=KO=5

και με Πυθαγόρειο στο KBO

είναι $\displaystyle {x^2} = 49 + 25 = 74 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=OB=\sqrt{74}}$

Θ. διαμέσων στο OBO',

$\displaystyle {x^2} + {y^2} = 2B{M^2} + \frac{{O'{O^2}}}{2} = 20 + 80 \Leftrightarrow {y^2} = 100 - 74 \Leftrightarrow$ $\boxed{y=O'B=\sqrt{26}}$

Απαιτητική άσκηση

Απαιτητική άσκηση

Re: Απαιτητική άσκηση

Re: Απαιτητική άσκηση

Μέλη σε σύνδεση